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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:03 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Magnia |
Hallo
Ich habe ein paar Verständnissprobleme und hoffe ihr könnt mir helfen:
[mm] log_{2} [/mm] 8 = 3
Gesucht ist also die zahl x welche [mm] 2^x [/mm] = 8 ergiebt =3
Wenn ich also eine FUnktion habe
[mm] f(x)=10^x [/mm] x=2
f(x)=100
Umkehrfunktion ist also
Gesucht wird die Zahl x welche [mm] 10^x [/mm] = 100 ergiebt = 2
Soweit ist es mir klaar.
[mm] 3^{log_{3}5} [/mm] =5
Gesucht wird also die Zahl x welche [mm] 3^x [/mm] = 5 ergiebt
da ich diese zahl aber sowieso [mm] 3^x [/mm] nehme ergiebt es wieder 5
Im prinziep nur eine Verkettung.
[mm] (b^x)'=b^x [/mm] * eine bel. Zahl c
(hergeleitet mit h methode)
nun wär es ja schön wenn diese Zahl immer konstant ist
also suchen wir die basis bei dem die bel. zahl c 1 ergiebt.
wieder herleitung [mm] (e^x)'=e^x
[/mm]
also bei der basis [mm] e^x [/mm] ist die ableitung immer [mm] e^x
[/mm]
doch nun blicke ich nicht mehr durch:
wieso ist dann
[mm] 2^x [/mm] = [mm] e^{ln(2^x)}
[/mm]
also
[mm] b^x [/mm] = [mm] e^{x*ln(b)}
[/mm]
und wieso ist
[mm] (e^{x*ln(b)})'=ln(b)*e^{x*ln(b)}
[/mm]
was beschreibt dieses ln genau
wie kann man dies auffassen bzw. wie ist diese umkehrfunktion/umwandlung zu verstehen ?
ich hoffe ihr versteht was ich meine
gruß
magnia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:12 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Evtl. hilft dir das schon:
[mm] \ln(x)=\log_{e}x
[/mm]
Also der natürliche Logarithmus [mm] \ln [/mm] ist nur eine Spezialform des "allgemeinen" Logarithmus, so wie auch der Zehnerlogarithmus (oft abgekürzt mit [mm] \lg) [/mm] der Logarithmus zur Basis 10 ist.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 Sa 05.11.2005 | | Autor: | taura |
Hallo Magnia!
> wieso ist dann
>
> [mm]2^x[/mm] = [mm] e^{ln(2^x)}
[/mm]
Hier heben sich einfach das "e hoch" und das "ln" auf, so wie bei deinem Beispiel mit [mm] $3^{\log_{3}5}=5$ [/mm] (Denn wie Bastiane schon geschrieben hat: der ln ist nichts anderes als [mm] $\log_{e}$)
[/mm]
> also
> [mm]b^x[/mm] = [mm]e^{x*ln(b)}[/mm]
Hier wendet man die Logarithmusgesetzte an: [mm] $\ln(b^x)=x*\ln(b)$
[/mm]
> und wieso ist
> [mm](e^{x*ln(b)})'=ln(b)*e^{x*ln(b)}[/mm]
Hier brauchst du die Kettenregel: $(u(v(x)))'= u'(v(x))*v'(x)$
v(x) ist hier [mm] $x*\ln(b)$ [/mm] und u(v(x)) ist [mm] $e^{v(x)}$
[/mm]
Kannst du es mit diesen Hilfen nachvollziehen?
> was beschreibt dieses ln genau
> wie kann man dies auffassen bzw. wie ist diese
> umkehrfunktion/umwandlung zu verstehen ?
Wie gesagt, der "natürliche Logarithmus" (ln) ist die Umkehrfunktion zu [mm] $e^x$, [/mm] so wie z.B. [mm] $\log_5$ [/mm] die Umkehrfunktion zu [mm] 5^x [/mm] ist.
Ich hoffe, das hilft dir 
Gruß taura
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