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Hallo!
Bei der logischen Implikation A => B ist es ja so, dass die Implikation wahr ist, wenn A falsch ist, aber B wahr bzw. die Implikation immer wahr ist, wenn die Prämisse falsch ist (und auch wen beides wahr ist). Ich habe dann noch gelesen, dass aus einer falschen Prämisse ein beliebiger Schluss gezogen werden kann.
Liegt das daran, dass man dann sagt: Gut, wenn die Prämisse falsch ist, aber die Konklusion wahr, dann hat die Konklusion eben irgend eine andere Prämisse, die sie erfüllt?
Das heißt "Wenn Berlin die Hauptstadt von Polen ist, dann ist Wasser ist flüssig" ist deshalb war, weil es dann eben irgendeinen anderen Grund haben muss, warum Wasser flüssig ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:25 Di 25.02.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo!
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> Bei der logischen Implikation A => B ist es ja so, dass die
> Implikation wahr ist, wenn A falsch ist, aber B wahr bzw.
> die Implikation immer wahr ist, wenn die Prämisse falsch
> ist (und auch wen beides wahr ist). Ich habe dann noch
> gelesen, dass aus einer falschen Prämisse ein beliebiger
> Schluss gezogen werden kann.
Hallo,
die verständlichste Erklärung ist vielleicht(?) folgende:
A=>B ist äquivalent zu "Stets gilt (B oder nicht A)".
(Wenn B nicht zutreffen sollte, dann KANN A NICHT GELTEN, denn aus A würde ja B folgen.).
Eine ODER-Verknüpfung ist aber nur dann falsch, wenn beide verknüpften Bestandteile falsch sind.
A=>B ist also NUR DANN falsch, wenn weder B noch (nicht A) gelten.
Gruß Abakus
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> Liegt das daran, dass man dann sagt: Gut, wenn die
> Prämisse falsch ist, aber die Konklusion wahr, dann hat
> die Konklusion eben irgend eine andere Prämisse, die sie
> erfüllt?
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> Das heißt "Wenn Berlin die Hauptstadt von Polen ist, dann
> ist Wasser ist flüssig" ist deshalb war, weil es dann eben
> irgendeinen anderen Grund haben muss, warum Wasser flüssig
> ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:13 Mi 26.02.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Vokabulator!
> Bei der logischen Implikation A => B ist es ja so, dass die
> Implikation wahr ist, wenn A falsch ist, aber B wahr bzw.
> die Implikation immer wahr ist, wenn die Prämisse falsch
> ist (und auch wen beides wahr ist). Ich habe dann noch
> gelesen, dass aus einer falschen Prämisse ein beliebiger
> Schluss gezogen werden kann.
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> Liegt das daran, dass man dann sagt: Gut, wenn die
> Prämisse falsch ist, aber die Konklusion wahr, dann hat
> die Konklusion eben irgend eine andere Prämisse, die sie
> erfüllt?
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> Das heißt "Wenn Berlin die Hauptstadt von Polen ist, dann
> ist Wasser ist flüssig" ist deshalb war, weil es dann eben
> irgendeinen anderen Grund haben muss, warum Wasser flüssig
> ist?
So würde ich es nicht formulieren.
Zwei Erklärungsversuche:
1. Die Aussage
"Wenn Berlin die Hauptstadt von Polen ist, dann ist Wasser flüssig"
behauptet ja nur wirklich etwas für den Fall, dass Berlin die Hauptstadt von Polen ist; sie behauptet nichts im Falle, dass Berlin nicht die Hauptstadt von Polen ist.
Die Aussage behauptet also nichts Falsches.
Somit ist es sinnvoll, ihr den Wahrheitswert "wahr" zuzuordnen.
2. Würde man die Konvention ändern, hätte das fatale Auswirkungen.
Betrachte z.B. mal die Aussage
"Für alle reellen Zahlen x gilt: Wenn [mm] $x\ge [/mm] 2$ erfüllt ist, dann gilt $x>0$."
Diese Aussage sollte natürlich wahr sein.
Dazu muss insbesondere ($x=1$) Folgendes wahr sein:
"Wenn [mm] $1\ge [/mm] 2$ erfüllt ist, dann gilt $1>0$."
Viele Grüße
Tobias
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Danke euch beiden für die Antworten! Ich glaube, ich sollte die logische Implikation nicht vom Alltagswissen her verstehen, sondern sie einfach als aussagenlogische Definition sehen, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:06 Fr 14.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke euch beiden für die Antworten! Ich glaube, ich
> sollte die logische Implikation nicht vom Alltagswissen her
> verstehen, sondern sie einfach als aussagenlogische
> Definition sehen, oder?
das passt zusammen:
Wie Abakus schon sagt:
$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$
besagt nichts anderes als den Wahrheitsgehalt von
[mm] $(\neg [/mm] A) [mm] \vee B\,.$
[/mm]
Logisch heißt aber:
$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$
auch im Alltag:
Wenn [mm] $A\,$ [/mm] wahr ist, dann muss (notwendig) [mm] $B\,$ [/mm] wahr sein.
Wir wissen also, wenn wir
$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$
sagen: Wenn [mm] $A\,$ [/mm] wahr ist, dann ist auch [mm] $B\,$ [/mm] wahr. Bzw. wenn [mm] $A\,$ [/mm] wahr
ist, dann kann die Aussage, dass dann [mm] $B\,$ [/mm] falsch ist, nicht mehr wahr sein.
Wenn [mm] $A\,$ [/mm] aber falsch ist, so macht es durchaus Sinn, die obige Definition zu
benutzen - und das ist jetzt vielleicht tatsächlich eher definitionssache, aber
es passt eigentlich auch zu dem, was wir im Alltag erwarten:
Wenn [mm] $A\,$ [/mm] falsch ist und [mm] $B\,$ [/mm] falsch ist, so wollen wir doch nicht $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$
als wahr erkennen:
Wenn wir
A: [mm] $0=7\,$
[/mm]
und
B: [mm] $7=\pi$
[/mm]
haben, so soll doch
[mm] $0=7\,$ $\Rightarrow$ $7=\pi$
[/mm]
nicht wahr werden.
(Edit: Hier stand Quatsch! Richtig wäre gewesen: Wenn [mm] $A\,$ [/mm] wahr ist
und aber [mm] $B\,$ [/mm] falsch ist, so wollen wir nicht
[mm] $A\,$ $\Rightarrow$ $B\,$
[/mm]
als wahr erkennen. Aus [mm] $7=7\,$ [/mm] soll also nicht etwa [mm] $0=1\,$ [/mm] impliziert werden
können...)
Aber die Folgerung
$0=7$ [mm] $\Rightarrow$ $7^2=49$
[/mm]
ist okay.
Beachte übrigens, dass
$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$
einen eigenen Wahrheitsgehalt besitzt - manche denken nämlich, dass
$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ mit dem Wahrheitsgehalt von [mm] $B\,$ [/mm] gleichzusetzen sei.
Das ist aber mitnichten so:
$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$
bedeutet: Unter der Voraussetzung, dass [mm] $A\,$ [/mm] wahr ist, muss es so sein, dass
[mm] $B\,$ [/mm] wahr ist - und wenn [mm] $A\,$ [/mm] falsch ist, dann hat $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ den
gleichen Wahrheitsgehalt wie [mm] $B\,.$
[/mm]
(Edit: Auch hier stand Quatsch! Sax hat es korrigiert:
Am einfachsten schaut man sich sowas an, indem man sich den Wahrheitsgehalt
von
[mm] $(\neg [/mm] A) [mm] \vee [/mm] B$
anguckt!!)
Das ist "alltagstauglich". Und das ist eigentlich auch *wichtiger* in
mathematischen Beweisen:
Was bringt es mir, wenn ich eine Aussage [mm] $C\,$ [/mm] beweisen soll, und das nur
mache, indem ich
$A [mm] \Rightarrow [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] C$
beweise? Nichts, der Beweis ist unvollständig: Ich muss dann auch begründen,
dass die Aussage [mm] $A\,$ [/mm] auch wahr ist.
Vielleicht magst Du ja auch
das hier (klick!)
mal lesen...
(Edit: Die Stellen, bei denen ich auf meinen Quatsch hingewiesen worden bin,
sind entsprechend geändert. Kann aber durchaus noch sein, dass ich da
noch etwas gedanklich falsches drin habe... habe wohl schneller getippt als
gedacht.  )
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:38 Fr 14.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Wenn $ [mm] A\, [/mm] $ falsch ist und $ [mm] B\, [/mm] $ falsch ist, so wollen wir doch nicht
> $ A [mm] \Rightarrow [/mm] B $ als wahr erkennen:
Doch, genau das wollen wir.
> und wenn $ [mm] A\, [/mm] $ falsch ist, dann hat $ A [mm] \Rightarrow [/mm] B $ den
> gleichen Wahrheitsgehalt wie $ [mm] B\,. [/mm] $
Nein, dann hat $ A [mm] \Rightarrow [/mm] B $ den Wahrheitswert "wahr".
Alltagsbeispiel : Wenn ich sage "Wenn es morgen regnet, dann werde ich mein Zimmer aufräumen.", dann habe ich weder gelogen wenn am nächsten Tag die Sonne scheint und ich mein Zimmer nicht aufräume noch habe ich gelogen wenn am nächsten Tag die Sonne scheint und ich mein Zimmer trotzdem aufräume.
Gruß Sax.
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Cool, dein Beispiel ist recht einleuchtend! Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:59 Mo 31.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi,
>
> > Wenn [mm]A\,[/mm] falsch ist und [mm]B\,[/mm] falsch ist, so wollen wir doch
> nicht
> > [mm]A \Rightarrow B[/mm] als wahr erkennen:
>
> Doch, genau das wollen wir.
ja, da war ich gedanklich neben mir:
[mm] $A\,$ $\Rightarrow$ $B\,$
[/mm]
bedeutet
[mm] $(\neg [/mm] A)$ [mm] $\vee$ $B\,.$
[/mm]
Wenn [mm] $A\,$ [/mm] falsch ist, ist [mm] $\neg [/mm] A$ wahr.
> > und wenn [mm]A\,[/mm] falsch ist, dann hat [mm]A \Rightarrow B[/mm] den
> > gleichen Wahrheitsgehalt wie [mm]B\,.[/mm]
>
> Nein, dann hat [mm]A \Rightarrow B[/mm] den Wahrheitswert "wahr".
Ja, ich habe da was durcheinander gebracht. Danke für die Korrekturen!
> Alltagsbeispiel : Wenn ich sage "Wenn es morgen regnet,
> dann werde ich mein Zimmer aufräumen.", dann habe ich
> weder gelogen wenn am nächsten Tag die Sonne scheint und
> ich mein Zimmer nicht aufräume noch habe ich gelogen wenn
> am nächsten Tag die Sonne scheint und ich mein Zimmer
> trotzdem aufräume.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Schönes Beispiel. 
Gruß,
Marcel
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Danke für den Link! Das mit den Beweisen wollte ich mir nämlich auch noch angucken!
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