Lokalisierung/ Reduziert < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 So 26.11.2017 | | Autor: | knowhow |
| Aufgabe | Sei R ein Ring und N(R) dessen Nilradikal. Zeige
(i) Ist [mm] S\subseteq [/mm] R multiplikativ abgeschlossen, so gilt [mm] N(S^{-1}R)=S^{-1}N(R)
[/mm]
(ii) Ein Ring heißt reduziert, falls er keine von 0 verschiedenen nilpotenten Elemente enthält.
Zeige, dass Reduziertheit eine lokale Eigenschaft ist, d.h. die folgende Aussagen sind äquivalent
(a) R ist reduziert
(b) [mm] R_P [/mm] ist reduziert für jedes [mm] P\in [/mm] Spec(R)
(c) [mm] R_m [/mm] ist reduziert für jedes [mm] m\in [/mm] Max(R) |
Hallo zusammen,
ich habe einige Fragen zu dieser Aufgabe:
(i) Betrachte den Ring [mm] \IQ/\IZ [/mm] und die mult. abg. Menge [mm] \IZ\setminus \lbrace 0\rbrace
[/mm]
Dann ist [mm] N(\IQ/\IZ)=\lbrace [/mm] exists [mm] n\in\IN [/mm] : [mm] x^n=0 \forall x\in\IQ/\IZ\rbrace =\lbrace n\in\IN| nq\in\IZ \;\forall q\in\IQ \rbrace=\lbrace [/mm] 0 [mm] \rbrace
[/mm]
Jetzt [mm] (\IZ\setminus \lbrace 0\rbrace)^{-1}(\lbrace 0\rbrace)=\lbrace \bruch{a}{b}; a\in\lbrace 0\rbrace, b\in\IZ\setminus\lbrace 0\rbrace\rbrace=\lbrace \bruch{0}{1}\rbrace
[/mm]
Weiter [mm] \underbrace{(\IZ\setminus\lbrace 0\rbrace)^{-1}}_{=S}\underbrace{(\IQ/\IZ)}_{=R}=\lbrace \bruch{x}{y}; x\in\IQ/\IZ, y\in\IZ\setminus \lbrace 0\rbrace\rbrace= \lbrace 0\rbrace
[/mm]
denn für ein [mm] \bruch{x}{y}\in S^{-1}R [/mm] gilt [mm] \bruch{x}{y}=\bruch{0}{1} \gdw t(x\cdot 1-y\dot [/mm] 0)=0 ffür ein [mm] t\in\IZ\setminus \lbrace 0\rbrace \gdw \exits t\in [/mm] S: [mm] t\cdot [/mm] x=0
Jetzt [mm] N(\lbrace 0\rbrace)=\lbrace r\in S^{-1}\IZ [/mm] | [mm] r\cdot 0=0\rbrace=S^{-1}\IZ=\IQ\neq \lbrace 0\rbrace
[/mm]
(ii) [mm] (a)\Rightarrow (b)\Rightarrow [/mm] (c) klar
[mm] (c)\Rightarrow [/mm] (a): Sei [mm] R\neq [/mm] 0, [mm] 0\neq x\in [/mm] R und a=N(x)
[mm] \Rightarrow [/mm] a ein Ideal [mm] \neq \langle 1\rangle\Rightarrow [/mm] a ist in einem max. Ideal enthalten. Sei [mm] \bruch{x}{1}\in R_m
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{x}{1}=0\Rightarrow \exists t\in R\setminus [/mm] m mit tx=0, was jedoch widerspruch zu N(x) [mm] \subseteq [/mm] m ist
[mm] \Rightarrow [/mm] R=0
Kann mir jemand da weiterhelfen bzw. ist das soweit richtig meine Überlegung. Vielen Dank im Voraus.
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Der erste Teil ist völliger Humbug. [mm] $\IZ$ [/mm] ist kein Ideal in [mm] $\IQ$ [/mm] und [mm] $\IQ/\IZ$ [/mm] kein Ring. Die Mengen und die Gleichungen die du hinschreibst, ergeben keinen Sinn.
Wiederhole, was ein Ring ist, ein Ideal, Quotientenringe, Lokalisierung, das Nilradikal. Du scheinst vielfach überhaupt keine oder nur eine vage Ahnung zu haben, diese Dinge bedeuten. Ohne das zu wissen, kannst du aber keine Aufgabe dazu bearbeiten. Entschuldige bitte die deutlichen Worte.
Zum zweiten Teil: (a)=>(b) folgt aus (i) (wie?). (b)=>(c) ist trivial. (c)=>(a) folgt wieder aus (i) zusammen mit dem Lokal-Global-Prinzip für Ideale/Moduln.
Liebe Grüße
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Mo 27.11.2017 | | Autor: | knowhow |
EIn Ring ist verträglich mit der Addition und Multiplikation zusätzlich gilt das Distributivgesetz. EIn Ideal I ist eine Teilmenge eines Ringes, welches abgeschlossen ist bzgl. der Addition und Multiplikation d.h.
(1) [mm] 0\in [/mm] I
(2) [mm] x,y\in [/mm] I [mm] \Rightarrow x+y\in [/mm] I
(3) [mm] x\in [/mm] I und [mm] a\in [/mm] R [mm] \Rightarrow x\cdot a\in [/mm] I
Nilradikal ist das Radikal des 0-Ideals, d.h. [mm] N(R)=\wurzel{(0)}=\lbrace x\in [/mm] R | [mm] \exists n\in\IN [/mm] mit [mm] x^n=0\rbrace [/mm]
und [mm] S^{-1}R=\lbrace \bruch{r}{s}\in S^{-1}R| r\in [/mm] R und [mm] s\in S\rbrace
[/mm]
Ich stehe gerade total auf dem Schlauch...
Könntest du mir da einen Tipp geben wie ich an diese herangehen soll? vielen Dank im voraus!
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In Ordnung. Ist dir klar, warum man nicht sinnvollerweise von [mm] $\IQ/\IZ$ [/mm] als Ring sprechen kann? Ist dir klar, warum - selbst wenn [mm] $\IQ/\IZ$ [/mm] ein Ringe wäre - in [mm] $N(\IQ/\IZ)=\lbrace \exists n\in\IN\colon x^n=0 \forall x\in\IQ/\IZ\rbrace =\lbrace n\in\IN| nq\in\IZ \;\forall q\in\IQ \rbrace$ [/mm] die erste Menge überhaupt keinen Sinn ergibt? Dass die zweite zwar zumindest ein wohldefiniertes Ding ist, aber überhaupt nichts mit der Definition des Nilradikals von was auch immer zu tun hat?
Versuchen wir, gemeinsam die Aufgabe zu lösen. Dir sollte auch klar sein, dass $N(R)$ ein Ideal von $R$ ist. In der Aufgabenstellung kommt auch [mm] $S^{-1}N(R)$ [/mm] vor, das heißt, du musst auch wissen, was die Lokalisierung eines Ideals ist. Weißt du, wie diese definiert ist? Weißt du, welchen Typ das Objekt hat, das dabei herauskommt? Ist es ein Ring? Ist es ein Ideal? Wenn ja, ein Ideal von welchem Ring?
Wenn du mir das sagen kannst, (und am besten auch, welchen Typ das Objekt [mm] $N(S^{-1}R)$ [/mm] hat), dann können wir uns daran machen, die behauptete Gleichheit zwischen den beiden Dingen [mm] $N(S^{-1}R)$ [/mm] und [mm] $S^{-1}N(R)$ [/mm] zu beweisen.
Liebe Grüße
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Mo 27.11.2017 | | Autor: | knowhow |
Da N(R) ein Ideal von R ist gilt dann
[mm] S^{-1}N(R)\subseteq S^{-1}R [/mm] Ideal.
Ist das soweit richtig?
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Richtig. Jetzt zeigen wir die beiden Inklusionen von Idealen im Ring [mm] $S^{-1}R$. [/mm] Nimm ein beliebiges Element aus [mm] $N(S^{-1}R)$. [/mm] Wie sieht das aus, was weißt du darüber? Versuche zu zeigen, dass es in [mm] $S^{-1}N(R)$ [/mm] liegt.
Liebe Grüße
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Mo 27.11.2017 | | Autor: | knowhow |
Dann ist [mm] N(S^{-1}R)=\lbrace \bruch{r}{s}\in S^{-1}R [/mm] | [mm] \exists n\in \IN [/mm] mit [mm] (\bruch{r}{s})^n=0\rbrace, [/mm] oder?
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Ja. Was bedeutet es für $r$ und $s$, wenn die Gleichung [mm] $\bigl(\frac{r}{s}\bigr)^n=0$ [/mm] in der Lokalisierung [mm] $S^{-1}R$ [/mm] gilt?
Liebe Grüße
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 Di 28.11.2017 | | Autor: | knowhow |
d.h. [mm] r\in [/mm] R und [mm] s\in [/mm] S und da [mm] (\bruch{r}{s})^n=0 [/mm] ist das dasselbe wie wenn wwir schreiben [mm] (\bruch{r}{s})^n=\bruch{0}{1}, [/mm] (ist es nicht dasselbe wenn wir schreiben [mm] r^n=0 [/mm] da [mm] s\neq [/mm] 0 gelten muss?) und falls das der Fall ist können wir jedes beliebige Element aus [mm] S^{-1} [/mm] dranmultiplizieren und es trotzdem [mm] r^n=0 [/mm] z.B.
für alle [mm] u\in S^{-1} [/mm] gilt dann [mm] ur^n=0, [/mm] oder?
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$s$ ist nicht unbedingt [mm] $\not=0$, [/mm] aber [mm] $\frac{s}{1}$ [/mm] ist eine Einheit in der Lokalisierung mit Inversem [mm] $\frac{s}{1}$. [/mm] Von daher gilt tatsächlich [mm] $\frac{r^n}{1}=0$ [/mm] in der Lokalisierung. Was bedeutet es, dass ein Bruch in der Lokalisierung 0 ist?
Liebe Grüße
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Di 28.11.2017 | | Autor: | knowhow |
Dann ex. ein [mm] u\in [/mm] S mit [mm] u\cdot r^n=0, [/mm] oder?
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Richtig. Jetzt erinnern wir uns: Wir wollen zeigen, dass [mm] $\frac{r}{s}$ [/mm] in [mm] $S^{-1}N(R)$ [/mm] liegt. Das bedeutet, dass wir [mm] $\frac{r}{s}$ [/mm] in der Form ... [bitte ausfüllen] schreiben können. Wie lässt sich das erreichen?
Liebe Grüße
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Di 28.11.2017 | | Autor: | knowhow |
Also müssen wir [mm] \bruch{r}{s} [/mm] in die Form [mm] \bruch{r^n}{s}=0 [/mm] schreiben.
Ist das richtig?
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Nein, das ist falsch.
Liebe Grüße
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Di 28.11.2017 | | Autor: | knowhow |
[mm] (u\cdot r)^n=0?
[/mm]
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Das ist eine Gleichung, die stimmt und eventuell sogar nützlich werden könnte. Dennoch bleibt die Frage, was es bedeutet, dass [mm] $\frac{r}{s}$ [/mm] ein Element von [mm] $S^{-1}N(R)$ [/mm] ist, und warum das gilt.
Liebe Grüße
UniversellesObjket
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Di 28.11.2017 | | Autor: | knowhow |
Achso, stimmt.
Da wir gesagt haben dass [mm] \bruch{r}{s} [/mm] mit [mm] r\in [/mm] R und [mm] s\in [/mm] S und weiter [mm] \bruch{s}{1} [/mm] Einheit in [mm] S^{-1}R [/mm] ist also ist
[mm] sr^n=0 [/mm] und [mm] r^n=0 [/mm] d.h. [mm] r\in [/mm] N(R) d.h. insgesamt erhalten wir dann [mm] \bruch{r}{s}\in S^{-1}N(R).
[/mm]
Stimmt das?
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Wir können nicht folgern, dass [mm] $r^n=0$. [/mm] Wir haben lediglich gefolgert, dass es ein [mm] $u\in [/mm] S$ gibt mit [mm] $u*r^n=0$.
[/mm]
Liebe Grüße
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Di 28.11.2017 | | Autor: | knowhow |
Für [mm] u\cdot r^n=0 [/mm] können wir dann sagen [mm] u\in [/mm] N(R)
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Nein. Wie kommst du darauf?
Liebe Grüße
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Di 28.11.2017 | | Autor: | knowhow |
Wir haben gesagt dass [mm] \exists u\in [/mm] S mit [mm] u\cdot r^n=0. [/mm] Und außerdem ist [mm] (ur)^n=0.Das [/mm] ist doch genau die Definition zur Nilradikal. Also ist [mm] u\in [/mm] N(R).
Bitte korrigiere mich falls ich falsch liege. Ich möchte es wirklich verstehen.
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Dass [mm] $(u*r)^n=0$ [/mm] ist, bedeutet, dass [mm] $u*r\in [/mm] N(R)$ gilt.
Liebe Grüße
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Di 28.11.2017 | | Autor: | knowhow |
Ist damit die eine Richtung gezeigt?
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Nein. Du wehrst dich ja auch seit 13:31, dir zu überlegen, was wir eigentlich erreichen wollen.
Liebe Grüße
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Di 28.11.2017 | | Autor: | knowhow |
Wir wollen zeigen, dass [mm] \bruch{r}{s}\in S^{-1}N(R) [/mm] ist. Aber irgendwie steckt der Wurm...
d.h. wir müssen [mm] \bruch{r}{s} [/mm] in die Form [mm] \bruch{1}{s}\cdot r^n=0 [/mm] bringen, damit es in [mm] S^{-1}N(R) [/mm] liegt, denn [mm] S^{-1}N(R)=\lbrace \bruch{r}{s}| r\in [/mm] N(R), [mm] s\in S\rbrace.
[/mm]
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> Wir wollen zeigen, dass [mm]\bruch{r}{s}\in S^{-1}N(R)[/mm] ist.
> Aber irgendwie steckt der Wurm...
>
> d.h. wir müssen [mm]\bruch{r}{s}[/mm] in die Form [mm]\bruch{1}{s}\cdot r^n=0[/mm]
Wie kommst du hierauf??? Was hat das mit der Definition von [mm] $S^{-1}N(R)$ [/mm] zu tun?
> bringen, damit es in [mm]S^{-1}N(R)[/mm] liegt, denn
> [mm]S^{-1}N(R)=\lbrace \bruch{r}{s}| r\in[/mm] N(R), [mm]s\in S\rbrace.[/mm]
Das bedeutet doch, wir müssen [mm] $\frac{r}{s}$ [/mm] als einen Bruch schreiben, bei dem oben ein Element von $N(R)$ steht und unten ein Element von $S$. Wie könntest du das erreichen?
Liebe Grüße
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Di 28.11.2017 | | Autor: | knowhow |
aber [mm] \bruch{r}{s} [/mm] steht doch schon als Bruch da??? Und damit [mm] \bruch{r}{s}\in S^{-1}N(R) [/mm] ist muss [mm] r\in [/mm] N(R) und [mm] s\in [/mm] S d.h. dann es muss gelten [mm] r^n=0
[/mm]
und wir wissen [mm] \exists u\in [/mm] S mit [mm] ur^n=0 [/mm] also können wir dann die Inverse zu u nehmen? mit [mm] \bruch{ur^n}{u}=0 \Rightarrow r^n=0 [/mm] somit haben wir gezeigt dass [mm] r\in [/mm] N(R) ist?
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> aber [mm]\bruch{r}{s}[/mm] steht doch schon als Bruch da???
Ja, aber nicht als ein Bruch, bei dem oben ein nilpotentes Element steht.
> Und
> damit [mm]\bruch{r}{s}\in S^{-1}N(R)[/mm] ist muss [mm]r\in[/mm] N(R)
Nein, muss es nicht und wird es auch im Allgemeinen nicht.
> und
> [mm]s\in[/mm] S d.h. dann es muss gelten [mm]r^n=0[/mm]
>
> und wir wissen [mm]\exists u\in[/mm] S mit [mm]ur^n=0[/mm] also können wir
> dann die Inverse zu u nehmen?
Nein, denn $u$ wird im Allgemeinen kein invertierbares Element von $R$ sein. Nur [mm] $\frac{u}{1}$ [/mm] ist ein invertierbares Element von [mm] $S^{-1}R$, [/mm] aber das bringt hier nichts.
> mit [mm]\bruch{ur^n}{u}=0[/mm]
Diese Gleichung stimmt sogar wieder, aber
> [mm]\Rightarrow r^n=0[/mm]
Diese Folgerung stimmt nicht.
> somit haben wir gezeigt dass [mm]r\in[/mm] N(R) ist?
Die Lösung geht so: Sei [mm] $\frac{r}{s}\in N(S^{-1}R)$. [/mm] Das bedeutet, es gibt ein [mm] $n\in\IN$ [/mm] mit [mm] $(\frac{r}{s})^n=\frac{r^n}{s^n}=0$ [/mm] in [mm] $S^{-1}R$. [/mm] Per Konstruktion der Lokalisierung bedeutet dies, dass es ein [mm] $u\in [/mm] S$ gibt mit [mm] $u*r^n=0$ [/mm] in $R$. Hieraus folgt durch Multiplikation mit [mm] $u^{n-1}$, [/mm] dass [mm] $(u*r)^n=0$ [/mm] in $R$ gilt, also [mm] $u*r\in [/mm] N(R)$. Folglich ist [mm] $\frac{s}{r}=\frac{u*r}{u*s}\in S^{-1}N(R)$.
[/mm]
Liebe Grüße
UniversellesObjekt
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