Lokale Extrema, Taylorpolynom < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Sa 05.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | Sei F: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] gegeben durch
F(a)= [mm] \integral_{1}^{a}{(x^{2}-5x+4)e^{x} dx}
[/mm]
(a) Bestimmen Sie die lokalen Extrema von F.
(b) Geben Sie das Taylor-Polynom von Grad 3 zu F um den Entwicklungspunkt 1 an. |
Guten Tag,
habe zunächst [mm] \integral_{1}^{a}{(x^{2}-5x+4)e^{x} dx} [/mm] = [mm] e^{a}(a^{2}-7a [/mm] +11)-5e bestimmt.
Zu a) [mm] (x^{2}-5x+4)e^{x} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x = 1 oder x = 4. Da [mm] (x^{2}-5x+4)e^{x} [/mm] > 0 für x [mm] \in (-\infty [/mm] , 1),
[mm] (x^{2}-5x+4)e^{x} [/mm] < 0 für x [mm] \in [/mm] (1 , 4) und für x [mm] \in [/mm] (4 , [mm] \infty) (x^{2}-5x+4)e^{x} [/mm] > 0 gibt es ein Maximum bei x = 1 und ein Minimum bei x = 4. Ist das soweit korrekt?
Zu b) [mm] \summe_{k=0}^{3} \bruch{F^{(k)}(1)}{k!}*(x-1)^{k} [/mm] = [mm] \bruch{F(1)}{0!}*(x-1)^{0} [/mm] + [mm] \bruch{F(1)^{1}}{1!}*(x-1)^{1} [/mm] + [mm] \bruch{F(1)^{2}}{2!}*(x-1)^{2} [/mm] + [mm] \bruch{F(1)^{3}}{3!}*(x-1)^{3}
[/mm]
F(1) = 5e
[mm] F(1)^{1} [/mm] = 0
[mm] F(1)^{2} [/mm] = -3e
[mm] F(1)^{3} [/mm] = -4e
Also [mm] \summe_{k=0}^{3} \bruch{F^{(k)}(1)}{k!}*(x-1)^{k} [/mm] = 5e [mm] +\bruch{9e^{2}}{2}(x-1)^{2}+\bruch{(-4e)^{3}}{6}(x-1)^{3}
[/mm]
Stimmt das soweit?
LG Loriot95
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Hallo Loriot95,
> Sei F: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] gegeben durch
>
> F(a)= [mm]\integral_{1}^{a}{(x^{2}-5x+4)e^{x} dx}[/mm]
>
> (a) Bestimmen Sie die lokalen Extrema von F.
> (b) Geben Sie das Taylor-Polynom von Grad 3 zu F um den
> Entwicklungspunkt 1 an.
>
> Guten Tag,
>
> habe zunächst [mm]\integral_{1}^{a}{(x^{2}-5x+4)e^{x} dx}[/mm] =
> [mm]e^{a}(a^{2}-7a[/mm] +11)-5e bestimmt.
>
> Zu a) [mm](x^{2}-5x+4)e^{x}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] x = 1 oder x = 4.
> Da [mm](x^{2}-5x+4)e^{x}[/mm] > 0 für x [mm]\in (-\infty[/mm] , 1),
> [mm](x^{2}-5x+4)e^{x}[/mm] < 0 für x [mm]\in[/mm] (1 , 4) und für x [mm]\in[/mm] (4
> , [mm]\infty) (x^{2}-5x+4)e^{x}[/mm] > 0 gibt es ein Maximum bei x =
> 1 und ein Minimum bei x = 4. Ist das soweit korrekt?
Ja, das ist soweit korrekt.
>
> Zu b) [mm]\summe_{k=0}^{3} \bruch{F^{(k)}(1)}{k!}*(x-1)^{k}[/mm] =
> [mm]\bruch{F(1)}{0!}*(x-1)^{0}[/mm] + [mm]\bruch{F(1)^{1}}{1!}*(x-1)^{1}[/mm]
> + [mm]\bruch{F(1)^{2}}{2!}*(x-1)^{2}[/mm] +
> [mm]\bruch{F(1)^{3}}{3!}*(x-1)^{3}[/mm]
>
> F(1) = 5e
> [mm]F(1)^{1}[/mm] = 0
> [mm]F(1)^{2}[/mm] = -3e
> [mm]F(1)^{3}[/mm] = -4e
>
> Also [mm]\summe_{k=0}^{3} \bruch{F^{(k)}(1)}{k!}*(x-1)^{k}[/mm] =
> 5e
> [mm]+\bruch{9e^{2}}{2}(x-1)^{2}+\bruch{(-4e)^{3}}{6}(x-1)^{3}[/mm]
F(1) mußt Du nochmal nachrechnen.
Die anderen Koeffizienten stimmen.
>
> Stimmt das soweit?
>
> LG Loriot95
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Sa 05.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
> Hallo Loriot95,
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> > Sei F: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] gegeben durch
> >
> > F(a)= [mm]\integral_{1}^{a}{(x^{2}-5x+4)e^{x} dx}[/mm]
> >
> > (a) Bestimmen Sie die lokalen Extrema von F.
> > (b) Geben Sie das Taylor-Polynom von Grad 3 zu F um
> den
> > Entwicklungspunkt 1 an.
> >
> > Guten Tag,
> >
> > habe zunächst [mm]\integral_{1}^{a}{(x^{2}-5x+4)e^{x} dx}[/mm] =
> > [mm]e^{a}(a^{2}-7a[/mm] +11)-5e bestimmt.
> >
> > Zu a) [mm](x^{2}-5x+4)e^{x}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] x = 1 oder x = 4.
> > Da [mm](x^{2}-5x+4)e^{x}[/mm] > 0 für x [mm]\in (-\infty[/mm] , 1),
> > [mm](x^{2}-5x+4)e^{x}[/mm] < 0 für x [mm]\in[/mm] (1 , 4) und für x [mm]\in[/mm] (4
> > , [mm]\infty) (x^{2}-5x+4)e^{x}[/mm] > 0 gibt es ein Maximum bei x =
> > 1 und ein Minimum bei x = 4. Ist das soweit korrekt?
>
>
> Ja, das ist soweit korrekt.
>
>
> >
> > Zu b) [mm]\summe_{k=0}^{3} \bruch{F^{(k)}(1)}{k!}*(x-1)^{k}[/mm] =
> > [mm]\bruch{F(1)}{0!}*(x-1)^{0}[/mm] + [mm]\bruch{F(1)^{1}}{1!}*(x-1)^{1}[/mm]
> > + [mm]\bruch{F(1)^{2}}{2!}*(x-1)^{2}[/mm] +
> > [mm]\bruch{F(1)^{3}}{3!}*(x-1)^{3}[/mm]
> >
> > F(1) = 5e
> > [mm]F(1)^{1}[/mm] = 0
> > [mm]F(1)^{2}[/mm] = -3e
> > [mm]F(1)^{3}[/mm] = -4e
> >
> > Also [mm]\summe_{k=0}^{3} \bruch{F^{(k)}(1)}{k!}*(x-1)^{k}[/mm] =
> > 5e
> > [mm]+\bruch{9e^{2}}{2}(x-1)^{2}+\bruch{(-4e)^{3}}{6}(x-1)^{3}[/mm]
>
>
> F(1) mußt Du nochmal nachrechnen.
> Die anderen Koeffizienten stimmen.
Es ist doch F(x) = [mm] \integral_{}^{}{(x^{2}-5x+4)e^{x} dx} [/mm] = [mm] (x^{2}-7x+11)e^{x} [/mm] oder hab ich mich da vertan? Dann wäre doch F(1) = 5e.
> >
> > Stimmt das soweit?
> >
> > LG Loriot95
>
>
> Gruss
> MathePower
Danke für deine Hilfe. Ist die Aufgabe denn sonst richtig gelöst?
LG Loriot95
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Hallo Loriot95,
> > Hallo Loriot95,
> >
> > > Sei F: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] gegeben durch
> > >
> > > F(a)= [mm]\integral_{1}^{a}{(x^{2}-5x+4)e^{x} dx}[/mm]
> > >
> > > (a) Bestimmen Sie die lokalen Extrema von F.
> > > (b) Geben Sie das Taylor-Polynom von Grad 3 zu F um
> > den
> > > Entwicklungspunkt 1 an.
> > >
> > > Guten Tag,
> > >
> > > habe zunächst [mm]\integral_{1}^{a}{(x^{2}-5x+4)e^{x} dx}[/mm] =
> > > [mm]e^{a}(a^{2}-7a[/mm] +11)-5e bestimmt.
> > >
> > > Zu a) [mm](x^{2}-5x+4)e^{x}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] x = 1 oder x = 4.
> > > Da [mm](x^{2}-5x+4)e^{x}[/mm] > 0 für x [mm]\in (-\infty[/mm] , 1),
> > > [mm](x^{2}-5x+4)e^{x}[/mm] < 0 für x [mm]\in[/mm] (1 , 4) und für x [mm]\in[/mm] (4
> > > , [mm]\infty) (x^{2}-5x+4)e^{x}[/mm] > 0 gibt es ein Maximum bei x =
> > > 1 und ein Minimum bei x = 4. Ist das soweit korrekt?
> >
> >
> > Ja, das ist soweit korrekt.
> >
> >
> > >
> > > Zu b) [mm]\summe_{k=0}^{3} \bruch{F^{(k)}(1)}{k!}*(x-1)^{k}[/mm] =
> > > [mm]\bruch{F(1)}{0!}*(x-1)^{0}[/mm] + [mm]\bruch{F(1)^{1}}{1!}*(x-1)^{1}[/mm]
> > > + [mm]\bruch{F(1)^{2}}{2!}*(x-1)^{2}[/mm] +
> > > [mm]\bruch{F(1)^{3}}{3!}*(x-1)^{3}[/mm]
> > >
> > > F(1) = 5e
> > > [mm]F(1)^{1}[/mm] = 0
> > > [mm]F(1)^{2}[/mm] = -3e
> > > [mm]F(1)^{3}[/mm] = -4e
> > >
> > > Also [mm]\summe_{k=0}^{3} \bruch{F^{(k)}(1)}{k!}*(x-1)^{k}[/mm] =
> > > 5e
> > > [mm]+\bruch{9e^{2}}{2}(x-1)^{2}+\bruch{(-4e)^{3}}{6}(x-1)^{3}[/mm]
> >
> >
> > F(1) mußt Du nochmal nachrechnen.
> > Die anderen Koeffizienten stimmen.
> Es ist doch F(x) = [mm]\integral_{}^{}{(x^{2}-5x+4)e^{x} dx}[/mm]
> = [mm](x^{2}-7x+11)e^{x}[/mm] oder hab ich mich da vertan? Dann
> wäre doch F(1) = 5e.
Es wird doch dieses Integral berechnet:
[mm]F(a) = \integral_{1}^{a}{(x^{2}-5x+4)e^{x} dx}[/mm]
Und da a=1 ist, ist F(1) = ...
> > >
> > > Stimmt das soweit?
> > >
> > > LG Loriot95
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
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> Danke für deine Hilfe. Ist die Aufgabe denn sonst richtig
> gelöst?
>
> LG Loriot95
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:36 Sa 05.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Oh natürlich.... Danke :)
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