Logarithmusgleichung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:51 Fr 14.01.2005 | | Autor: | sv_t |
Hallo,
ich weiß nicht, wie ich folgende Gleichung nach [mm] \alpha [/mm] umstellen muss.
I = [mm] I_{0} [/mm] * [mm] e^{- \alpha}
[/mm]
(Die Gleichung steht für die Berechnung des Absorptionskoeffizient -> Physik, Optik)
Ich habe wie folgt umgestellt:
[mm] \bruch{I}{I_{0}} [/mm] = [mm] e^{-\alpha}
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] = - [mm] \bruch{lnI}{lnI_{0}}
[/mm]
Bekannt ist I = 0,006 und [mm] I_{0} [/mm] = 0,08.
Ergebniss [mm] \alpha [/mm] = -2,025.
Bei der Gegenrechnung stimmt das aber nicht!
Wenn ich rechne 0,08 * [mm] e^{-2,025} [/mm] bekomme ich für I = 0,011 raus.
Was habe ich falsch gemacht?
Vielen Dank für Eure Antworten.
Gruß Sven.
-> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:54 Fr 14.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sven,
> Hallo,
>
> ich weiß nicht, wie ich folgende Gleichung nach [mm]\alpha[/mm]
> umstellen muss.
>
> I = [mm]I_{0}[/mm] * [mm]e^{- \alpha}
[/mm]
>
> (Die Gleichung steht für die Berechnung des
> Absorptionskoeffizient -> Physik, Optik)
>
> Ich habe wie folgt umgestellt:
>
> [mm]\bruch{I}{I_{0}}[/mm] = [mm]e^{-\alpha}
[/mm]
>
> [mm]\alpha[/mm] = - [mm]\bruch{lnI}{lnI_{0}}
[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm] $(\star)$ [/mm] Hier ist dein erster Rechenfehler!
Es ist ja [mm] $\frac{I}{I_0}>0$. [/mm] Jetzt wendest du auf die letzte Gleichung den [mm] $\ln$ [/mm] an [eigentlich ist dabei auch Vorsicht geboten, denn man braucht dazu, dass auf beiden Seiten der Gleichung die Ausdrücke $>0$ sind; aber [mm] $e^{-\alpha} [/mm] > 0$ gilt ja für jedes [mm] $\alpha \in \IR$ [/mm]  ].
(Falls dich dieser Kommentar in den "[]"-Klammern zusehr verwirrt, ignoriere ihn einfach ):
[m]\ln(e^{-\alpha})=\ln\left(\frac{I}{I_0}\right)[/m]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $(\star_2)$ $-\alpha=\ln(I)-\ln(I_0)$
[/mm]
(Denn es gilt hier:
[m]\ln\left(\frac{I}{I_0}\right)=\ln(I)-\ln(I_0)[/m]
Und es gilt i.A. nicht:
[m]\ln\left(\frac{I}{I_0}\right)=\frac{\ln(I)}{\ln(I_0)}[/m])
Vergleiche auch:
 Logarithmusgesetz (2. Gesetz)
> Bekannt ist I = 0,006 und [mm]I_{0}[/mm] = 0,08.
> Ergebniss [mm]\alpha[/mm] = -2,025.
>
> Bei der Gegenrechnung stimmt das aber nicht!
> Wenn ich rechne 0,08 * [mm]e^{-2,025}[/mm] bekomme ich für I =
> 0,011 raus.
Also, unabhängig davon, dass dein Ergebnis für [mm] $\alpha$ [/mm] wegen des obigen Fehlers schon nicht mehr stimmt, hast du auch in der Kontrollrechnung einen Fehler:
Du hättest [m]I_0*e^{\red{-}\alpha}=0,08*e^{\red{-}(-2,025)}=0,08*e^{2,025}[/m] rechnen müssen. Aber wie gesagt, ganz oben [mm] ($(\star)$) [/mm] hast du schon einen Umformungsfehler, daher brauchst du jetzt auch nicht mehr [m]0,08*e^{2,025}[/m] auszurechnen; das wird auch nicht passen.
Übrigens:
Vermutlich darfst du einen TR benutzen. Dann kannst du dir auch die Umfomung bei [mm] $(\star_2)$ [/mm] (die ich dort, rechterhand, sofort durchgeführt hatte) sparen und direkt rechnen:
[mm] $e^{-\alpha}=\frac{I}{I_0}$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $-\alpha=\ln\left(\frac{I}{I_0}\right)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] (mit $I=0,006$ und [mm] $I_0=0,08$)
[/mm]
[mm] $-\alpha=\ln\left(\frac{0,006}{0,08}\right)$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $-\alpha=\ln\left(\frac{6}{80}\right)$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $-\alpha=\ln\left(\frac{3}{40}\right)$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $-\alpha=\ln(0,075)$
[/mm]
Der Taschenrechner liefert:
[mm] $\ln(0,075)\approx-2,59$, [/mm] und damit:
[mm] $\alpha \approx [/mm] 2,59$
Kontrolle:
[mm] $I_0*e^{-\alpha}\approx 0,08*e^{-2,59}\approx [/mm] 0,006$
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:43 Sa 15.01.2005 | | Autor: | sv_t |
Hallo Marcel,
ich danke Dir für die Hinweise.
Ich habe immer wieder Probleme beim Gleichungen umstellen.
Und Logarithmus ist auch nicht gerade mein Lieblingsthema.
Nun hatte ich nicht bedacht, dass ich den ln von [mm] (\bruch{I}{I_{0}}) [/mm] errechnen muss.
Was eine Klammer bewirken kann!
Aber hier im Forum wird einem sehr geholfen.
Also vielen Dank und bis zur nächsten Frage.
(Antworten werde ich hier warscheinlich keine geben können )
Gruß Sven.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 So 16.01.2005 | | Autor: | sv_t |
Hallo nochmal,
ich hab noch einen wichtigen Teil der Gleichung vergessen.
Die Gleichung heißt richtig:
I = [mm] I_{0}*e^{-\alpha*d}
[/mm]
wäre nach der Umstellung:
[mm] -\alpha*d [/mm] = [mm] ln(\bruch{I}{I_{0}})
[/mm]
Jetzt müsste man doch noch durch d teilen, oder?
Wäre dann:
[mm] -\alpha [/mm] = [mm] \bruch{ln(\bruch{I}{I_{0}})}{d} [/mm] oder [mm] -\alpha [/mm] = [mm] ln(\bruch{I}{I_{0}})*d^{-1}
[/mm]
Ist das richtig?
Vielen Dank für die Hilfe,
Gruß Sven.
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Alles richtig!
