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| Aufgabe | Sei [mm] $n\in\mathbb{N}, n\neq [/mm] 0$. Konstruiere Sätze [mm] $\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3$ [/mm] der Logik 1. Stufe, so dass für jedes Modell [mm] \mathcal{M}=(M,\dotso) [/mm] gilt:
a) [mm] $\mathcal{M}\models\varphi_1$ [/mm] gdw. $M$ hat mindestens $n$ Elemente.
b) [mm] $\mathcal{M}\models\varphi_2$ [/mm] gdw. $M$ hat höchstens $n$ Elemente.
c) [mm] $\mathcal{M}\models\varphi_3$ [/mm] gdw. $M$ hat genau $n$ Elemente. |
Hallo,
ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
Mir ist nicht ganz klar, wie ich solche Sätze konstruieren kann.
Also ein Satz ist ja eine Formel ohne freie Variable. Das heißt jede Variable liegt im "Wirkungsbereich" eines Quantors.
Außerdem eine Trägermenge $M$, irgendwelche Konstanten, Funktions und Relationszeichen.
Die Sätze muss ich unabhängig davon angeben.
Könnte ich etwa folgendes machen:
zu c)
[mm] $\exists v_1\exists v_2 \dotso\exists v_n(v_0\neq v_1\wedge v_0\neq v_2\wedge\dotso\wedge v_0\neq v_n (v_1\neq v_0\wedge v_1\neq v_2\wedge\dotso v_2\neq v_n (\dotso (v_n\neq v_0\wedge v_n\neq v_1\wedge\dotso \wedge v_n\neq v_{n-1})))\dotso)$
[/mm]
Einfach gesagt müsste diese Formel ausdrücken, dass es genau n Elemente gibt, da gilt [mm] $v_i\neq v_k$ [/mm] für [mm] $k\neq [/mm] i$.
In diesem Satz habe ich das Relationszeichen [mm] "$\neq$" [/mm] benutzt.
Ich müsste aber ein beliebiges Relationszeichen verwenden, nicht wahr?
Worauf muss ich also bei der Konstruktion dieser Sätze achten?
Vielleicht könnt ihr ein Beispiel machen.
Vielen Dank im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:26 So 24.04.2016 | | Autor: | hippias |
Dein Vorschlag geht genau in die richtige Richtung, obwohl er mir syntaktisch nicht ganz richtig aussieht.
Wichtiger ist, dass ein Modell, welches ihn erfüllt, nicht genau, sondern mindestens $n$ Elemente hat. Reicht das als Hinweis, um die restlichen Sätze auch zu finden?
Zur Frage hinsichtlich [mm] $\neq$: [/mm] normalerweise hat man ein Extrasymbol, welches stets als Gleichheit interpretiert wird; etwa [mm] $\equiv$. $v_{0}\not\equiv v_{1}$ [/mm] ist dann die Verneinung von [mm] $v_{0}\equiv v_{1}$. [/mm]
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> Wichtiger ist, dass ein Modell, welches ihn erfüllt, nicht genau, sondern mindestens $ n $ Elemente hat.
Stimmt, dann ist also mein Satz keine Lösung für c) sondern für a).
Denn es ist ja nicht klar, dass die Variablen [mm] $v_1,\dotso, v_n$ [/mm] schon "alle" sind.
Wenn ich nun noch einen Satz für b) finde, so habe ich einmal einen Satz mit "mindestens $n$ Elementen" und einen mit "höchstens $n$ Elementen".
Wenn ich diese beiden Sätze dann mit [mm] $\wedge$ [/mm] verknüpfe, müsste ich so direkt meinen Satz für c) bekommen.
Wenn [mm] $\varphi_1$ [/mm] und [mm] $\varphi_2$ [/mm] Sätze mit den entsprechenden Eigenschaften sind, dann ist
[mm] $\varphi_3=\varphi_1\wedge\varphi_2$
[/mm]
Ich werde morgen versuchen einen Satz für b) zu finden.
> obwohl er mir syntaktisch nicht ganz richtig aussieht.
Was meinst du damit? Fehlerhafte Klammerung?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Mi 27.04.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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