Logistisches Wachstum China < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Ausgehend von der bisherigen Entwicklung - Welche Bevölkerungsgröße erwarten Sie für die Volksrepublik China für das Jahr 2060? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich hab oben gennante Aufgabe zum logistischen Wachstum gestellt bekommen und komme einfach nicht weiter.
Ich habe mir jetzt die Werte für die Populationsentwicklung in China aus dem Internet besorgt:
Jahr Einwohner
1950 556.613.000
1955 614.479.000
1960 682.024.000
1965 754.452.000
1970 825.812.000
1975 908.266.000
1980 981.200.000
1985 1.051.438.000
1990 1.133.682.500
1995 1.200.241.000
2000 1.265.830.000
2005 1.301.518.000
2015 1.392.234.000
2025 1.471.282.000
2050 1.322.435.000
Um nun die Aufgabe lösen zu können gehen wir im Unterricht von folgender Funktionsgleichung aus:
[mm] {f(x)}=\bruch{G*a}{a+(G-a)*e^{-cx}}
[/mm]
Hierbei ist:
G= die Grenze bzw Kapazität
a= Anfangswert
c= Wachstumsrate
e ist einfach die e-Funktion weil wir hier die Ableitung kennen
Meine Frage ist jetzt wie man das Ganze lösen soll.
Ich habe a gegeben, da geh ich mal von der Bevölkerung von 1950 aus.
Da die Werte von 2025 bis 2050 wieder Sinken gehe ich mal von G="Wert von 2025" aus.
Aber wie kann ich die Wachstumsrate bestimmen? Und kann man wirklich für G="Wert von 2025" einsetzen?! Ich versteh hier irgendwie garnichts mehr.
Ich hoffe auf schnelle Hilfe,
Danke im Vorraus :)
Benjamin
|
|
| |
|
> Ausgehend von der bisherigen Entwicklung - Welche
> Bevölkerungsgröße erwarten Sie für die Volksrepublik
> China für das Jahr 2060?
> Hallo,
> ich hab oben gennante Aufgabe zum logistischen Wachstum
> gestellt bekommen und komme einfach nicht weiter.
>
>
> Ich habe mir jetzt die Werte für die
> Populationsentwicklung in China aus dem Internet besorgt:
>
> Jahr Einwohner
> 1950 556.613.000
> 1955 614.479.000
> 1960 682.024.000
> 1965 754.452.000
> 1970 825.812.000
> 1975 908.266.000
> 1980 981.200.000
> 1985 1.051.438.000
> 1990 1.133.682.500
> 1995 1.200.241.000
> 2000 1.265.830.000
> 2005 1.301.518.000
> 2015 1.392.234.000
> 2025 1.471.282.000
> 2050 1.322.435.000
>
> Um nun die Aufgabe lösen zu können gehen wir im
> Unterricht von folgender Funktionsgleichung aus:
>
> [mm]{f(x)}=\bruch{G*a}{a+(G-a)*e^{-cx}}[/mm]
>
> Hierbei ist:
>
> G= die Grenze bzw Kapazität
> a= Anfangswert
> c= Wachstumsrate
> e ist einfach die e-Funktion weil wir hier die Ableitung
> kennen
>
> Meine Frage ist jetzt wie man das Ganze lösen soll.
>
> Ich habe a gegeben, da geh ich mal von der Bevölkerung von
> 1950 aus.
>
> Da die Werte von 2025 bis 2050 wieder Sinken gehe ich mal
> von G="Wert von 2025" aus.
>
> Aber wie kann ich die Wachstumsrate bestimmen? Und kann man
> wirklich für G="Wert von 2025" einsetzen?! Ich versteh
> hier irgendwie garnichts mehr.
>
> Ich hoffe auf schnelle Hilfe,
> Danke im Vorraus :)
ein r genügt !
> Benjamin
Hallo Benjamin,
Die Formel für das logistische Wachstum kann keine
Funktion beschreiben, die zuerst ansteigt und später
wieder fällt. Ich würde deshalb vorschlagen, dass du
nur die Bevölkerungszahlen bis 2005 benützt. Nur
diese können ja durch Volkszählungen belegt werden.
Die Zahlen für künftige Jahrzehnte beruhen auf (mög-
licherweise nicht realistischen) Prognosen.
Auch in der Aufgabe heißt es ja:
"Ausgehend von der bisherigen Entwicklung...." .
Die Daten von 1950 bis 2005 könnten aber mögli-
cherweise recht gut mit dem logistischen Modell
beschrieben werden.
In der Formel stecken drei Parameter: a,G und c.
Um Werte dafür zu erhalten, könnte man sich einmal
auf drei Datenpunkte beschränken, z.B. die Zahlen
für 1950, 1980 und 2005. Wenn du die entsprechenden
Werte für x und f(x) in die Formel einsetzt, hast du
3 Gleichungen, aus denen man die Parameterwerte
bestimmen kann.
Wenn man alle Daten benützen will, käme man auf
eine "logistische Regressionsrechnung", die aber
deutlich mehr Aufwand erfordern würde.
LG Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
Hallo Al-Chwarizmi,
vielen Dank für die schnelle Antwort.
Stimmt, diesen Verlauf mit einem logistischen Wachstum zu beschreiben macht kein Sinn. Beschränken wir uns also auf die feststehenden Daten bis 2005.
Die 3 Parameter sind mir auch klar.
Alledings verstehe ich folgenden Teil nicht ganz.
"Wenn du die entsprechenden
Werte für x und f(x) in die Formel einsetzt, hast du
3 Gleichungen, aus denen man die Parameterwerte
bestimmen kann. "
Wenn ich jetzt beispielsweise f(55) zwischen 1950 und 2005 berechnen möchte.
Dann wäre a=Wert von 1950
G=? Wofür benötige ich eigentlich die Kapazität? Kann man die überhaupt berechnen? Denn wir gehen doch erstmal davon aus das 2005 bzw. 2060 soviele Einwohner in China leben können wie sie wollen. Das heißt es gibt garkeine Kapazität. Dann könnte ich doch G einfach gegen unendlich laufen lassen. Oder vertu ich mich jetzt total?
c=? wie kann man denn die Wachstumsrate zwischen 1950 und 2005 berechnen. Rein logisch müsste das ja möglich sein, ich steh nur irgendwie total auf dem Schlauch.
e habe ich ja sowieso gegeben und x wäre die differenz zwischen 2005 und 1955 oder?
Danke schonmal im Voraus,
Benjamin
|
|
|
| |
|
> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> vielen Dank für die schnelle Antwort.
> Stimmt, diesen Verlauf mit einem logistischen Wachstum zu
> beschreiben macht kein Sinn. Beschränken wir uns also auf
> die feststehenden Daten bis 2005.
>
> Die 3 Parameter sind mir auch klar.
> Alledings verstehe ich folgenden Teil nicht ganz.
>
> "Wenn du die entsprechenden
> Werte für x und f(x) in die Formel einsetzt, hast du
> 3 Gleichungen, aus denen man die Parameterwerte
> bestimmen kann. "
>
> Wenn ich jetzt beispielsweise f(55) zwischen 1950 und 2005
> berechnen möchte.
>
> Dann wäre a=Wert von 1950 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> G=? Wofür benötige ich eigentlich die
> Kapazität? Kann man die überhaupt berechnen? Denn wir
> gehen doch erstmal davon aus das 2005 bzw. 2060 soviele
> Einwohner in China leben können wie sie wollen. Das heißt
> es gibt gar keine Kapazität. Dann könnte ich doch G
> einfach gegen unendlich laufen lassen. Oder vertu ich mich
> jetzt total?
Aus der Formel folgt: [mm] G=\limes_{x\to\infty}f(x)
[/mm]
Wir kennen aber G noch nicht, passen aber mittels
3 Datenpunkten eine logistische Wachstumsfunktion
so an, dass sie für 1950 (x=0), 1980 (x=30) und
2005 (x=55) passen soll. Also:
$\ f(0)\ =\ [mm] a\approx [/mm] 557$ (Millionen)
$\ f(30)\ =\ [mm] \frac{G*a}{a+(G-a)*e^{-30\,c}}\ \approx\ [/mm] 981$
$\ f(55)\ =\ ..........\ [mm] \approx\ [/mm] 1302$
Aus diesen Gleichungen sollten sich die noch fehlenden
Werte, also G und c, berechnen lassen. Die Gleichungen
sind allerdings unangenehm - vielleicht also ein Fall für
Maple oder so was ähnliches.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
Danke nochmals,
eine letzte Frage. Versteh ich das richtig das ich jetzt:
1. (Bsp 1980) 981 mio = [mm] \bruch{G*556Mio}{556Mio+(G-556Mio)*e^{-c30}}
[/mm]
2. G= [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{G*556Mio}{556Mio+(G-556Mio)*e^{-c30}}
[/mm]
Zu 2. Warum aufeinmal x gegen Unendlich? Nicht G? Und wie setze ich das in f(x) um also wie lasse ich G in [mm] \bruch{G*556Mio}{556Mio+(G-556Mio)*e^{-c30}} [/mm] gegen Unendlich laufen? Könntest du mir das vielleicht vorrechnen damit ich das nachvollziehen kann?
3. Nach c auflösen
4. c einsetzten und nach G auflösen
5. für x 110 einsetzten und alle anderen Variabeln
6. fertig.
Ich entschuldige mich für meine vermeindliche Unfähigkeit aber es ist mir wichtig die Aufgabe zu verstehen.
Danke,
Benjamin
|
|
|
| |
|
> Danke nochmals,
>
> eine letzte Frage. Versteh ich das richtig das ich jetzt:
>
> 1. (Bsp 1980) 981 mio = [mm] \bruch{G*556Mio}{556Mio+(G-556Mio)*e^{-c30}} [/mm]
ich würde das "Mio" einfach weglassen ...
> 2. G= [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{G*556Mio}{556Mio+(G-556Mio)*e^{-c*\red{30}}}[/mm]
statt 30 müsste hier x stehen ! (die Limesvariable für die Zeit)
Betrachte für die Überlegung zu G lieber einfach die
ursprüngliche Formel !
> Zu 2. Warum aufeinmal x gegen Unendlich? Nicht G?
Du hast sicher eine Grafik zur logistischen Funktion.
Für grosse x nähert sich die Funktion an die waag-
rechte Asymptote y=G an, also eben: wenn [mm] x\to\infty,
[/mm]
dann strebt f(x) gegen G.
> Und wie
> setze ich das in f(x) um also wie lasse ich G in
> [mm]\bruch{G*556Mio}{556Mio+(G-556Mio)*e^{-c30}}[/mm] gegen
> Unendlich laufen? Könntest du mir das vielleicht
> vorrechnen damit ich das nachvollziehen kann?
Für die folgende Rechnung braucht man gar keine
Grenzwertrechnung mehr.
> 3. Nach c auflösen
> 4. c einsetzen und nach G auflösen
> 5. für x 110 einsetzen und alle anderen Variabeln
> 6. fertig.
wie gesagt: das Auflösen der Gleichungen ist
vermutlich unangenehm - ich würde ein geeignetes
Solve-Programm suchen
> Ich entschuldige mich für meine vermeindliche Unfähigkeit
keine Ursache !
> aber es ist mir wichtig die Aufgabe zu verstehen.
>
> Danke,
>
> Benjamin
Schönen Abend !
Al-Chw.
|
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Okay ich bin jetzt nah dran es zu kapieren. Danke
Es tut mir wirklich leid das ich dir deine Zeit stehle aber:
Wie kann ich G= $ \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{G\cdot{}556Mio}{556Mio+(G-556Mio)\cdot{}e^{-cx\cdotx}}} $ nach c auflösen, das Problem warum ich das nicht verstehe ist das ich probleme mit dem Umgang mit dem Grenzwert habe. Ich verstehe was er besagt und deine Erklärung warum wir ihn hier bilden kann ich auch nachvollziehen. Trotzdem komme ich nicht weiter.
So langsam wird es mir auch peinlich aber... ich weiß nicht.
Danke,
Benjamin
|
|
|
| |
|
> Wie kann ich G= [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{G\cdot{}556Mio}{556Mio+(G-556Mio)\cdot{}e^{-cx\cdotx}}}[/mm]
> nach c auflösen,
du musst diese Gleichung gar nicht auflösen !
Die Funktionsgleichung ist:
$\ [mm] f(x)=\bruch{G*a}{a+(G-a)*e^{-c*x}}$
[/mm]
Wenn x gegen [mm] \infty [/mm] strebt, so geht [mm] e^{-c*x} [/mm] gegen Null
(c>0 vorausgesetzt). Daraus folgt
[mm] $\limes_{x\to\infty} [/mm] f(x)\ =\ [mm] \bruch{G*a}{a+(G-a)*0}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{G*a}{a}\ [/mm] =\ G$
[mm] (a\not=0 [/mm] vorausgesetzt)
> das Problem warum ich das nicht verstehe
> ist das ich probleme mit dem Umgang mit dem Grenzwert habe.
> Ich verstehe was er besagt und deine Erklärung warum wir
> ihn hier bilden kann ich auch nachvollziehen. Trotzdem
> komme ich nicht weiter.
Die Gleichungen, die aufzulösen sind, haben mit
dieser Limesbetrachtung nichts zu tun.
LG Al-Chw.
|
|
|
|
