Lokal Lipschitz stetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wir betrachten das zeitunabhängige Vektorfeld
f: R__>R, v__> 3v^(2/3).
Zeige direkt, dass dieses Vektorfeld stetig ist, aber nicht lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt. |
Hallo,
Ich komme nicht drauf, wie ich zeige, dass das Vektorfeld nicht lokal der Lipschitz-Bedingung genügt.
Diese Funktion, wenn ich mich nicht irre, ist ja auch nicht Lipschitz-Stetig, oder?! Das kann ich glaub ich noch zeigen, aber wie ich das lokal zeigen soll, da fehlt mir jeder Ansatz.
Anregungen werden gerne entgegengenommen ;)
Gruß
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: matheboard.de
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:57 Do 31.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
> Wir betrachten das zeitunabhängige Vektorfeld
>
> f: R__>R, v__> 3v^(2/3).
>
> Zeige direkt, dass dieses Vektorfeld stetig ist, aber nicht
> lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt.
> Hallo,
> Ich komme nicht drauf, wie ich zeige, dass das Vektorfeld
> nicht lokal der Lipschitz-Bedingung genügt.
> Diese Funktion, wenn ich mich nicht irre, ist ja auch
> nicht Lipschitz-Stetig, oder?! Das kann ich glaub ich noch
> zeigen, aber wie ich das lokal zeigen soll, da fehlt mir
> jeder Ansatz.
>
> Anregungen werden gerne entgegengenommen ;)
> Gruß
die Stetigkeit der Funktion $f \colon \IR \to \IR$ mit $\IR \ni x \mapsto f(x)=3*x^{2/3}$ ist klar.
(Oder brauchst Du da auch Hilfe?)
Die Funktion ist nicht Lipschitzstetig, das ist korrekt. Und wenn Du zeigen
sollst, dass sie noch nicht mal lokal Lipschitzstetig ist, dann kannst Du
natürlich erst recht nicht beweisen, dass sie Lipschitzstetig wäre: Wäre
sie Lipschitzstetig, so wäre sie doch insbesondere lokal Lipschitzstetig.
Deine Aufgabe ist es ja, mit der Definition der Lipschitzstetigkeit
nachzuweisen, dass die Funktion nicht lokal Lipschitzstetig ist. Ich sage
Dir mal, wie man "Problemstelle(n) finden kann", indem man guckt, wo
es keine Probleme gibt:
Sei $x_0 \in \IR$ fest und $x_0 \not=0\,.$Sei $\epsilon:=|x_0|/2\,.$ Das Intervall
$I_{x_0}:=[x_0-\epsilon,\;x_0+\epsilon]$
enthält weder die 0 noch ist 0 ein Häufungspunkt von diesem. Es gilt
$\left.f\right|_{I_{x_0}}$
ist differenzierbar (insbesondere [einseitig] diff'bar in den Randpunkten
von $I_{x_0}$!) mit
$\left(\left.f\right|_{I_{x_0}}\right)'(x)=2*\frac{1}{x^{1/3}}\,.$
Die Funktion $\left(\left.f\right|_{I_{x_0}}\right)'(x)=2*\frac{1}{x^{1/3}}$ ist auf dem kompakten
Intervall $I_{x_0}$ stetig, folglich beschränkt, so dass
$\left.f\right|_{I_{x_0}}$
stetig ist. Also ist $f\,$ lokal Lipschitzstetig in allen $x_0 \not=0\,.$ Diese Überlegung
brauchst Du in Deiner Aufgabe gar nicht zu erwähnen - es geht nur darum,
dass wir merken: Es gibt hier gar nicht so viele "Problemstellen", an denen
die lokale Lipschitzstetigkeit fehlschlägt. Genaugenommen gibt es nur eine,
und das ist $x_0=0\,.$
(Die eigentliche Aufgabe war es: Finde (mindestens) eine Stelle $x_0 \in \IR\,$ an
der $f\,$ nicht lokal Lipschitzstetig ist!)
Es bleibt also zu beweisen, dass $f\,$ an der Stelle $0\,$ nicht lokal Lipschitzstetig
ist. Nehmen wir an, dass wir falsch liegen, und es gebe doch ein $\epsilon > 0$ und
ein $L > 0\,$ so, dass für alle $x,y \in ]-\epsilon,\;\epsilon[$ gilt:
$|f(x)-f(y)|\,$ $\le$ $L\;*|x-y|\,.$
Wir beschränken uns auf den Fall
$x,y \in [0,\epsilon[\,.$
Sei $n \ge N$ und $N \in \IN$ mit $1/N < \epsilon\,.$ Berechne nun mal
$\frac{|f(\tfrac{1}{n})-f(\tfrac{1}{n+1})|}{\tfrac{1}{n}-\tfrac{1}{n+1}}=3*n*(n+1)*\left(\frac{1}{n^{2/3}}-\frac{1}{(n+1)^{2/3}}\right)=3(n*(n+1))^{1/3}*\left((n+1)^{2/3}-n^{2/3}\right)$
Das könnte man nun weiterrechnen und abschätzen, ich gebe aber zu,
dass das unschön wird - und ich sehe gerade auch keinen Weg, der nicht
ohne Tricks geht. Probieren wir was einfacheres: Wir ersetzen oben
überall das $1/(n+1)$ mal durch $0\,$:
$\frac{|f(\tfrac{1}{n})-f(0)|}{\tfrac{1}{n}-0}=3*\frac{1}{n^{2/3}}*n\,.$
Das sieht doch schon gut aus, denn: Was ist $n/n^{2/3}$ und was weißt Du über
$\sqrt[3]{x}$ bei $x \to \infty$?
Was folgt für uns?
Gruß,
Marcel
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Erstmal ein dickes Danke, dass du dir um die Uhrzeit, und natürlich auch im Allgemeinen, die Mühe machst!
[mm] n/n^2/3 [/mm] = 3. Wurzel(n)
Und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] dabei müsste doch auch [mm] \infty [/mm] sein! Ja, ist es.
Aber was heißt das nun genau? Vielleicht, weil da genau die Funktion herauskommt, dass es für [mm] X_0 [/mm] nicht lokal Lipschitzstetig ist?!
Allgemien den Widerspruchsbeweis zuletzt versteh ich in der Form nicht, warum nehmen wir auf einmal 3*n?
Danke
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:37 Do 31.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Erstmal ein dickes Danke, dass du dir um die Uhrzeit, und
> natürlich auch im Allgemeinen, die Mühe machst!
>
> [mm]n/n^2/3[/mm] = 3. Wurzel(n)
>
> Und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] dabei müsste doch auch
> [mm]\infty[/mm] sein! Ja, ist es.
ja, es ist
[mm] $\lim_{n \to \infty}\sqrt[3]{n}=\infty\,.$
[/mm]
> Aber was heißt das nun genau? Vielleicht, weil da genau
> die Funktion herauskommt, dass es für [mm]X_0[/mm] nicht lokal
> Lipschitzstetig ist?!
> Allgemien den Widerspruchsbeweis zuletzt versteh ich in
> der Form nicht, warum nehmen wir auf einmal 3*n?
Der Faktor 3 entstammt Deiner Funktion
$v [mm] \mapsto 3*v^{2/3}\,.$
[/mm]
Das ist aber absolut unwesentlich, ob da [mm] $3\,$ [/mm] oder sonstwas steht
(solange da nicht [mm] $0\,$ [/mm] steht). Ich hatte ihn bei der Funktion [mm] $f\,$ [/mm] aber auch
vergessen, vielleicht daher die Verwirrung?
Eigentlich ist das Fazit doch nun ganz einfach:
Wäre
$f [mm] \colon \IR \ni [/mm] x [mm] \mapsto 3*x^{2/3} \in \IR$
[/mm]
lokal Lipschitzstetig, dann insbesondere in [mm] $0\,.$ [/mm]
Insbesondere gibt es dann ein [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ und ein zugehöriges [mm] $L=L_{\epsilon,x_0=0} [/mm] > 0$ so,
dass für alle $x,y [mm] \in ]-\epsilon,\;\epsilon[$ [/mm] auch
[mm] $|f(x)-f(y)|\,$ $\le$ [/mm] $L$ [mm] $*|x-y|\,$
[/mm]
folgt.
Sei [mm] $y=0\,$ [/mm] und [mm] $x=x_N=1/N$ [/mm] mit natürlichem [mm] $N\,$ [/mm] so groß, dass $1/N < [mm] \epsilon\,.$ [/mm] Dann folgt
[mm] $|f(x_N)-f(0)|$ $\le$ $L\,$ $*|1/N-0|\,,$
[/mm]
also
[mm] $\left|3*\frac{1}{N^{2/3}}\right|$ $\le$ $L\,$ $*\frac{1}{N}\,.$
[/mm]
Da $N [mm] \in \IN$ [/mm] und damit $N > [mm] 0\,$ [/mm] gilt, können wir diese Ungleichung mit [mm] $N\,$ [/mm] multiplizieren,
ohne irgendwas am Ungleichheitszeichen zu drehen, und die Betragsstriche
sind zudem unnötig, es folgt
[mm] $3*\sqrt[3]{N} \le L\,.$
[/mm]
Genau die gleiche Überlegung zeigt, dass mit [mm] $x_n:=1/n$ [/mm] für natürliche $n [mm] \ge [/mm] N$ (störe
Dich nicht dran, dass [mm] $x_1,...,x_{n-1}$ [/mm] gar nicht definiert wurden!) dann auch aus
[mm] $|f(x_n)-f(0)|$ $\le$ $L\,$ $*|x_n-0|$
[/mm]
folgt
[mm] $(\*)$ $3*\sqrt[3]{n}$ $\le$ $L\,.$
[/mm]
Diese [mm] $x_n$ [/mm] erfüllen aber alle [mm] $x_n \in [0,\epsilon[ \;\,\subseteq\;\, ]-\epsilon,\;\epsilon[\,.$
[/mm]
Was passiert nun bei [mm] $(\*)$, [/mm] wenn wir $n [mm] \to \infty$ [/mm] streben lassen? Was bedeutet
das für die - angeblich - feste Zahl $L > [mm] 0\,$?
[/mm]
(Eine andere Argumentationsmöglichkeit: Würde $L > [mm] 0\,$ [/mm] wie gewünscht existieren,
so zeigt [mm] $(\*)$, [/mm] dass [mm] $\sqrt[3]{n} \le [/mm] L$ für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gelten muss. Wir
können aber sicher ein [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] mit [mm] $n_0 \ge \max\{N,\;L^3\}$ [/mm] finden. Das widerspricht aber [mm] $(\*)$, [/mm]
denn dann ist
[mm] $3*\sqrt[3]{n_0}$ $\ge$ $3*\sqrt[3]{L^3}$ $=\,$ $\ldots$ $\;>\,$ $L\,.$
[/mm]
Bekommst Du die ... noch ausgefüllt und siehst Du den Widerspruch?)
Gruß,
Marcel
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>Was passiert nun bei $ (*) $, wenn wir $ n [mm] \to \infty [/mm] $ >streben lassen? Was bedeutet
>das für die - angeblich - feste Zahl $ L > [mm] 0\, [/mm] $?
Das L kann ja nicht als [mm] \infty [/mm] gewählt werden und aus dem L [mm] \ge [/mm] wird ein < ?
> $ [mm] 3\cdot{}\sqrt[3]{n_0} [/mm] $ $ [mm] \ge [/mm] $ $ [mm] 3\cdot{}\sqrt[3]{L^3} [/mm] $ $ [mm] =\, [/mm] $ $ [mm] \ldots [/mm] $ $ [mm] \;>\, [/mm] $ $ [mm] L\,. [/mm] $
>Bekommst Du die ... noch ausgefüllt und siehst Du den >Widerspruch?)
Ich darf durch 3 teilen und aus [mm] \wurzel[3]{L^{3}} [/mm] = L > L. ?
Versteh ich das so richtig? Wenn ja, wir kann ich das am besten Formal aufschreiben?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:43 Do 31.07.2014 | | Autor: | fred97 |
Aus
$ (*) $ $ [mm] 3\cdot{}\sqrt[3]{n} \le [/mm] L$
folgt, dass die Folge [mm] (3\cdot{}\sqrt[3]{n}) [/mm] beschränkt ist. Das ist aber ein Widerspruch, denn
[mm] $3\cdot{}\sqrt[3]{n} \to \infty$ [/mm] für $ n [mm] \to \infty$
[/mm]
FRED
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Achso, okay, jetzt leuchtet mir das auch ein.
Vielen Dank für die Erklärungen und die Mühe!
Gruß
Fichtenelch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 Do 31.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> >Was passiert nun bei [mm](*) [/mm], wenn wir [mm]n \to \infty[/mm] >streben
> lassen? Was bedeutet
> >das für die - angeblich - feste Zahl [mm]L > 0\, [/mm]?
>
> Das L kann ja nicht als [mm]\infty[/mm] gewählt werden und aus dem
> L [mm]\ge[/mm] wird ein < ?
>
>
> > [mm]3\cdot{}\sqrt[3]{n_0}[/mm] [mm]\ge[/mm] [mm]3\cdot{}\sqrt[3]{L^3}[/mm] [mm]=\,[/mm] [mm]\ldots[/mm]
> [mm]\;>\,[/mm] [mm]L\,.[/mm]
>
> >Bekommst Du die ... noch ausgefüllt und siehst Du den
> >Widerspruch?)
>
> Ich darf durch 3 teilen
wozu?
> und aus [mm]\wurzel[3]{L^{3}}[/mm] = L > L.
> ?
> Versteh ich das so richtig? Wenn ja, wir kann ich das am
> besten Formal aufschreiben?
> Gruß
Naja, Fred hat Dir ja schon eine Möglichkeit genannt. Hier die für die
alternative Argumentation:
Es müßte
[mm] $(\*)$ $3*\sqrt[3]{n} \le [/mm] L$
für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gelten (soweit waren wir ja). Wir wählen ein [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] mit
[mm] $n_0 \ge \max\{L^3, N\}\,$ [/mm] (Warum geht das?).
Dann gilt [mm] $n_0 \ge [/mm] N$ und folglich müßte [mm] $n_0$ [/mm] auch [mm] $(\*)$ [/mm] erfüllen. Aber es gilt
[mm] $(\*\*)$ $3*\sqrt[3]{n_0}$ $\ge$ $3*\sqrt[3]{L^3}$ $=\,$ $3L\,$ $>\,$ $L\,.$
[/mm]
Fazit: Wegen [mm] $(\*\*)$ [/mm] und [mm] $(\*)$ [/mm] - mit [mm] $n=n_0$ [/mm] - folgt
[mm] $L\,$ $\,<$ $3*\sqrt[3]{n_0}$ $\le$ $L\,.$
[/mm]
Insbesondere wäre also $L < [mm] L\,,$ [/mm] was ein Widerspruch ist.
Gruß,
Marcel
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