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Hallo zusammen.
Habe ein (Begründungs-)Problem bei folgender Aufgabe:
f(x)=2cos(x)-cos(2x) x [mm] \in [/mm] (-4,4)
Finde alle lokalen Extrema.
So nun zu meiner Lösung:
Kandidaten für Extrema:
1) Unstetigkeitsstellen: Keine, da f Komp. stetiger Funktionen.
2) Randpunkte: Keine, da x [mm] \in [/mm] (-4,4)
3) f'(x)=0
f'(x) = 2sin(2x)-2sin(x) = 4sin(x)cos(x)-2sin(x) = 2sin(x)*(2cos(x)-1)
Also f'(x)=0 [mm] \gdw [/mm] 2sin(x)=0 oder (2cos(x)-1)=0
2sin(x)=0 [mm] \gdw x_1=0, x_2=\pi, x_3=-\pi
[/mm]
2cos(x)-1=0 [mm] \gdw [/mm] cos(x)=0.5 [mm] \gdw x_{4,5}=\pm [/mm] arccos(0.5)
Minima oder Maxima?
f''(x)= 4cos(2x)-2cos(x)
f''(0)=4-2=2>0 [mm] \Rightarrow [/mm] Minima bei [mm] x_1=0
[/mm]
[mm] f''(\pi)=6>0 \Rightarrow [/mm] Minima bei [mm] x_2=\pi
[/mm]
[mm] f''(-\pi)=6>0 \Rightarrow [/mm] Minima bei [mm] x_3=-\pi
[/mm]
So und nun zu meinem Problem:
Für [mm] x_{4,5}=\pm [/mm] arccos(0.5) habe ich dann geschrieben:
Da f nicht konstant [mm] \Rightarrow x_{4,5}=\pm [/mm] arccos(0.5) sind Maxima der Funktion.
So nun hat aber mein Prof. gesagt, dass diese Begründung so zu kurz sei, da es ja auch ein Sattelpunkt sein könnte....
Ich verstehe das nicht ganz und bin der Meinung das diese Begründung doch ausreichend ist....?
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Hallo,
wahrscheinlich meint dein Professor einfach, dass du
[mm] arccos(0.5)=\bruch{pi}{3}
[/mm]
im Schlaf wissen solltest. Ansonsten ist noch diese Begründung:
> Da f nicht konstant [mm]\Rightarrow x_{4,5}=\pm[/mm] arccos(0.5)
> sind Maxima der Funktion.
falsch. Wenn schon, dann musst du damit argumentieren, dass im Bereich der errechneten Stellen mit f'(x)=0 die Funktion über einem Intervall stetig ist, und dann müssen in der Tat Minima und Maxima sich abwechseln. Dennoch wäre es wohl im Zusammenhang der Aufgabe sicherlich der übliche Weg gewesen, auch die beiden Werte [mm] \pm\bruch{\pi}{3} [/mm] in die 2. Ableitung einzusetzen.
Gruß, Diophant
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Hallo Diophant
Erstmals danke für deine Antwort!
> Hallo,
>
> wahrscheinlich meint dein Professor einfach, dass du
>
> [mm]arccos(0.5)=\bruch{pi}{3}[/mm]
>
Das ich das wissen sollte, ist mir auch klar. Aber es war eben eine Prüfungsaufgabe...und ich war ein wenig gestresst...
> im Schlaf wissen solltest. Ansonsten ist noch diese
> Begründung:
>
> > Da f nicht konstant [mm]\Rightarrow x_{4,5}=\pm[/mm] arccos(0.5)
> > sind Maxima der Funktion.
>
> falsch. Wenn schon, dann musst du damit argumentieren, dass
> im Bereich der errechneten Stellen mit f'(x)=0 die Funktion
> über einem Intervall stetig ist, und dann müssen in der
> Tat Minima und Maxima sich abwechseln. Dennoch wäre es
> wohl im Zusammenhang der Aufgabe sicherlich der übliche
> Weg gewesen, auch die beiden Werte [mm]\pm\bruch{\pi}{3}[/mm] in die
> 2. Ableitung einzusetzen.
Ja das wäre sicherlich der einfachere Weg gewesen, aber da ich ja die Werte gerade nicht hatte, konnte ich diesen schlecht gehen.
Ich verstehe aber immer noch nicht, weshalb meine Begründung "Da f nicht konstant [mm] \Rightarrow x_{4,5}=\pm [/mm] arccos(0.5) sind Maxima der Funktion." falsch ist.
Gibt es denn eine (nicht konstante) Funktion, die nur aus Minimas (und Sattelpunkten) besteht?
>
> Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 Di 25.02.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo Diophant
>
> Erstmals danke für deine Antwort!
>
> > Hallo,
> >
> > wahrscheinlich meint dein Professor einfach, dass du
> >
> > [mm]arccos(0.5)=\bruch{pi}{3}[/mm]
> >
>
> Das ich das wissen sollte, ist mir auch klar. Aber es war
> eben eine Prüfungsaufgabe...und ich war ein wenig
> gestresst...
>
> > im Schlaf wissen solltest. Ansonsten ist noch diese
> > Begründung:
> >
> > > Da f nicht konstant [mm]\Rightarrow x_{4,5}=\pm[/mm] arccos(0.5)
> > > sind Maxima der Funktion.
> >
> > falsch. Wenn schon, dann musst du damit argumentieren, dass
> > im Bereich der errechneten Stellen mit f'(x)=0 die Funktion
> > über einem Intervall stetig ist, und dann müssen in der
> > Tat Minima und Maxima sich abwechseln. Dennoch wäre es
> > wohl im Zusammenhang der Aufgabe sicherlich der übliche
> > Weg gewesen, auch die beiden Werte [mm]\pm\bruch{\pi}{3}[/mm] in die
> > 2. Ableitung einzusetzen.
>
> Ja das wäre sicherlich der einfachere Weg gewesen, aber da
> ich ja die Werte gerade nicht hatte, konnte ich diesen
> schlecht gehen.
>
> Ich verstehe aber immer noch nicht, weshalb meine
> Begründung "Da f nicht konstant [mm]\Rightarrow x_{4,5}=\pm[/mm]
> arccos(0.5) sind Maxima der Funktion." falsch ist.
> Gibt es denn eine (nicht konstante) Funktion, die nur aus
> Minimas (und Sattelpunkten) besteht?
Hallo Babybel73,
untersuche mal [mm] $f(x)=x^4-\frac43x^3$.
[/mm]
Gruß Abakus
>
>
> >
> > Gruß, Diophant
>
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> > Hallo Diophant
> >
> > Erstmals danke für deine Antwort!
> >
> > > Hallo,
> > >
> > > wahrscheinlich meint dein Professor einfach, dass du
> > >
> > > [mm]arccos(0.5)=\bruch{pi}{3}[/mm]
> > >
> >
> > Das ich das wissen sollte, ist mir auch klar. Aber es
> war
> > eben eine Prüfungsaufgabe...und ich war ein wenig
> > gestresst...
> >
> > > im Schlaf wissen solltest. Ansonsten ist noch diese
> > > Begründung:
> > >
> > > > Da f nicht konstant [mm]\Rightarrow x_{4,5}=\pm[/mm]
> arccos(0.5)
> > > > sind Maxima der Funktion.
> > >
> > > falsch. Wenn schon, dann musst du damit argumentieren,
> dass
> > > im Bereich der errechneten Stellen mit f'(x)=0 die
> Funktion
> > > über einem Intervall stetig ist, und dann müssen in
> der
> > > Tat Minima und Maxima sich abwechseln. Dennoch wäre
> es
> > > wohl im Zusammenhang der Aufgabe sicherlich der
> übliche
> > > Weg gewesen, auch die beiden Werte [mm]\pm\bruch{\pi}{3}[/mm]
> in die
> > > 2. Ableitung einzusetzen.
> >
> > Ja das wäre sicherlich der einfachere Weg gewesen, aber
> da
> > ich ja die Werte gerade nicht hatte, konnte ich diesen
> > schlecht gehen.
> >
> > Ich verstehe aber immer noch nicht, weshalb meine
> > Begründung "Da f nicht konstant [mm]\Rightarrow x_{4,5}=\pm[/mm]
>
> > arccos(0.5) sind Maxima der Funktion." falsch ist.
> > Gibt es denn eine (nicht konstante) Funktion, die nur
> aus
> > Minimas (und Sattelpunkten) besteht?
> Hallo Babybel73,
> untersuche mal [mm]f(x)=x^4-\frac43x^3[/mm].
> Gruß Abakus
Hallo Abakus
Ok! Danke für dein Beispiel.
Muss die Frage anders stellen: Gibt es denn eine Funktion, die mehrere Minima und einen kritischen Punkt hat, der kein Minima ist und auch kein Maxima?
Denn wenn es eine solche Funktion nicht gibt, dann würde ja meine Begründung stimmen....
Vielen Dank für eure Hilfe.
> >
> >
> > >
> > > Gruß, Diophant
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Di 25.02.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Babybel73!
> Muss die Frage anders stellen: Gibt es denn eine Funktion,
> die mehrere Minima und einen kritischen Punkt hat, der kein
> Minima ist und auch kein Maxima?
Ja.
Vermutlich meinst du noch etwas anderes.
> Denn wenn es eine solche Funktion nicht gibt, dann würde
> ja meine Begründung stimmen....
Nein, deine Begründung stimmt so ohne Weiteres nicht.
Betrachte mal
[mm] $g\colon\IR\to\IR,\quad g(x):=\begin{cases}0,&\text{falls }x\in\{2\pi n\;|\;n\in\IZ\}\\\cos(x),&\text{sonst}\end{cases}$.
[/mm]
Diese Funktion hat unendlich viele lokale Minima, aber kein lokales Maximum.
Zwischen je zwei lokalen Minima muss es also kein lokales Maximum geben.
Anders sieht die Situation aus, wenn man sich auf stetige Funktionen beschränkt:
Seien [mm] $I\subseteq\IR$ [/mm] ein Intervall, [mm] $f\colon I\to\IR$ [/mm] stetig, [mm] $a,b\in [/mm] I$ mit $a<b$, so dass $f$ bei a und b lokale Minima hat.
Dann existiert ein [mm] $c\in(a,b)$, [/mm] das lokales Maximum von $f$ ist.
Das Entscheidende bei diesem Zusammenhang ist die Stetigkeit von $f$. Er hat nichts mit der Frage zu tun, ob $f$ konstant ist oder nicht.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:41 Di 25.02.2014 | | Autor: | abakus |
> > > Hallo Diophant
> > >
> > > Erstmals danke für deine Antwort!
> > >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > wahrscheinlich meint dein Professor einfach, dass
> du
> > > >
> > > > [mm]arccos(0.5)=\bruch{pi}{3}[/mm]
> > > >
> > >
> > > Das ich das wissen sollte, ist mir auch klar. Aber es
> > war
> > > eben eine Prüfungsaufgabe...und ich war ein wenig
> > > gestresst...
> > >
> > > > im Schlaf wissen solltest. Ansonsten ist noch
> diese
> > > > Begründung:
> > > >
> > > > > Da f nicht konstant [mm]\Rightarrow x_{4,5}=\pm[/mm]
> > arccos(0.5)
> > > > > sind Maxima der Funktion.
> > > >
> > > > falsch. Wenn schon, dann musst du damit
> argumentieren,
> > dass
> > > > im Bereich der errechneten Stellen mit f'(x)=0 die
> > Funktion
> > > > über einem Intervall stetig ist, und dann müssen
> in
> > der
> > > > Tat Minima und Maxima sich abwechseln. Dennoch
> wäre
> > es
> > > > wohl im Zusammenhang der Aufgabe sicherlich der
> > übliche
> > > > Weg gewesen, auch die beiden Werte
> [mm]\pm\bruch{\pi}{3}[/mm]
> > in die
> > > > 2. Ableitung einzusetzen.
> > >
> > > Ja das wäre sicherlich der einfachere Weg gewesen,
> aber
> > da
> > > ich ja die Werte gerade nicht hatte, konnte ich
> diesen
> > > schlecht gehen.
> > >
> > > Ich verstehe aber immer noch nicht, weshalb meine
> > > Begründung "Da f nicht konstant [mm]\Rightarrow x_{4,5}=\pm[/mm]
>
> >
> > > arccos(0.5) sind Maxima der Funktion." falsch ist.
> > > Gibt es denn eine (nicht konstante) Funktion, die nur
> > aus
> > > Minimas (und Sattelpunkten) besteht?
> > Hallo Babybel73,
> > untersuche mal [mm]f(x)=x^4-\frac43x^3[/mm].
> > Gruß Abakus
>
>
> Hallo Abakus
>
> Ok! Danke für dein Beispiel.
> Muss die Frage anders stellen: Gibt es denn eine Funktion,
> die mehrere Minima und einen kritischen Punkt hat, der kein
> Minima ist und auch kein Maxima?
> Denn wenn es eine solche Funktion nicht gibt, dann würde
> ja meine Begründung stimmen....
Den Ball gebe ich mal knallhart an dich zurück.
Wenn du für deinen Prof den Nachweis geführt hättest, dass die angesprochene Konstellation unmöglich ist, dann wärst du der vollen Punktzahl etwas näher gekommen.
Du kannst diskutieren wie du willst: Der Nachweis für eine Minimum (das ist übrigens das Einzahlwort für die Mehrzahl "Minima") hast du schlampig geführt. "Erste Ableitung=Null" liefert nun mal NICHT MEHR als die Information, dass einer der folgenden 4 Fällke vorliegen kann:
- konstante Funktion
- lokales Minimum
- lokales Maximum
- Sattelpunkt.
Gruß Abakus
>
> Vielen Dank für eure Hilfe.
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> > > > Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:52 Di 25.02.2014 | | Autor: | Babybel73 |
Ok. Vielen Dank für eure Erklärungen.
Fand es einfach krass, das sie mir wegen dieser falschen Begründung nur 1.5 von 2.5 Punkten gab. Und oben in meinem ersten Post, habe ich ja eigentlich geschrieben, dass es keine Unstetigkeitsstellen gibt....
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:08 Di 25.02.2014 | | Autor: | abakus |
> Ok. Vielen Dank für eure Erklärungen.
> Fand es einfach krass, das sie mir wegen dieser falschen
> Begründung nur 1.5 von 2.5 Punkten gab. Und oben in meinem
> ersten Post, habe ich ja eigentlich geschrieben, dass es
> keine Unstetigkeitsstellen gibt....
Hallo,
das (1.5 von 2.5 Punkten) ist aber angemessen.
- Der Lösungsweg ist unvollständig.
- Du hast jede Menge Zeit eingespart, die du eigentlich in die Aufstellung und Auswertung der zweiten Ableitungen an den bewussten Stellen hättest investieren müssen.
Mehr als 1.5 Punkte wäre auch ungerecht gegenüber denjenigen, die mit der 2. Ableitung gearbeitet haben, aber sich dabei vielleicht verrechnet hätten (und so wenigsten 0.5 Punkte abgezogen bekommen müssten).
Gruß Abakus
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Hallo Abakus
> > Ok. Vielen Dank für eure Erklärungen.
> > Fand es einfach krass, das sie mir wegen dieser
> falschen
> > Begründung nur 1.5 von 2.5 Punkten gab. Und oben in
> meinem
> > ersten Post, habe ich ja eigentlich geschrieben, dass
> es
> > keine Unstetigkeitsstellen gibt....
> Hallo,
> das (1.5 von 2.5 Punkten) ist aber angemessen.
> - Der Lösungsweg ist unvollständig.
Wo ist er denn unvollständig????
Das einzige was falsch ist, ist die Begründung des Maxima...also sooooo unvollständig finde ich das nicht??
>
> - Du hast jede Menge Zeit eingespart, die du eigentlich in
> die Aufstellung und Auswertung der zweiten Ableitungen an
> den bewussten Stellen hättest investieren müssen.
>
Also die 2. Ableitung habe ich sehr wohl berechnet!! Und soo viel Zeit braucht es auch wieder nicht, [mm] \pi/3 [/mm] in die 2. Ableitung einzusetzen...?
> Mehr als 1.5 Punkte wäre auch ungerecht gegenüber
> denjenigen, die mit der 2. Ableitung gearbeitet haben, aber
> sich dabei vielleicht verrechnet hätten (und so wenigsten
> 0.5 Punkte abgezogen bekommen müssten).
> Gruß Abakus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 Di 25.02.2014 | | Autor: | tobit09 |
> > - Der Lösungsweg ist unvollständig.
>
> Wo ist er denn unvollständig????
Es fehlt eine vollständige Begründung, dass [mm] $x_4$ [/mm] und [mm] $x_5$ [/mm] Maximalstellen sind.
Ich hätte in deinem Fall 2 Punkte vergeben.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:16 Di 25.02.2014 | | Autor: | tobit09 |
> Und oben in meinem
> ersten Post, habe ich ja eigentlich geschrieben, dass es
> keine Unstetigkeitsstellen gibt....
Vermutlich hattet ihr den von mir genannten Zusammenhang im Falle von Stetigkeit in der Vorlesung nicht. Daher hättest du ihn für eine volle Punktzahl zunächst selbst formulieren und beweisen müssen...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:08 Di 25.02.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Diophant!
> Wenn schon, dann musst du damit argumentieren, dass
> im Bereich der errechneten Stellen mit f'(x)=0 die Funktion
> über einem Intervall stetig ist, und dann müssen in der
> Tat Minima und Maxima sich abwechseln.
Mit letzterer Aussage habe ich gewisse Bauchschmerzen.
Zu einem lokalen Minimum $x$ einer stetigen Funktion $f$ kann es durchaus für jedes [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] eine Minimalstelle im Intervall [mm] $(x,x+\varepsilon)$ [/mm] geben. Dann würde ich nicht davon sprechen, dass sich Minima und Maxima abwechseln, da auf die Minimalstelle $x$ kein Maximum "als nächste" Extremstelle folgt.
Viele Grüße
Tobias
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