Lokale & Globale Extrema < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen
Möchte von euch wissen, ob ich folgende Aufgabe richtig gelöst habe:
Untersuchen Sie die Funktion f: [mm] \IR^2 \to \IR, f(x,y):=x^3+y^3+3*xy, [/mm] auf lokale und globale Extrema.
Meine Lösung:
1) krit. Punkte suchen: grad [mm] f(x,y)=(3x^2+3y, 3y^2+3x) [/mm] = (0,0) [mm] \Rightarrow [/mm] (0,0) & (-1,-1) sind krit. Punkte (Es gäbe noch komplexe Nullstellen, aber da wir ja im [mm] \IR^2 [/mm] sind, werden diese nicht betrachtet.)
2) Hessematrix bestimmen:
[mm] H_f(x,y)=\pmat{ 6x & 3 \\ 3 & 6y }
[/mm]
Da [mm] H_f(0,0) [/mm] negative & positive EW hat [mm] \Rightarrow [/mm] f hat bei (0,0) einen Sattelpunkt
Da [mm] H_f(-1,-1) [/mm] eine positive Determinante hat & [mm] f_{xx}<0 \Rightarrow [/mm] f hat bei (-1,-1) eine lokale Maximumstelle.
3) Ist die Maximumstelle bei (-1,-1) global?
Hier habe ich einfach mal den folgenden Grenzwert berechnet:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} f(x,0)=\limes_{x\rightarrow\infty} x^3 [/mm] = [mm] \infty [/mm]
Somit habe ich gezeigt, dass die Funktion nicht nach oben beschränkt ist (oder?), also ist die lokale Maximumstelle bei (-1,-1) nicht global.
Anstatt oben [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x,0) hätte ich auch [mm] \limes_{y\rightarrow\infty} [/mm] f(0,y) oder [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x,1) berechnen können, oder?
Jetzt stellt sich mir die Frage, was wäre wenn ich eine Funktion hätte, die auch eine globale Extremstelle hätte, wie würde ich da zeigen, dass diese Extremstelle global ist?
Beispiel: Die Funktion f: [mm] \IR^2 \to \IR, f(x,y)=-5x^2+2x+4xy-y^2-1 [/mm] hat bei (1,2) ein globales Extrema. Wie zeige ich das jetzt?
Liebe Grüsse
Babybel
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Hi little red cheese !
> Untersuchen Sie die Funktion f: [mm]\IR^2 \to \IR, f(x,y):=x^3+y^3+3*xy,[/mm]
> auf lokale und globale Extrema.
>
>
> Meine Lösung:
> 1) krit. Punkte suchen: grad [mm]f(x,y)=(3x^2+3y, 3y^2+3x)[/mm] =
> (0,0) [mm]\Rightarrow[/mm] (0,0) & (-1,-1) sind krit. Punkte (Es
> gäbe noch komplexe Nullstellen, aber da wir ja im [mm]\IR^2[/mm]
> sind, werden diese nicht betrachtet.)
>
> 2) Hessematrix bestimmen:
> [mm]H_f(x,y)=\pmat{ 6x & 3 \\ 3 & 6y }[/mm]
> Da [mm]H_f(0,0)[/mm] negative &
> positive EW hat [mm]\Rightarrow[/mm] f hat bei (0,0) einen
> Sattelpunkt
> Da [mm]H_f(-1,-1)[/mm] eine positive Determinante hat & [mm]f_{xx}<0 \Rightarrow[/mm]
> f hat bei (-1,-1) eine lokale Maximumstelle.
>
> 3) Ist die Maximumstelle bei (-1,-1) global?
> Hier habe ich einfach mal den folgenden Grenzwert
> berechnet:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} f(x,0)=\limes_{x\rightarrow\infty} x^3[/mm]
> = [mm]\infty[/mm]
> Somit habe ich gezeigt, dass die Funktion nicht nach oben
> beschränkt ist (oder?), also ist die lokale Maximumstelle
> bei (-1,-1) nicht global.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") korrekt
so hätte ich mir das auch überlegt
> Anstatt oben [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] f(x,0) hätte ich
> auch [mm]\limes_{y\rightarrow\infty}[/mm] f(0,y) oder
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] f(x,1) berechnen können, oder? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja.
> Jetzt stellt sich mir die Frage, was wäre wenn ich eine
> Funktion hätte, die auch eine globale Extremstelle hätte,
> wie würde ich da zeigen, dass diese Extremstelle global
> ist?
> Beispiel: Die Funktion f: [mm]\IR^2 \to \IR, f(x,y)=-5x^2+2x+4xy-y^2-1[/mm]
> hat bei (1,2) ein globales Extrema. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
"ein Extrema" ist falsch, weil "Extrema" ein Plural ist.
Im Singular heißt dies: ein "Extremum"
(analog zu "Minimum", "Maximum", "Antibiotikum", "Generikum"
oder "Publikum", "Bronchospasmolytikum" etc. )
> Wie zeige ich das jetzt?
Da könnte man z.B. zeigen, dass die Gleichung f(x,y) = z mit z>f(1,2)
kein reelles Lösungspaar (x,y) hat.
Zu diesem Zweck wäre es z.B. möglich, die Gleichung durch
quadratisches Ergänzen auf die Form
f(x,y) = f(1,2) - [mm] a*(x-1)^2-b*(x-2)^2
[/mm]
mit positiven a und b zu bringen, woraus dann die besagte
Maximaleigenschaft sofort folgt.
LG , Al-Chw.
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Hallo,
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> Jetzt stellt sich mir die Frage, was wäre wenn ich eine
> Funktion hätte, die auch eine globale Extremstelle hätte,
> wie würde ich da zeigen, dass diese Extremstelle global
> ist?
> Beispiel: Die Funktion f: [mm]\IR^2 \to \IR, f(x,y)=-5x^2+2x+4xy-y^2-1[/mm]
> hat bei (1,2) ein globales Extrema. Wie zeige ich das
> jetzt?
*Ich* habe das ähnlich wie Al-Ch., aber doch etwas anders gemacht:
Es ist [mm]f(1,2)=0[/mm] modulo Rechenfehler meinerseits
Bei [mm]f[/mm] kannst du [mm]-5[/mm] ausklammern und dann zweimal quadr. ergänzen (in Anlehnung an Al)
Ich komme auf
[mm]f(x,y)=...=-5\cdot{}\left[ \ \left(\frac{y}{\sqrt{5}}-\frac{2x}{\sqrt{5}\right)^2+\left(\frac{x}{\sqrt 5}-\frac{1}{\sqrt 5}\right)^2 \ \right][/mm]
Nun sind die Quadrate in der Klammer [mm]\ge 0[/mm], mithin [mm]f(x,y)\le 0[/mm] für alle [mm](x,y)\in\IR^2[/mm].
Damit ist [mm]f(1,2)=0[/mm] ein größter Wert
Gruß
schachuzipus
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Hallo schachuzipus
> Hallo,
>
> >
> > Jetzt stellt sich mir die Frage, was wäre wenn ich
> eine
> > Funktion hätte, die auch eine globale Extremstelle
> hätte,
> > wie würde ich da zeigen, dass diese Extremstelle
> global
> > ist?
> > Beispiel: Die Funktion f: [mm]\IR^2 \to \IR, f(x,y)=-5x^2+2x+4xy-y^2-1[/mm]
>
> > hat bei (1,2) ein globales Extrema. Wie zeige ich das
> > jetzt?
>
> *Ich* habe das ähnlich wie Al-Ch., aber doch etwas anders
> gemacht:
>
> Es ist [mm]f(1,2)=0[/mm] modulo Rechenfehler meinerseits
>
> Bei [mm]f[/mm] kannst du [mm]-5[/mm] ausklammern und dann zweimal quadr.
> ergänzen (in Anlehnung an Al)
>
> Ich komme auf
>
> [mm]f(x,y)=...=-5\cdot{}\left[ \ \left(\frac{y}{\sqrt{5}}-\frac{2x}{\sqrt{5}\right)^2+\left(\frac{x}{\sqrt 5}-\frac{1}{\sqrt 5}\right)^2 \ \right][/mm]
>
Es ist mir wirklich peinlich, aber wie funktioniert quadratische Ergänzung genau?
> Nun sind die Quadrate in der Klammer [mm]\ge 0[/mm], mithin
> [mm]f(x,y)\le 0[/mm] für alle [mm](x,y)\in\IR^2[/mm].
>
> Damit ist [mm]f(1,2)=0[/mm] ein größter Wert
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:09 Mo 01.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo schachuzipus
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> > Hallo,
> >
> > >
> > > Jetzt stellt sich mir die Frage, was wäre wenn ich
> > eine
> > > Funktion hätte, die auch eine globale Extremstelle
> > hätte,
> > > wie würde ich da zeigen, dass diese Extremstelle
> > global
> > > ist?
> > > Beispiel: Die Funktion f: [mm]\IR^2 \to \IR, f(x,y)=-5x^2+2x+4xy-y^2-1[/mm]
>
> >
> > > hat bei (1,2) ein globales Extrema. Wie zeige ich das
> > > jetzt?
> >
> > *Ich* habe das ähnlich wie Al-Ch., aber doch etwas anders
> > gemacht:
> >
> > Es ist [mm]f(1,2)=0[/mm] modulo Rechenfehler meinerseits
> >
> > Bei [mm]f[/mm] kannst du [mm]-5[/mm] ausklammern und dann zweimal quadr.
> > ergänzen (in Anlehnung an Al)
> >
> > Ich komme auf
> >
> > [mm]f(x,y)=...=-5\cdot{}\left[ \ \left(\frac{y}{\sqrt{5}}-\frac{2x}{\sqrt{5}\right)^2+\left(\frac{x}{\sqrt 5}-\frac{1}{\sqrt 5}\right)^2 \ \right][/mm]
>
> >
>
> Es ist mir wirklich peinlich, aber wie funktioniert
> quadratische Ergänzung genau?
allgemein:
 Ergänzung
Hier: Es war
[mm] $\IR^2 \to \IR, f(x,y)=-5x^2+2x+4xy-y^2-1.$ [/mm]
Zunächst ist
[mm] $f(x,y)=-5*(x^2-\tfrac{2}{5}x+\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{5}y^2-\tfrac{4}{5}xy)$
[/mm]
Dann sehe ich etwa
[mm] $x^2-\frac{2}{5}x+\frac{1}{5}=(x-\tfrac{1}{5})^2-\tfrac{1}{25}+\tfrac{1}{5}=(x-\tfrac{1}{5})^2+\tfrac{4}{25}$
[/mm]
Wie Schachuzipus auf sein Ergebnis kommt, weiß ich allerdings auch nicht.
Denn innerhalb von [mm] $[.]\,$ [/mm] taucht nur einmal ein Term mit [mm] $x^2$ [/mm] auf, und der hat
die Form
[mm] $x^2/5\,.$
[/mm]
Wenn man das mit der vorangestellten [mm] $-5\,$ [/mm] multipliziert, müßte in [mm] $f(x,y)\,$ [/mm] auch
irgendwo der Term [mm] $-x^2$ [/mm] stehen ...
(Edit: Das war Quatsch. Bei Schachuzipus steht
[mm] $\frac{2^2}{5}x^2+\frac{1}{5}x^2=x^2$
[/mm]
innerhalb von [mm] $[.]\,.$ [/mm] Da hatte ich eben nicht aufgepasst. Aber um zu
sehen, was er da wie zusammengefasst hat, ist es manchmal auch gar
nicht verkehrt, das behauptete Ergebnis nochmal zurückzurechnen!)
Aber unabhängig davon, dass die Umformung von Schachuzipus vielleicht
Fehler enthält:
Kannst Du Dir nun oben denken, wie es weitergeht?
Versuch' also, auf das zu kommen, worauf Al hinaus wollte...
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel
Vielen Dank für deine Antwort. Aber:
> allgemein:
>
> Ergänzung
>
> Hier: Es war
>
> [mm]\IR^2 \to \IR, f(x,y)=-5x^2+2x+4xy-y^2-1.[/mm]
>
> Zunächst ist
>
> [mm]f(x,y)=-5*(x^2-\tfrac{2}{5}x+\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{5}y^2-\tfrac{4}{5}xy)[/mm]
>
> Dann sehe ich etwa
>
> [mm]x^2-\frac{2}{5}x+\frac{1}{5}=(x-\tfrac{1}{5})^2-\tfrac{1}{25}+\tfrac{1}{5}=(x-\tfrac{1}{5})^2+\tfrac{4}{25}[/mm]
Ich seh's immer noch nicht wirklich....
also nach obigen habe ich dann ja:
[mm] f(x,y)=((x-\bruch{1}{5})^2+\bruch{4}{25}+\bruch{1}{5}y^2-\bruch{4}{5}xy)
[/mm]
Aber wie soll ich da jetzt nochmals quadratisch ergänzen? Und das obige sieht auch gar nicht so aus wie das Resultat von den anderen beiden...
Kannst du mir nochmals helfen?
Liebe Grüsse
Babybel
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Hallo,
> Hallo Marcel
>
> Vielen Dank für deine Antwort. Aber:
>
> > allgemein:
> >
> > Ergänzung
> >
> > Hier: Es war
> >
> > [mm]\IR^2 \to \IR, f(x,y)=-5x^2+2x+4xy-y^2-1.[/mm]
> >
> > Zunächst ist
> >
> >
> [mm]f(x,y)=-5*(x^2-\tfrac{2}{5}x+\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{5}y^2-\tfrac{4}{5}xy)[/mm]
> >
> > Dann sehe ich etwa
> >
> >
> [mm]x^2-\frac{2}{5}x+\frac{1}{5}=(x-\tfrac{1}{5})^2-\tfrac{1}{25}+\tfrac{1}{5}=(x-\tfrac{1}{5})^2+\tfrac{4}{25}[/mm]
>
> Ich seh's immer noch nicht wirklich....
> also nach obigen habe ich dann ja:
>
> [mm]f(x,y)=((x-\bruch{1}{5})^2+\bruch{4}{25}+\bruch{1}{5}y^2-\bruch{4}{5}xy)[/mm]
Ja, so habe ich auch angefangen, um mit der Ergänzung von [mm]x^2[/mm] anzufangen, aber nun wird man den gemischten Term mit x und y nicht los.
Außerdem betreibt man durch das Ausklammern der -5 nur unnötige Mehrarbeit 
Um trotzdem auf diesem Weg weiter zu kommen, bietet sich folgendes an:
Ergänze zunächst so, dass dieser gemischte Term verschwindet:
[mm]f(x,y)=-5*(x^2-\tfrac{2}{5}x+\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{5}y^2-\tfrac{4}{5}xy)=-5*(x^2-\tfrac{2}{5}x+\tfrac{1}{5}+\red{\left(\tfrac{1}{\sqrt 5}y\right)^2-2\cdot{}\tfrac{1}{\sqrt 5}y\cdot{}\tfrac{2}{\sqrt 5}x)}[/mm]
> Aber wie soll ich da jetzt nochmals quadratisch ergänzen?
> Und das obige sieht auch gar nicht so aus wie das Resultat
> von den anderen beiden...
> Kannst du mir nochmals helfen?
Wie Marcel schon angemerkt hat und was Al wahrscheinlich direkt meinte, ich aber nicht gesehen habe, dass man nach *meiner* Ergänzung ja auch [mm]\frac{1}{5}[/mm] aus der Klammer rausholen kann, mithin als Vorfaktor eine [mm]-1[/mm] erhält
Klammere in [mm]f(x,y)[/mm] mal direkt [mm]-1[/mm] aus:
[mm]f(x,y)=-1\cdot{}\left(5x^2-2x-4xy+y^2+1\right)[/mm]
Nun analog den gemischten Term loswerden:
[mm]=-\left[5x^2-2x+\left(y-2x\right)^2-4x^2+1\right][/mm]
[mm]-4x^2[/mm], weil wir [mm] $+4x^2$ [/mm] durch die Ergänzung hereingemogelt haben, das Binom ist ja ausmultipliziert [mm]y^2-4xy+4x^2[/mm]
Nun scharf hingucken, das letzte Quadrat ist mit einem Blick zu erkennen ...
Dann hast du in der Klammer wieder zwei nicht negative Summanden und insgesamt ein negatives Vorzeichen, also [mm]f(x,y)\le 0[/mm] für alle [mm](x,y)\in\IR^2[/mm]
>
> Liebe Grüsse
> Babybel
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:35 Mo 01.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich komme auf
>
> [mm]f(x,y)=...=-5\cdot{}\left[ \ \left(\frac{y}{\sqrt{5}}-\frac{2x}{\sqrt{5}\right)^2+\left(\frac{x}{\sqrt 5}-\frac{1}{\sqrt 5}\right)^2 \ \right][/mm]
nur mal nebenbei (beim Nachrechnen eben hatte ich mich verrechnet bzw.
etwas übersehen, ich glaube daher jetzt einfach mal, dass das hoffentlich
stimmt):
Dann kann man das noch umschreiben zu
[mm] $f(x,y)=-5*[(y-2x)^2/5+(x-1)^2/5]=-(y-2x)^2-(x-1)^2\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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