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Logarithmus: Rechnung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:32 So 19.12.2004
Autor: nemo102

Hallo!

Irgendwie komme ich heute mit den Log-Rechnungen nicht zurecht. Vielleicht kann mir noch mal jemand von euch helfen. Habe folgende Ungleichung gegeben, bei der ich die einzelnen Rechenschritte nicht sehe bzw. nicht nachvollziehen kann.

-log [mm] \bruch{x_1+...+x_n}{n} \le [/mm]  - [mm] \bruch{1}{n} [/mm] (log [mm] x_1 [/mm] + log [mm] x_2 [/mm] +...+ log [mm] x_n) [/mm]
daraus ergibt sich dann
log [mm] \bruch{x_1+...+x_n}{n} \ge [/mm] log [mm] \wurzel[n]{x_1+...+x_n} [/mm]
und folglich
[mm] \wurzel[n]{x_1+...+x_n} \le \bruch{x_1+...+x_n}{n} [/mm]

Kann mir noch mal jemand von euch helfen. Will die Rechnung wirklich gerne verstehen!

Gruß Nemo


        
Bezug
Logarithmus: Umformungen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:14 So 19.12.2004
Autor: Loddar

Hallo Nemo102,

[willkommenmr] !!!


-log [mm]\bruch{x_1+...+x_n}{n} \le[/mm]  - [mm]\bruch{1}{n}[/mm] (log [mm]x_1[/mm] +  log [mm]x_2[/mm] +...+ log [mm]x_n)[/mm]

Hier werden nun 2 Schritte auf einmal getätigt:
(1) Multiplikation mit "-1". Dadurch dreht sich auch das Ungleichheitszeichen um!!!

(2) Anwendung eines Logarithmengesetzes:
[mm] $log(a^m) [/mm] = m*log(a)$

Außerdem wird benutzt: [mm] $\wurzel[n]{a} [/mm] = [mm] a^{\bruch{1}{n}}$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow [/mm] log [mm] \bruch{x_1+...+x_n}{n} \ge [/mm] log [mm] \wurzel[n]{x_1+...+x_n}$ [/mm]

Da die log-Funktion bijektiv (bzw. umkehrbar eindeutig) ist, betrachten wir nun lediglich die Argumente:

[mm] $\Rightarrow \bruch{x_1+...+x_n}{n} \ge \wurzel[n]{x_1+...+x_n}$ [/mm]

Man hätte hier auch einfach die Umkehrfunktion der log-Funktion anwenden können ...

Nun alle Klarheiten beseitigt ;-) ??

Grüße + einen schönen Sonntag
Loddar

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