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Hallo,
Das ist eine Klausuraufgabe und ich komme hier nicht weiter...
Ich soll die kritischen Stellen der Funktion [mm] f(x,y)=4x^3-x^3y^2+y^2+2008 [/mm] mit (x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] berechnen. (Extrem-oder Sattelstellen)
Hab erstmal die Gradienten berechnet und die erste nach x abgeleitet und die zweite nach y.
[mm] \Delta(x,y)= \vektor{12x^2-3x^2y^2\\ -x^2*2x+2y} [/mm] und das ganze gleich Null gesetzt.
1. [mm] 12x^2-3x^2y^2=0
[/mm]
[mm] 4x^2=y^2
[/mm]
2. [mm] -x^3*2y+2y=0
[/mm]
[mm] x^3*2y=2y
[/mm]
daraus folgt dass [mm] x=\wurzel[3]{1}=1 [/mm] und habe es in die zweite Gleichung eingesetzt habe dann [mm] y^2=\wurzel{4 y=}\pm2 [/mm] erhalten.
Jetzt habe ich die Punkte P1=(1/2) und P2=(1/-2)
Für die Extremstellen habe ich versucht mit Hesse Matrix zu arbeiten.
Habe hier die 2.Ableitung benutzt.
H= [mm] \pmat{ 24x-6x*y^2 & -3x^2*2y \\ -3x^2*2y & -x^3*2+2} [/mm]
So und hier weiss ich leider nicht wie ich die Determinante und die Extremstelle berechnen kann also damit ich weiss ob man hier einen Sattelpunkt hat oder einen Wendepunkt ob es ein Minimum oder ob es sich um ein Maximum handelt.
Danke schonmal im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:39 Mo 14.07.2014 | | Autor: | Sema4Ever |
Unten in der Matrix habe ich etwas vergessen da sollte eigentlich 2 sein
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:52 Mo 14.07.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo Sema4Ever,
setze für x und y in deine Hessematrix die Kandidaten für mgl. Extremstellen ein, also H(1,2) und H(1,-2). Danach kannst du die Eigenwerte ganz normal mit den entsprechenden Zahlenwerten berechnen, also über das charakteristische Polynom, z.B. [mm] det(H(1,2)-\lambda\cdot E_2)=0 [/mm] mit [mm] E_2 [/mm] Einheitsmatrix. Sind alle Eigenwerte > 0, dann ist H positiv definit. Sind alle < 0, dann ist H negativ definit. [mm] \ge0 [/mm] folgt positiv semidefinit. [mm] \le0 [/mm] folgt negativ semidefinit. Alternativ kannst du auch über das Determinantenkriterium argumentieren, was ich hier erklärt habe.
Über Definitheit kannst du Extremstellen identifizieren.
H positiv definit => lok. Minimumstelle
H negativ definit => lok. Maximumstelle
H indefinit => echter Sattelpunkt.
MfG
Ladon
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Muss ich zuerst 3. Ableitung machen ? Und in welche Gleichung muss ich die Punkte einsetzen? Habe ja einmal die 1. Gleichung nach x abgeleitet und nach y und die 2. Gleichung auch. Ich habe ja 4 Gleichungen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 Mo 14.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Muss ich zuerst 3. Ableitung machen ?
Nein, wozu? Das hat doch niemand gesagt!
> Und in welche
> Gleichung muss ich die Punkte einsetzen? Habe ja einmal die
> 1. Gleichung nach x abgeleitet und nach y und die 2.
> Gleichung auch. Ich habe ja 4 Gleichungen.
Du hast NICHT 4 Gleichungen, sondern 4 Terme in den Variablen x und y, welche in der Hesse-Matrix stehen.
Dort setzt du nacheinander die x- und y- Koordinaten deiner Punkte ein, berechnest die Determinante der Matrix und prüfst, ob sie größer Null ist. Verfahre dann so wie in dem gegebenen Link.
BTW, du hast einen Punkt vergessen. Um zu x=1 zu gelangen hast du eine Gleichung beidseits durch y dividiert. Das ist natürlich nur für y ungleich Null zulässig und du hast somit die Lösung y=0, welche auf den Punkt (0(0/2008) führt, verloren.
Übrigens ist keiner der drei Punkte ein lokaler Extremwert.
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