Logarithmusfunktion untersuche < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei c > 1 eine reelle Zahl. Wir definieren den Logarithmus zur Basis c als die Abbildung
[mm]log_c:\IR^{>0}\rightarrow\IR, x\mapsto\frac{log (x)}{log (c)}[/mm]
a) Zeige [mm]log_c[/mm] ist die Umkehrfunktion zur Funktion [mm]f:\IR\rightarrow\IR^{>0}, x\mapsto c^x[/mm]
b) Zeige, dass [mm]log_c[/mm] monoton wachsend und stetig ist.
c) Beweise die Funktionsgleichung [mm]log_c(x)+log_c(y) = log_c(xy)[/mm] |
Hallo zusammen,
ich bin bei der obigen Aufgabe bis jetzt wie folgt vor gegangen:
a) [mm]y=f(f^{-1}(y))=c^{f^{-1}(y)}\gdw log_c(y)=f^{-1}(y)\gdw \frac{log (y)}{log (c)}=f^{-1}(y)[/mm]
Stimmt das so?
b) Sei [mm](x_n)[/mm] eine Folge reeller Zahlen mit [mm]\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x[/mm]. Wir betrachten zu der Urbildfolge [mm](x_n)[/mm] die zugehörige Bildfolge [mm]f(x_n)[/mm] und prüfen, ob gilt [mm]\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=f(x)[/mm].
[mm]\Rightarow \lim\limits_{n\to\infty} \frac{log(x_n)}{log(c)}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}log(x_n)}{\lim\limits_{n\to\infty}log(c)}=\frac{log(x)}{log(c)}=f(x)[/mm]. Somit ist [mm]log_c[/mm] stetig.
Könnt ihr das bis hier hin bestätigen?
Wie zeige ich jetzt am besten, dass die Funktion auch monoton wachsend ist?
Im Prinzip muss ich mir ja die Bildfolge anschauen und zeigen, dass für jedes Folgeglied [mm]a_n[/mm] gilt: [mm]a_n
Ich hoffe ihr habt einen Denkanstoß für mich;)
Gruß
Benni
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Do 14.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
Logarithmusgesetze