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Hallo,
könnte mal jemand über meine Aussagen bzw Rechnungen gucken und ggf korrigieren?
Also, es ist f:[1,e] [mm] \to \IR, f(x):=x^2 [/mm] ln x
Die Ableitung von F(x) sieht bei mir so aus:
f'(x):=2x [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
Warum ist die Funktion streng monoton wachsend?
Hier würde ich schreiben, dass der ln an sich als streng monoton wachsend definiert ist und somit auch die Funktion.
Das Integral [mm] \integral_{1}^{e} {x^2 ln x dx} [/mm] mittels Partieller Integration bestimmen.
Mein 1.Schritt sieht so aus.
[mm] x^2 [/mm] ln x [mm] \vmat{ e \\ 1 } [/mm] - [mm] \integral_{1}^{e} {x^2 \bruch{1}{x}dx}
[/mm]
Fall das richtig ist, ok.. aber nun wüsste ich nicht mehr weiter..
Danke für Eure Hilfen
Gruss
Der Fruchtsaft
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Hallo,
Danke dir für das Feedback..
Stimmt ja.. Bei Partieller Integration geht man ja davon aus, das f und g diff.bar sind. Dann natürlich die Produktregel.
Und streng monoton fallend ist es, weil f' (x)>0 ist für jedes x [mm] \in [/mm] I.
Zu der Integralrechnung.. Also, anscheinend habe ich die Partielle Integration an sich nicht verstanden..
[mm] \int\limits_1^e x^2 \ln(x)\, [/mm] dx = [mm] \left[ \frac{1}{3}x^3 \ln(x) \right]_1^e [/mm] - [mm] \frac{1}{3} \int\limits_1^e x^3 \, \frac{1}{x}\, [/mm] dx = [mm] \frac{1}{3}e^3 [/mm] - [mm] \frac{1}{3} \int\limits_1^e x^2\, [/mm] dx
Wie kommst du darauf? Wenn du vielleciht kurz deine Rechenschritte angeben könntest?
Danke..
Gruss
Der Fruchtsaft
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Hallo Fruchtsaft!
> Und streng monoton fallend ist es, weil f' (x)>0 ist für
> jedes x [mm]\in[/mm] I.
Hier hast Du Dich doch "nur" verschrieben, oder?
Da gilt für $x [mm] \in [/mm] I$ : $f'(x) \ [mm] \red{>} [/mm] \ 0$ ist f natürlich streng monoton steigend !!
> Zu der Integralrechnung.. Also, anscheinend habe ich die
> Partielle Integration an sich nicht verstanden..
>
> [mm]\int\limits_1^e x^2 \ln(x)\,[/mm] dx = [mm]\left[ \frac{1}{3}x^3 \ln(x) \right]_1^e[/mm] - [mm]\frac{1}{3} \int\limits_1^e x^3 \, \frac{1}{x}\,[/mm] dx = [mm]\frac{1}{3}e^3[/mm] - [mm]\frac{1}{3} \int\limits_1^e x^2\,[/mm] dx
>
> Wie kommst du darauf? Wenn du vielleciht kurz deine
> Rechenschritte angeben könntest?
Formel für partielle Integration: [mm] $\integral{u'*v \ dx} [/mm] \ = \ u*v - [mm] \integral{u*v' \ dx}$
[/mm]
Nun wählen wir:
$u' \ := \ [mm] x^2$ $\Rightarrow$ [/mm] $u \ = \ [mm] \bruch{1}{3}x^3$
[/mm]
$v \ = \ [mm] \ln(x)$ $\Rightarrow$ [/mm] $v' \ = \ [mm] \bruch{1}{x}$
[/mm]
Wenn Du das nun in die o.g. Formel einsetzt, solltest Du Stefan's Ergbnis erhalten.
Nun klarer und ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") ??
Gruß vom
Roadrunner
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Hi!
Danke für deine Erläuterungen...
Beim ersten habe ich mich "nur"vertippt. Auf dem guten alten Blatt Papier steht es richtig. 
Nun ist mir auch klar, wie Stefan auf das Ergebnis kommt. Vielleicht noch ein kleienr Hinweis, wie man weiter macht..?!
Und jetzt noch ein paar zusätzliche Fragen..
1.)Ist es eigentlich egal, welche Funktion ich mit g benenne und welche mit f?
2.)Wofür steht eigentlich das dx?
Danke für die hilfen. Bringt mich defintiv weiter.
Gruss
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Hallo Fruchtsaft!
> Beim ersten habe ich mich "nur"vertippt. Auf dem guten
> alten Blatt Papier steht es richtig.
Dann ist ja gut ...
> Vielleicht noch ein kleienr Hinweis, wie man weiter
> macht..?!
Hast Du denn mal eingesetzt? Anschließend das letzte Integral ermitteln (eher trivial, oder?) und dann den Wert des Integrals bestimmen durch Einsetzen der Integrationsgrenzen.
> Und jetzt noch ein paar zusätzliche Fragen..
>
> 1.)Ist es eigentlich egal, welche Funktion ich mit g
> benenne und welche mit f?
Du meinst hier $u'_$ bzw. $v_$ ?? Es gibt Funktionen, da ist das egal, aber im allgemeinen gilt das leider nicht!
In unserem Falle können wir doch dadurch die Integration der ln-Funktion umgehen und durch die Ableitung des ln sogar noch vereinfachen.
> 2.)Wofür steht eigentlich das dx?
Das ist das sogenannte ![[]](/images/popup.gif) Differential und gibt an, nach welcher Variable (hier: $x_$) integriert werden soll.
Schließlich ist ja die Integralrechnung der Grenzwertübergang eine Summe von unendlich schmalen Streifen der Breite $dx_$ und der Höhe $y \ = \ f(x)$ (vielleicht erinnerst Du Dich an die Anfänge/Einführung der Integralrechnung in der Schule mit den Ober- und Untersummen ...).
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo,
richtig ich meine in diesem Falle u und [mm] \nu...
[/mm]
Ok,
[mm] \int\limits_1^e x^2 \ln(x)\, [/mm] dx = [mm] \left[ \frac{1}{3}x^3 \ln(x) \right]_1^e [/mm] - [mm] \frac{1}{3} \int\limits_1^e x^3 \, \frac{1}{x}\, [/mm] dx = [mm] \frac{1}{3}e^3 [/mm] - [mm] \frac{1}{3} \int\limits_1^e x^2\, [/mm] dx
Soweit waren wir ja schon... Das ist auch verstanden..
= [mm] \bruch{1}{3}e^3 [/mm] - [mm] \int\limits_1^e \bruch{1}{3}2x [/mm]
= [mm] -\bruch{1}{3}e^2
[/mm]
Oder?
Gruss
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Natürlich klar. Die '1' will ja auch beachtet werden..
Nun gut, wenn ich das "einsetzen" würde, bleiben - [mm] \bruch{1}{3} [/mm] über...!?
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Hallo ...
> Nun gut, wenn ich das "einsetzen" würde, bleiben -
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] über...!?
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Was soll das jetzt sein? Das Endergebnis des Gesamtintegrals?
Das kann ja gar nicht stimmen, da die betrachtete Fläche gänzlich oberhalb der x-Achse liegt, so daß ein positives Ergebnis herauskommen muß.
Ich habe erhalten (bitte nachrechnen): $A \ = \ [mm] \bruch{2}{9}e^3 [/mm] + [mm] \bruch{1}{9} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 4,57$
Gruß vom
Roadrunner
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Ok.. wenn ich beide Integrale ausgerechnet habe.
Dann steht bei mir = [mm] \bruch{1}{3}e^3 [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}e^3 [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Daraus ergeben sich meine - [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Dann habe ich das "im langen Term einsetzen" falsch verstanden.. wo muss denn jetzt noch was eingesetzt werden..???
Zur Zeit will es einfach nicht so ganz rein in den Kopf..
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Hallo Fruchtsaft!
Unser Gesamtintegral lautet doch (siehe oben):
[mm] $\integral_{1}^{e}{x^2*\ln(x) \ dx} [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \bruch{1}{3}e^3 [/mm] \ [mm] \red{- \ \bruch{1}{3}}*\left(\bruch{1}{3}e^3 - \bruch{1}{3}\right)$
[/mm]
Und nun ??
Gruß vom
Roadrunner
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Und auch noch blind dazu anscheinend..
Aber wieso [mm] \bruch{2}{9}e^3?
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:35 Mo 01.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Rechnet man mit dem Zwischenergebnis vom Roadrunner weiter, so erhält man
[mm] $\frac{1}{3}e^3 [/mm] - [mm] \frac{1}{9}e^3 [/mm] + [mm] \frac{1}{9} [/mm] = [mm] \red{\frac{3}{9}e^3 - \frac{1}{9}e^3} [/mm] + [mm] \frac{1}{9} [/mm] = [mm] \red{\frac{2}{9}e^3} [/mm] + [mm] \frac{1}{9}$.
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:32 Di 02.08.2005 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo @all ...
Hier hat sich Stefan aber leider vertippt ...
Es muß natürlich heißen: [mm]\frac{1}{3}e^{\red{3}} - \frac{1}{9}e^3 + \frac{1}{9} \ = \ \frac{3}{9}e^{\red{3}} - \frac{1}{9}e^3 + \frac{1}{9} \ = \ \frac{2}{9}e^3 + \frac{1}{9}[/mm].
Gruß vom
Roadrunner
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![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Fein ...
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Potenzregel