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| Aufgabe | | Sei [mm] F(x,y)=-xy^2+3log(x)-4=0. [/mm] Lässt sich y in (1,2) als Funktion von x darstellen? WIe sieht es mit (1,3) aus? Berechne y', y''. |
Nun, ich habe einen Satz, dass unter bestimmten Voraussetzungen eine Funktion nach y auflösbar ist und dann gilt: [mm] y'(x)=-\frac{f_{x}(x,y(x))}{f_{y}(x,y(x))}. [/mm] Nun ist mir nicht ganz klar, wie ich den hier anwenden kann. Oder brauche ich einen anderen Satz? Wie mache ich das mit den Punkten? Gibt es hier eine Art "Rezept"?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:18 So 23.10.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
die "bestimmten vorraussetzngen sollst du genau in den gegebenen Punkten überprüfen!
Gruss leduart
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Mein Satz geht so: Sei f: z=(x,y) [mm] \rightarrow [/mm] f(z)=f(x,y) auf U [mm] \subseteq \mathbb{R}^2 [/mm] stetig differenzierbar. Sei [mm] f(x_{0},y_{0})=c [/mm] und [mm] f_{y}(x_{0},y_{0})\neq [/mm] 0, dann gibt es [mm] \delta [/mm] >0, sodass f(x,y)=c eindeutig lösbar ist und [mm] f_{y}(x,y)\neq [/mm] 0 für [mm] |x-x_{0}|\leq \delta, [/mm] y nahe bei [mm] y_{0}. [/mm] Sei y=y(x) jene eindeutige Lösung für [mm] x\in (x_{0}-\delta,x_{0}+\delta), [/mm] d. h. f(x,y(x))=c für [mm] |x-x_{0}|<\delta, [/mm] dann gilt [mm] y'(x)=-\frac{f_{x}(x,y(x))}{f_{y}(x,y(x))}.
[/mm]
So. Ich hoffe, ich habe mich nicht vertippt. Ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich hier den Satz anwenden kann. Mein c wäre hier 0, oder? Ich berechne die Ableitung nach y und überprüfe, ob sie ungleich 0 ist. [mm] f_{y} [/mm] wäre [mm] 3y^2-6x.
[/mm]
Und wie würde ich jetzt weiter machen?
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Hallo Herr_von_Omikron,
> Mein Satz geht so: Sei f: z=(x,y) [mm]\rightarrow[/mm] f(z)=f(x,y)
> auf U [mm]\subseteq \mathbb{R}^2[/mm] stetig differenzierbar. Sei
> [mm]f(x_{0},y_{0})=c[/mm] und [mm]f_{y}(x_{0},y_{0})\neq[/mm] 0, dann gibt es
> [mm]\delta[/mm] >0, sodass f(x,y)=c eindeutig lösbar ist und
> [mm]f_{y}(x,y)\neq[/mm] 0 für [mm]|x-x_{0}|\leq \delta,[/mm] y nahe bei
> [mm]y_{0}.[/mm] Sei y=y(x) jene eindeutige Lösung für [mm]x\in (x_{0}-\delta,x_{0}+\delta),[/mm]
> d. h. f(x,y(x))=c für [mm]|x-x_{0}|<\delta,[/mm] dann gilt
> [mm]y'(x)=-\frac{f_{x}(x,y(x))}{f_{y}(x,y(x))}.[/mm]
>
> So. Ich hoffe, ich habe mich nicht vertippt. Ich bin mir
> nicht ganz sicher, wie ich hier den Satz anwenden kann.
> Mein c wäre hier 0, oder? Ich berechne die Ableitung nach
> y und überprüfe, ob sie ungleich 0 ist. [mm]f_{y}[/mm] wäre
> [mm]3y^2-6x.[/mm]
> Und wie würde ich jetzt weiter machen?
Zunächst mußt Du überprüfen, ob der gegebene Punkt [mm]f\left(x,y\right)=0[/mm] erfüllt.
Gruss
MathePower
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Wollte ich gerade editieren. In (1,2) kommt 0 heraus, daher ist die Funktion hier nicht nach y auflösbar.
Und in (1,3) ist das Ergebnis ungleich 0, also da müsste es gehen?
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Hallo Herr_von_Omikron,
> Wollte ich gerade editieren. In (1,2) kommt 0 heraus, daher
Hier meinst Du wohl "ungleich 0".
> ist die Funktion hier nicht nach y auflösbar.
> Und in (1,3) ist das Ergebnis ungleich 0, also da müsste
> es gehen?
Nein, das geht für beide Punkte nicht, da [mm]f\left(x,y\right) \not=0 [/mm] ist.
Gruss
MathePower
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Hm, stimmt, in beiden Punkten ist die y-Ableitung ungleich 0.
D. h. ich kann die Funktion in beiden Punkten nach y auflösen? Und wie gehe ich jetzt weiter vor?
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Hallo Herr_von_Omikron,
> Hm, stimmt, in beiden Punkten ist die y-Ableitung ungleich
> 0.
>
Nochmal, für beide Punkt ist [mm]F\left(x.y\right) \not= 0[/mm].
> D. h. ich kann die Funktion in beiden Punkten nach y
> auflösen? Und wie gehe ich jetzt weiter vor?
Nein, die Funktion ist nicht nach y auflösbar, da [mm]F\left(x,y\right) \not= 0[/mm].
Gruss
MathePower
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D. h. ich setze die beiden Punkte einfach nur in die Funktion ein und schaue, ob sie die Funktionsgleichung erfüllen?
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Hallo Herr_von_Omikron,
> D. h. ich setze die beiden Punkte einfach nur in die
> Funktion ein und schaue, ob sie die Funktionsgleichung
> erfüllen?
Ja.
Gruss
MathePower
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Das scheint ja in so einem Fall ziemlich einfach zu sein..
Ich hätte noch eine gleiche Aufgabe mit anderen Zahlen,
[mm] \sin(x)+2\cos(y) -\frac{1}{2}=0 [/mm] in [mm] (\frac{\pi}{6},\frac{3\pi}{2}).
[/mm]
Hier kommt wirklich 0 heraus. Also muss ich weiter vorgehen.
Ich berechne die Ableitung nach y, dann habe ich -2cos(y). Richtig soweit?
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Hallo Herr_von_Omikron,
> Das scheint ja in so einem Fall ziemlich einfach zu sein..
>
> Ich hätte noch eine gleiche Aufgabe mit anderen Zahlen,
> [mm]\sin(x)+2\cos(y) -\frac{1}{2}=0[/mm] in
> [mm](\frac{\pi}{6},\frac{3\pi}{2}).[/mm]
>
> Hier kommt wirklich 0 heraus. Also muss ich weiter
> vorgehen.
> Ich berechne die Ableitung nach y, dann habe ich -2cos(y).
> Richtig soweit?
Das ist nicht richtig.
Um die Ableitung zu bestimmen, setze in obiger Gleichung [mm]y=y\left(x\right)[/mm]
und differenziere dann.
Gruss
MathePower
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Aber in meinem Satz steht doch: Sei [mm] F(x_{0},y_{0})=c [/mm] und [mm] F_{y}(x_{0},y_{0})\neq [/mm] 0. Ist damit nicht die normale Ableitung nach y gemeint?
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Hallo Herr_von_Omikron,
> Aber in meinem Satz steht doch: Sei [mm]F(x_{0},y_{0})=c[/mm] und
> [mm]F_{y}(x_{0},y_{0})\neq[/mm] 0. Ist damit nicht die normale
> Ableitung nach y gemeint?
Es ist richtig, daß die partielle Ableitung [mm]F_{y}[/mm]
im Punkt [mm]\left(x_{0},y_{0}\right)[/mm] nicht verschwinden soll.
Das ist aber nicht die Ableitung y' der Funktion y(x),
die sich aus der Funktionsgleichung ergibt.
Gruss
MathePower
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Schon klar, nur so weit war ich noch nicht. Entschuldigung.
Jetzt setze ich y=y(x). Was heißt das? Soll ich die Gleichung [mm] \sin(x)+2\cos(y)-1/2 [/mm] nach y auflösen, also [mm] y=\arccos{(\frac{1}{4}-\frac{\sin(x)}{2})}?
[/mm]
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Hallo Herr_von_Omikron,
> Schon klar, nur so weit war ich noch nicht.
> Entschuldigung.
> Jetzt setze ich y=y(x). Was heißt das? Soll ich die
> Gleichung [mm]\sin(x)+2\cos(y)-1/2[/mm] nach y auflösen, also
> [mm]y=\arccos{(\frac{1}{4}-\frac{\sin(x)}{2})}?[/mm]
Die Gleichung mußt Du nicht nacht y auflösen.
Es ist nach den Ableitungen y', y'' gefragt.
Dazu differenzierst Du die Gleichung
[mm]\sin(x)+2\cos( \ y\left(x\right) \ )-1/2=0[/mm]
zweimal nach x.
Gruss
MathePower
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Hmm, ich glaube ganz klar ist mir das noch nicht. Wieso heißt y=y(x) setzen und ableiten, dass ich einfach nach x differenzieren muss?
Und wie mache ich das?
Wenn ich sin x+2 cos [mm] y(x)-\frac{1}{2} [/mm] nach x ableiten soll, was geschieht dann mit dem y(x)?
Und was heißt [mm] f_{x}(x,y(x))
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:04 Di 25.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu meinem post: du hast [mm] f_y [/mm] falsch berechnet.
2 methoden y' zu berechnen 1. wie du selbst schriebst:$ [mm] y'(x)=-\frac{f_{x}(x,y(x))}{f_{y}(x,y(x))}. [/mm] $
2. Wenn du in f(x,y(x)) ableitest, dann wird etwa aus cos(y(x))-> sin(y)*y' nach Kettenregel. dann nach y' auflösen.
entsprechend y'', darin dann y' durch den dann bekannten ausdruck ersetzen.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 Mo 24.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine behauptung, einige posts zurück:
Ich berechne die Ableitung nach y, dann habe ich -2cos(y). Richtig soweit?
ist nicht richtig!
wie du y' ausrechnest steht doch in deinem 1. post?
gruss leduart
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Vielen Dank für eure Geduld. Ich glaube ich habs soweit, wobei mich deine (leduarts) Antwort wieder irritiert.
Laut Satz muss ich doch überprüfen, ob [mm] f_{y} \neq [/mm] 0 ist? Oder was ist da genau mein Fehler jetzt?
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