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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Lokale Extrema (Exponetia)l
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Lokale Extrema (Exponetia)l: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:26 Mo 14.08.2006
Autor: noidea44

Aufgabe
Bestimmen SIe alle lokalen Extrema der Funktion!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo zusammen!

Ich komme leider bei dieser Augabe leider nur  bis zur folgenden Stelle:



gradf=  [mm] f_x=y(e^{-x^2-y^2} [/mm] + [mm] x*e^{-x^2-y^2}(-2x)) [/mm]
                  [mm] =y(e^{-x^2-y^2}(1-2x^2)) [/mm]

            [mm] f_y= x(e^{-x^2-y^2} [/mm] + [mm] y*e^{-x^2-y^2}(-2y)) [/mm]
                 = [mm] x(e^{-x^2-y^2}(1-2y^2)) [/mm]

    Nach der Formel für Extrema für mehrere Veränderlicher gilt:

  [mm] \begin{pmatrix} y(e^{-x^2-y^2}(1-2x^2)) \\ x(e^{-x^2-y^2}(1-2y^2)) \\ \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} [/mm]

Ab da weiss ich jetzt nicht genau, wie ich  nun x und y genau ausrechnen muss. Ich habe zwar folgendes angewandt: eines der Produkte = 0 setzten , habe aber schwierigkeiten mit dem Exponentialausdruck.

Kann mir bitte jemand weiterhelfen? Ich komme wirklich nicht mehr weiter an der Stelle.

Danke!


        
Bezug
Lokale Extrema (Exponetia)l: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:34 Mo 14.08.2006
Autor: ardik

Hallo noidea,

> eines der Produkte = 0 setzten , habe aber schwierigkeiten
> mit dem Exponentialausdruck.

Dann hilft Dir vermutlich schon der Hinweis, dass immer gilt: [mm] $e^x [/mm] > 0$ oder anders ausgedrückt: e hoch irgendwas wird nie gleich null. Du kannst also einfach z.B. unbesorgt dadurch teilen und den Exponenten schlicht ignorieren.

Schöne Grüße,
ardik

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Bezug
Lokale Extrema (Exponetia)l: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:03 Mo 14.08.2006
Autor: noidea44

Hallo ardik!

Ich hätte dann ja folgendes stehen :
[mm] \bruch{y}{e^{-x^2-y^2}} *(1-2x^2)=0 [/mm]
und
[mm] \bruch{x}{e^{-x^2-y^2}} *(1-2y^2)=0 [/mm]

Genau ab hier komme ich ja nicht weiter. Auch wenn ich die exponenten ignorieren würde , weiss ich nicht wie der nächste schritt ist.

kannst du mir einen Tipp geben?

Gruß

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Bezug
Lokale Extrema (Exponetia)l: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 20:31 Mo 14.08.2006
Autor: felixf

Hallo!

> Ich hätte dann ja folgendes stehen :
> [mm]\bruch{y}{e^{-x^2-y^2}} *(1-2x^2)=0[/mm]
>  und
>  [mm]\bruch{x}{e^{-x^2-y^2}} *(1-2y^2)=0[/mm]

Jetzt hast du zweimal dadurch geteilt. Wenn du es nur einmal teilst (oder das hier wieder mit [mm] $e^{-x^2-y^2}$ [/mm] multiplizierst), erhaelst du

> [mm]y * (1-2x^2)=0[/mm]
>  und
>  [mm]x * (1-2y^2)=0[/mm]

LG Felix


Bezug
                                
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Lokale Extrema (Exponetia)l: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:38 Mo 14.08.2006
Autor: noidea44

Geht das denn ohne weiteres?
Naja, ich meine das ist für manch einen glaube ich recht trivial . Nur habe ich bis jetzt mit soetwas noch nicht gerechnet. :O)


Gruß

Bezug
                                        
Bezug
Lokale Extrema (Exponetia)l: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:39 Mo 14.08.2006
Autor: felixf

Hallo!

> Geht das denn ohne weiteres?

Ja, das geht! Schliesslich ist [mm] $e^{-x^2-y^2}$ [/mm] immer [mm] $\neq [/mm] 0$.

LG Felix


Bezug
                                                
Bezug
Lokale Extrema (Exponetia)l: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:48 Mo 14.08.2006
Autor: noidea44

Hallo  Felix!

Vielen dank für die schnelle Antwort !

LG  


Bezug
                                                
Bezug
Lokale Extrema (Exponetia)l: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:38 Mo 14.08.2006
Autor: noidea44

Ich hätte zum schluss eine Frage :

Ma hat ja nun folgende GLeichungen :
[mm]y * (1-2x^2)=0[/mm] (1.Gleichung)

>  und
>  [mm]x * (1-2y^2)=0[/mm] (2.Gleichung)

für [mm] x_{1,2}={\pm\bruch{1}\wurzel{2}} [/mm]
erhalte für [mm] x_1={\bruch{1}\wurzel{2}} [/mm] ( in die 2. Gleichung eingesetzt)
[mm] y={\pm\bruch{1}\wurzel{2}} [/mm]

Heisst das, dass x an dieser stelle zwei y-werte hat?


Bezug
                                                        
Bezug
Lokale Extrema (Exponetia)l: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:19 Mo 14.08.2006
Autor: ardik

Hallo noidea,

> Man hat ja nun folgende GLeichungen :
>  [mm]y * (1-2x^2)=0[/mm] (1.Gleichung)
>  und
>  [mm]x * (1-2y^2)=0[/mm] (2.Gleichung)
>  
> für [mm]x_{1,2}=\pm\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
> erhalte für [mm]x_1=\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] ( in die 2. Gleichung
> eingesetzt)
>  [mm]y=\pm\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> Heisst das, dass x an dieser stelle zwei y-werte hat?

Mnjah...

Zunächst sprachlich: x hat nie irgendwelche y-Werte. Allenfalls gibt es zu einem x(-Wert) irgendwelche y-Werte...


Denk an die ursprüngliche Problemstellung:
Wo kann ein Extremum vorliegen? Also wo ("wann"), für welche Kombinantion(en) von x und y werden beide Gleichungen erfüllt?

Die erste Gleichung wird - z.B.! - durch Dein [mm] $x_{1,2}=\pm\bruch{1}{\wurzel{2}}$ [/mm] erfüllt. Ausgehend von diesem Werten für x wird die zweite Gleichung durch [mm] $y_{1,2}=\pm\bruch{1}{\wurzel{2}}$ [/mm] erfüllt.

Also können Extremstellen an allen vier Punkten vorliegen, die sich aus diesen Koordinaten ergeben.

Aber übersieh nicht, dass Gl. 1 auch durch [mm] $x_3 [/mm] = 0$ erfüllt wird, und dann muss auch [mm] $y_3 [/mm] = 0$ sein.
Also noch ein fünfter Punkt.

Zum Schluss sei noch erwähnt, dass diese Punkte erstmal nur "kritische Punkte" sind, also Punkte mit waagerechter Tangentialebene. Das können natürlich auch Sattelpunkte etc. sein.
Die Untersuchung, ob es wirklich Extrema sind, und welche (Max? Min?) steht also noch aus. (Stichwort z.B.: Hesse-Matrix).

Schöne Grüße,
ardik

Bezug
                                                                
Bezug
Lokale Extrema (Exponetia)l: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:38 Mo 14.08.2006
Autor: noidea44

Hallo  ardik!

Danke für die schnelle Reaktion und ausführliche Erklärung!
Habe es nun verstanden!

LG

Bezug
                                
Bezug
Lokale Extrema (Exponetia)l: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:54 Mo 14.08.2006
Autor: noidea44


> Hallo!
>  
> > Ich hätte dann ja folgendes stehen :
> > [mm]\bruch{y}{e^{-x^2-y^2}} *(1-2x^2)=0[/mm]
>  >  und
>  >  [mm]\bruch{x}{e^{-x^2-y^2}} *(1-2y^2)=0[/mm]
>

Es ist mir aufgefallen , dass diese umformung nicht rihtig ist . Es müsste folgendes stehen:

> [mm]\bruch{y}{e^{-(x^2+y^2)}} *(1-2x^2)=0[/mm]
>  und
>  [mm]\bruch{x}{e^-{(x^2+y^2)}} *(1-2y^2)=0[/mm]  

  
LG

Bezug
                                        
Bezug
Lokale Extrema (Exponetia)l: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:58 Mo 14.08.2006
Autor: noidea44



Sorry, aber das ist auch falsch!! :o)


Es muss folgendes stehen:

>  >  
> > > Ich hätte dann ja folgendes stehen :
> > > [mm]\bruch{y}{e^{x^2+y^2}} *(1-2x^2)=0[/mm]
>  >  >  und
>  >  >  [mm]\bruch{x}{e^{x^2+y^2}} *(1-2y^2)=0[/mm]
>  >

Jetzt müsste es stimmen. :O)
LG

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