Logarithmus für kompl. Argum. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 Di 26.05.2015 | | Autor: | Calculu |
Hallo.
Ich beschäftige mich zur Zeit mit der komplexen Analysis und habe zum Logarithmus für komplexe Argumente eine Frage:
Es dreht dich um folgende Umformung:
z [mm] \in \IC \setminus\{0\}
[/mm]
exp(ln(z)) = [mm] e^{ln|z|+i*arg(z)} [/mm] = [mm] e^{ln|z|}*(cos(arg(z))+i*sin(arg(z))) [/mm] = z
Mir ist leider der letzte Schritt nicht klar. Für arg(z):= [mm] \pi [/mm] würde gelten:
(cos(arg(z))+i*sin(arg(z)))=1
Wäre dann [mm] e^{ln|z|} [/mm] = |z| = z ????
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:26 Di 26.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo.
> Ich beschäftige mich zur Zeit mit der komplexen Analysis
> und habe zum Logarithmus für komplexe Argumente eine
> Frage:
>
> Es dreht dich um folgende Umformung:
>
> z [mm]\in \IC \setminus\{0\}[/mm]
> exp(ln(z)) = [mm]e^{ln|z|+i*arg(z)}[/mm] =
> [mm]e^{ln|z|}*(cos(arg(z))+i*sin(arg(z)))[/mm] = z
>
> Mir ist leider der letzte Schritt nicht klar. Für arg(z):=
> [mm]\pi[/mm] würde gelten:
> (cos(arg(z))+i*sin(arg(z)))=1
Nein, das stimmt nicht. Für arg(z)= [mm]\pi[/mm] ist
cos(arg(z))+i*sin(arg(z))=-1
> Wäre dann [mm]e^{ln|z|}[/mm] = |z| = z ????
Nein, sondern
[mm]exp(ln(z))=e^{ln|z|}*(-1)[/mm] = -|z| = z,
denn ist arg(z)= [mm]\pi[/mm], so ist z [mm] \in \IR [/mm] und z<0, also ist |z|=-z
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Di 26.05.2015 | | Autor: | Calculu |
> > Hallo.
> > Ich beschäftige mich zur Zeit mit der komplexen
> Analysis
> > und habe zum Logarithmus für komplexe Argumente eine
> > Frage:
> >
> > Es dreht dich um folgende Umformung:
> >
> > z [mm]\in \IC \setminus\{0\}[/mm]
> > exp(ln(z)) =
> [mm]e^{ln|z|+i*arg(z)}[/mm] =
> > [mm]e^{ln|z|}*(cos(arg(z))+i*sin(arg(z)))[/mm] = z
> >
> > Mir ist leider der letzte Schritt nicht klar. Für arg(z):=
> > [mm]\pi[/mm] würde gelten:
> > (cos(arg(z))+i*sin(arg(z)))=1
>
>
> Nein, das stimmt nicht. Für arg(z)= [mm]\pi[/mm] ist
>
> cos(arg(z))+i*sin(arg(z))=-1
Ahhh, ja stimmt.
>
>
>
> > Wäre dann [mm]e^{ln|z|}[/mm] = |z| = z ????
>
> Nein, sondern
>
> [mm]exp(ln(z))=e^{ln|z|}*(-1)[/mm] = -|z| = z,
>
> denn ist arg(z)= [mm]\pi[/mm], so ist z [mm]\in \IR[/mm] und z<0, also ist
> |z|=-z
>
Ok, das verstehe ich. Aber wieso gilt die Gleichung auch für arg(z) [mm] \not= \pi [/mm] ???
> FRED
> >
> >
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Mi 27.05.2015 | | Autor: | fred97 |
Ist [mm] \phi [/mm] ein Argumemnt von z, so gilt
[mm] $z=|z|*e^{i \phi}$
[/mm]
Das ist die Polardarstellung der Komplexen Zahl z.
Somit:
$exp(ln(|z|)+i [mm] \phi)= [/mm] exp(ln(|z|)*exp(i [mm] \phi)=|z|*e^{i \phi}=z$
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:14 Mi 27.05.2015 | | Autor: | Calculu |
> Ist [mm]\phi[/mm] ein Argumemnt von z, so gilt
>
> [mm]z=|z|*e^{i \phi}[/mm]
>
> Das ist die Polardarstellung der Komplexen Zahl z.
>
> Somit:
>
> [mm]exp(ln(|z|)+i \phi)= exp(ln(|z|)*exp(i \phi)=|z|*e^{i \phi}=z[/mm]
>
> FRED
Super, jetzt hab ich's verstanden! Danke!!!
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