Logarithmusgleichung < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 Sa 21.04.2007 | | Autor: | maria26 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die folgende Gleichung erfüllt ist:
[mm] ln(\wurzel{2+4x^2}-2x)=ln2-ln(\wurzel{2+4x^2}+2) [/mm] |
kann mir bitte jemand weiterhelfen? ich habe das folgendermassen probiert zu lösen:
[mm] ln(1/2*ln(2)+1/2*ln(4x^2)-2x)=ln2-ln(1/2*ln(2)+1/2ln(4x^2)+2x)
[/mm]
[mm] ln(0,1505+1/2*ln(4x^2)-2x)=ln2-ln(0,1505+1/2*ln(4x^2)+2x)
[/mm]
und jetzt weiss ich nicht weiter, wie ich das weiter vereinfachen soll?
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Hallo!
Da bist du in die falsche Richtung galoppiert, und hast auch noch die Logarithmengesetze verbogen...
Fasse die beiden Logarithmen rechts doch mal zu einem zusammen, also $2/ [mm] \wurzel{...}$
[/mm]
Dann steht rechts und links jeweils ein Logarithmus, und du kannst beiderseits die e-Funktion anwenden, dann ist der ln weg.
Danach hast du nur noch eine Wurzelgleichung da stehen, zwar unangenehm, aber sicherlich einfacher zu lösen, oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Sa 21.04.2007 | | Autor: | maria26 |
ich habe die linke seite jetzt so probiert:
[mm] ln(\wurzel{2+4x^2)-2x=
1/2*ln*(2+4x^2)}-ln(2x)
[/mm]
ist das richtig? und wenn das richtig ist, wie muss ich dann weitermachen?
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Hallo,
nee das stimmt leider immer noch nicht so ganz. Also das Logarithmengesetz besagt doch [mm] log_{a}(\bruch{b}{c})=log_{a}(b)-log_{a}(c).
[/mm]
Das kannst du auf die rechte Seite deiner Gleichung anwenden:
$ [mm] ln(\wurzel{2+4x^2}-2x)=ln(\bruch{2}{\wurzel{2+4x^2}+2}) [/mm] $
[mm] \gdw \wurzel{2+4x^2}-2x=\bruch{2}{\wurzel{2+4x^2}+2}
[/mm]
Jetzt kannst du mit dem Nenner multiplizieren und nach x auflösen. Achte aber darauf, dass beim Quadrieren Lösungen verloren gehen können!
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Sa 21.04.2007 | | Autor: | maria26 |
ich steh am schlauch,........wieso verschwindet das x aufeinmal wenn du die wurzel auflöst und nur das [mm] 4x^2 [/mm] bleibt übrig???
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Hallo,
es verschwindet doch nichts, das ist nur die Anwendung der Gesetze,
[mm] \wurzel{2+4x^{2}}-2x=\bruch{2}{\wurzel{2+4x^{2}}+2} [/mm] Multiplikation mit Nenner
[mm] (\wurzel{2+4x^{2}}-2x)*(\wurzel{2+4x^{2}}+2)=2 [/mm] Klammern auflösen
[mm] 2+4x^{2}+2\wurzel{2+4x^{2}}-2x\wurzel{2+4x^{2}}-4x=2 [/mm] minus 2
[mm] 4x^{2}+2\wurzel{2+4x^{2}}-2x\wurzel{2+4x^{2}}-4x=0 [/mm] Division durch 2
[mm] 2x^{2}+\wurzel{2+4x^{2}}-x\wurzel{2+4x^{2}}-2x=0
[/mm]
[mm] \wurzel{2+4x^{2}}-x\wurzel{2+4x^{2}}=2x-2x^{2} [/mm] Quadrieren
[mm] (2+4x^{2})-2x(2+4x^{2})+x^{2}(2+4x^{2})=4x^{2}-8x^{3}+4x^{4}
[/mm]
[mm] 2+4x^{2}-4x-8x^{2}+2x^{2}+4x^{4}=4x^{2}-8x^{3}+4x^{4}
[/mm]
[mm] 8x^{3}-6x^{2}-4x+2=0
[/mm]
[mm] 4x^{3}-3x^{2}-2x+1=0
[/mm]
somit hast du schon [mm] x_1=1, [/mm] jetzt solltest du weiter kommen,
Steffi
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Liebe Steffi,
also da hat sich ein kleiner Fehlereingeschlichen.!
Grüße Daniel
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Hallo,
also schauen wir noch mal. Ich benutze mal Steffis Getipptes:
$ [mm] \wurzel{2+4x^{2}}-2x=\bruch{2}{\wurzel{2+4x^{2}}+2} [/mm] $ Multiplikation mit Nenner
$ [mm] (\wurzel{2+4x^{2}}-2x)\cdot{}(\wurzel{2+4x^{2}}+2)=2 [/mm] $ Klammern auflösen
$ [mm] 2+4x^{2}+2\wurzel{2+4x^{2}}-2x\wurzel{2+4x^{2}}-4x=2 [/mm] $ minus 2
$ [mm] 4x^{2}+2\wurzel{2+4x^{2}}-2x\wurzel{2+4x^{2}}-4x=0 [/mm] $ Division durch 2
$ [mm] 2x^{2}+\wurzel{2+4x^{2}}-x\wurzel{2+4x^{2}}-2x=0 [/mm] $
$ [mm] \wurzel{2+4x^{2}}-x\wurzel{2+4x^{2}}=2x-2x^{2} [/mm] $ Quadrieren
$ [mm] (2+4x^{2})-2x(2+4x^{2})+x^{2}(2+4x^{2})=4x^{2}-8x^{3}+4x^{4} [/mm] $
$ [mm] 2+4x^{2}-4x-8x^{2}+2x^{2}+4x^{4}=4x^{2}-8x^{3}+4x^{4} [/mm] $
Hier stimmt etwas nicht. Es muss $ [mm] 2+4x^{2}-4x-8x^{3}+2x^{2}+4x^{4}=4x^{2}-8x^{3}+4x^{4} [/mm] $ heißen, wehalb [mm] -8x^{3} [/mm] auf beiden Seiten rausfällt und wir zu dem Schluss kommen, dass diese Gleichung keine Lösung haben kann. Man schaue sich angefügtes Bild an.
[Dateianhang nicht öffentlich]
$ [mm] 8x^{3}-6x^{2}-4x+2=0 [/mm] $
$ [mm] 4x^{3}-3x^{2}-2x+1=0 [/mm] $
Schöne Grüße
Daniel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:50 Sa 21.04.2007 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo mathmetzsch,
danke für den korrigierten Exponenten, [mm] 2+4x^{2}-4x-8x^{3}+2x^{2}+4x^{4}=4x^{2}-8x^{3}+4x^{4} [/mm] ergibt aber
[mm] 0=2x^{2}-4x+2, [/mm] somit gibt es die Lösung x=1
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:59 Sa 21.04.2007 | | Autor: | maria26 |
vielen dank für eure mühe!!!!!!
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Oh ja stimmt, ich hab in meiner Zeichnung ein -x hinten vergessen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Schöne Grüße
Daniel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 So 22.04.2007 | | Autor: | maria26 |
ich verstehe nur folgendes jetzt noch immer nicht:
[mm] ln(\wurzel{2+4x^2}-2x)=ln2-ln(\wurzel{2+4x^2}+2x)
[/mm]
da kommt bei euch folgendes raus als nächster schritt:
[mm] ln(\wurzel{2+4x^2}-2x)=ln(2/(\wurzel{2+4x^2}+2)........wieso [/mm] fällt hier bei dem letzten 2er das x weg? das versteh ich nicht
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:39 So 22.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Maria!
Da muss das (Tipp-)Fehlerteufelchen zugeschlagen haben. Dieses $x_$ fällt nicht weg!!
Dadurch sollte dann auch die anschließende Umformung deutlich einfacher werden ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:56 So 22.04.2007 | | Autor: | maria26 |
danke, ich habe das jetzt mal mit dem 2x ausgerechnet, da kommt folgendes raus:
[mm] ln(\wurzel{2+4x^2}-2x=ln2-ln(\wurzel{2+4x^2}+2x)
[/mm]
[mm] ln(\wurzel{2+4x^2}-2x=ln(2/(\wurzel{2+4x^2}+2x) [/mm] :ln
[mm] \wurzel{2+4x^2}-2x=2/(\wurzel{2+4x^2}+2x) [/mm] mal den nenner
[mm] (\wurzel{2+4x^2}-2x)*(\wurzel{2+4x^2}+2x)=2
[/mm]
[mm] 2+4x^2+2x*(\wurzel{2+4x^2})-2x*(\wurzel{2+4x^2})-4x^2=2
[/mm]
da fällt dann alles weg und übrig bleibt 0=0
stimmt das nun so???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:23 Mo 23.04.2007 | | Autor: | maria26 |
ok, nochmals vielen dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:41 Mo 23.04.2007 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo Maria,
wir haben gestern mit 2 (und nicht mit 2x) alles gerechnet, schaue mal bitte in deinen 1. Post, dort steht die Aufgabe nur mit der 2 am Ende, mit 2x vereinfacht sich natürlich die Aufgabe enorm,
Steffi
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![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
Hier wird nicht durch den [mm] $\ln$ [/mm] geteilt, sondern auf beiden Seiten die e-Funktion [mm] $e^{...}$ [/mm] angewandt, um den [mm] $\ln$ [/mm] zu beseitigen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Richtig! Dieses Gleichung ist also allgemeingültig für alle $x \ [mm] \in [/mm] \ D$ .
