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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Also a) und b) sind kein Problem
Ich habe einen Sattelpunkt bei f(1,-1)
Mein Rand für y = 0 ist monoton steigend und hat seinen Höchstwert daher bei f(4,0) = [mm] e^{4}. [/mm] Mein Rand für x = 0 ist monton fallend und hat daher seinen Höchstwert bei f(0,-4) = [mm] e^{4}. [/mm] Beide haben außerdem einen Minimalwert bei f(0,0) = [mm] e^{0} [/mm] = 1
Der schräge Rand (für den x-y=4 gilt) ist eine Parabel mit einem Minimum bei f(2,-2) = [mm] e^{0}=1
[/mm]
So. Da das eine e-Funktion ist und diese nicht kleiner als 1 werden kann, kann ich nur 2 globale Minima haben, nämlich f(0,0) und f(2,-2) richtig? Wenns noch mehr gäbe hätte ich ja bei der Untersuchung des Inneren ein lokales Minimum finden müssen.
Mir macht jetzt nur noch das globale Maximum sorgen. Anschaulich ist klar, dass es keinen größeren Wert als [mm] e^{4} [/mm] geben kann, aber wie zeige ich das jetzt noch? Müsste ich nicht zeigen, dass es keine Folge im Inneren gibt, für die die Funktionswerte gegen unendlich gehen?
Und zu dem Minimum bei f(2,-2) hätte ich auch noch eine Frage. Ist das auch gleichzeitig ein lokales Minimum weil ich es über die Ableitung gefunden habe, oder gibt es lokala Minima nur im inneren einer Menge?
ciao, Mike.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Also a) und b) sind kein Problem
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> Ich habe einen Sattelpunkt bei f(1,-1)
>
> Mein Rand für y = 0 ist monoton steigend und hat seinen
> Höchstwert daher bei f(4,0) = [mm]e^{4}.[/mm] Mein Rand für x = 0
> ist monton fallend und hat daher seinen Höchstwert bei
> f(0,-4) = [mm]e^{4}.[/mm] Beide haben außerdem einen Minimalwert bei
> f(0,0) = [mm]e^{0}[/mm] = 1
>
> Der schräge Rand (für den x-y=4 gilt) ist eine Parabel mit
> einem Minimum bei f(2,-2) = [mm]e^{0}=1[/mm]
>
> So. Da das eine e-Funktion ist und diese nicht kleiner als
> 1 werden kann, ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
??? [mm] e^t [/mm] < 1 für alle negativen t !!!
---> überleg dir vielleicht noch, weshalb xy+x-y [mm] \ge [/mm] 0 gilt
innerhalb des vorgegebenen Dreiecks
> kann ich nur 2 globale Minima haben, nämlich
> f(0,0) und f(2,-2) richtig? Wenns noch mehr gäbe hätte ich
> ja bei der Untersuchung des Inneren ein lokales Minimum
> finden müssen.
>
> Mir macht jetzt nur noch das globale Maximum sorgen.
> Anschaulich ist klar, dass es keinen größeren Wert als
> [mm]e^{4}[/mm] geben kann, aber wie zeige ich das jetzt noch? Müsste
> ich nicht zeigen, dass es keine Folge im Inneren gibt, für
> die die Funktionswerte gegen unendlich gehen?
Falls ein globales Maximum im Inneren vorläge, müsste
man es aus den Gleichungen [mm] f_x=0 [/mm] und [mm] f_y=0 [/mm] ermitteln
können (da f in ganz [mm] \IR^2 [/mm] differenzierbar ist).
Das hast du offenbar schon versucht und nichts
gefunden. Also müssen die beiden "Spitzen" bei (4/0) und
(0/-4) die globalen Maxima darstellen.
> Und zu dem Minimum bei f(2,-2) hätte ich auch noch eine
> Frage. Ist das auch gleichzeitig ein lokales Minimum weil
> ich es über die Ableitung gefunden habe, oder gibt es
> lokale Minima nur im inneren einer Menge?
nach meiner Ansicht spielt es keine Rolle, nach welcher
Methode man Minima oder Maxima aufgespürt hat.
Jedenfalls ist jedes globale auch ein lokales Extremum
> ciao, Mike.
Al-Chw.
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Ups, ja.. aber das hatte ich intuitiv schon angenommen.
Danke..
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