Lok lipschitz-stetig => stetig < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $f: D [mm] \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ [/mm] lokal Lipschitz-stetig.
Zeigen Sie: Lokal Lipschitz-stetige Funktionen sind stetig. |
Guten Morgen zusammen,
ich versuche gerade den obigen Satz zu beweisen. Das ganze ist mir glaube ich auch gelungen, nur stimmt meine Lösung nicht ganz mit der Musterlösung überein.
Zunächst meine Lösung:
Da $f$ lokal lipschitz-stetig ist existiert zu jedem $a [mm] \in [/mm] D$ eine Konstante $L > 0$ und es gilt $||a-x|| < [mm] \delta_0$ [/mm] und $||a-y|| < [mm] \delta_0$ [/mm] für alle $x,y [mm] \in [/mm] D$ sowie [mm] $\delta_0 [/mm] >0$.
Nun gilt also
$||f(x)-f(y)|| < L [mm] \cdot [/mm] ||x-y|| = L [mm] \cdot [/mm] ||(-(a-x)) + (a-y)|| [mm] \leq [/mm] L [mm] \cdot [/mm] ||a-x|| + L [mm] \cdot [/mm] ||a-y|| < 2 [mm] \cdot L\cdot \delta_0$ [/mm] ...
.. wählen wir für ein [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ dann [mm] $\delta_0 [/mm] := [mm] \frac{\epsilon}{2 \cdot L}$ [/mm] so gilt ...
... $2 [mm] \cdot L\cdot \delta_0 [/mm] = 2 [mm] \cdot L\cdot \frac{\epsilon}{2 \cdot L} [/mm] = [mm] \epsilon$ [/mm] und damit die Stetigkeit.
In der Musterlösung ist der Weg fast genauso, nur dass dort noch ein weiteres [mm] $\delta$ [/mm] eingeführt wird mit [mm] $\delta [/mm] := min [mm] \{ \frac{\epsilon}{L}, \delta_0\}$ [/mm] mit [mm] $\delta [/mm] < ||y-a||$ mit der Bemerkung $||y-a|| < [mm] \delta \leq \delta_0$ [/mm] und $||a-a|| = 0 [mm] \leq \delta_0$.
[/mm]
Ich verstehe nicht wieso dort jetzt dieses zusätzliche [mm] $\delta [/mm] := min [mm] \{ \frac{\epsilon}{L}, \delta_0\}$ [/mm] verwendet hat. Damit der Beweis insgesamt sauberer ist oder ist der Beweis (also meiner) ohne dieses $min [mm] \{ \frac{\epsilon}{L}, \delta_0\}$ [/mm] schlicht falsch/unvollständig?
Vielen Dank :)
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Hallo nochmal,
da der Fälligkeitszeitraum gleich ausläuft, aber ich immernoch an einer Antwort interessiert bin, will ich meine Frage hier etwas verkürzen.
Ist denn zumindest mein Beweisansatz richtig? (unabhängig von der Musterlösung)
Also würdet ihr sowas als richtig anerkennen, wenn ihr das in einer Klausur als Lösung sehen würdet?
Also das hier:
> Da [mm]f[/mm] lokal lipschitz-stetig ist existiert zu jedem [mm]a \in D[/mm]
> eine Konstante [mm]L > 0[/mm] und es gilt [mm]||a-x|| < \delta_0[/mm] und
> [mm]||a-y|| < \delta_0[/mm] für alle [mm]x,y \in D[/mm] sowie [mm]\delta_0 >0[/mm].
>
> Nun gilt also
> [mm]||f(x)-f(y)|| < L \cdot ||x-y|| = L \cdot ||(-(a-x)) + (a-y)|| \leq L \cdot ||a-x|| + L \cdot ||a-y|| < 2 \cdot L\cdot \delta_0[/mm]
> ...
> .. wählen wir für ein [mm]\epsilon > 0[/mm] dann [mm]\delta_0 := \frac{\epsilon}{2 \cdot L}[/mm]
> so gilt ...
> ... [mm]2 \cdot L\cdot \delta_0 = 2 \cdot L\cdot \frac{\epsilon}{2 \cdot L} = \epsilon[/mm]
> und damit die Stetigkeit.
Vielen Dank schonmal :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:57 Mo 23.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f: D \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m[/mm]
> lokal Lipschitz-stetig.
> Zeigen Sie: Lokal Lipschitz-stetige Funktionen sind
> stetig.
> Guten Morgen zusammen,
>
> ich versuche gerade den obigen Satz zu beweisen. Das ganze
> ist mir glaube ich auch gelungen, nur stimmt meine Lösung
> nicht ganz mit der Musterlösung überein.
>
> Zunächst meine Lösung:
> Da [mm]f[/mm] lokal lipschitz-stetig ist existiert zu jedem [mm]a \in D[/mm]
> eine Konstante [mm]L > 0[/mm] und es gilt [mm]||a-x|| < \delta_0[/mm] und
> [mm]||a-y|| < \delta_0[/mm] für alle [mm]x,y \in D[/mm] sowie [mm]\delta_0 >0[/mm].
>
> Nun gilt also
> [mm]||f(x)-f(y)|| < L \cdot ||x-y|| = L \cdot ||(-(a-x)) + (a-y)|| \leq L \cdot ||a-x|| + L \cdot ||a-y|| < 2 \cdot L\cdot \delta_0[/mm]
> ...
> .. wählen wir für ein [mm]\epsilon > 0[/mm] dann [mm]\delta_0 := \frac{\epsilon}{2 \cdot L}[/mm]
> so gilt ...
> ... [mm]2 \cdot L\cdot \delta_0 = 2 \cdot L\cdot \frac{\epsilon}{2 \cdot L} = \epsilon[/mm]
> und damit die Stetigkeit.
>
> In der Musterlösung ist der Weg fast genauso, nur dass
> dort noch ein weiteres [mm]\delta[/mm] eingeführt wird mit [mm]\delta := min \{ \frac{\epsilon}{L}, \delta_0\}[/mm]
> mit [mm]\delta < ||y-a||[/mm] mit der Bemerkung [mm]||y-a|| < \delta \leq \delta_0[/mm]
> und [mm]||a-a|| = 0 \leq \delta_0[/mm].
>
> Ich verstehe nicht wieso dort jetzt dieses zusätzliche
> [mm]\delta := min \{ \frac{\epsilon}{L}, \delta_0\}[/mm] verwendet
> hat. Damit der Beweis insgesamt sauberer ist oder ist der
> Beweis (also meiner) ohne dieses [mm]min \{ \frac{\epsilon}{L}, \delta_0\}[/mm]
> schlicht falsch/unvollständig?
Ja !
Du gehst sehr schludrig mit der Def. von "lokal Lipschitzstetig um !
$ f: D [mm] \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m [/mm] $ ist lokal Lipschitz-stetig, wenn es zu jedem a [mm] \in [/mm] D ein L [mm] \ge [/mm] 0 und ein [mm] \delta_0 [/mm] >0 gibt mit:
(*) x,y [mm] \in [/mm] D , $ ||a-x|| < [mm] \delta_0 [/mm] $ , $ ||a-y|| < [mm] \delta_0 [/mm] $ [mm] \Rightarrow [/mm] $||f(x)-f(y)|| [mm] \le [/mm] L*||x-y||$.
(L und [mm] \delta_0 [/mm] hängen i.a. von a ab). [mm] \delta_0 [/mm] ist also durch a festgenagelt !
Jetzt wollen wir zeigen, dass f auf D stetig ist. Dazu nehmen wir uns ein a [mm] \in [/mm] D her und zeigen: f ist in a stetig.
Zu a gibt es ein L [mm] \ge [/mm] 0 und ein [mm] \delta_0 [/mm] >0 so, dass (*) gilt. Ist nun [mm] \varepsilon [/mm] >0, so müssen wir zeigen: es gibt ein [mm] \delta [/mm] >0 mit:
$x [mm] \in [/mm] D, ||x-a||< [mm] \delta [/mm] $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ ||f(x)-f(a)|| < [mm] \varepsilon.$
[/mm]
Schmierzettelrechnung zur Orientierung:
$ L*||x-a||< [mm] \varepsilon$ \gdw [/mm] $||x-a||< [mm] \bruch{\varepsilon}{L}$
[/mm]
Damit wir (*) verwenden können, muss auch noch $||x-a||< [mm] \delta_0$ [/mm] sein.
Ende Schmierzettelrechnung.
Wählen wir also $ [mm] \delta [/mm] := min [mm] \{ \frac{\varepsilon}{L}, \delta_0\} [/mm] $, so gilt für x [mm] \in [/mm] D mit $||x-a||< [mm] \delta$:
[/mm]
$||f(x)-f(a)|| [mm] \le [/mm] L*||x-a||< [mm] \varepsilon$.
[/mm]
FRED
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> Vielen Dank :)
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