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Hallo,
Ich will meine Ergenbisse korrigieren lassen, außerdem konnte ich eine Aufgabe nicht lösen.
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Die Gerade g sei durch die beiden Punkte P(9;5;4) und Q (2;1;0) bestimmt, die Ebene E durch 2x-2y-z=6
a) Ermittle die Länge und den LOTFUßPUNKT des vom Nullpunkt auf die Ebene E gefällten Lotes! (Korrektur)
b) Ermittle Schnittpunkt und Größe des Schnittwinkels zwischen der Geraden g und der Ebene E ? (hab keine Ahnung :( ?)
c) Ermittle die Punkte auf g, welche von E den Abstand d=4 haben ! (Korrektur)
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Aufgabe a)
Ich hab hier Hessesche Normalenform genommen:
[mm] \wurzel{2^{2}+(-2)^{2}+1^{2}}=\wurzel{4+4+1}=\wurzel{9}=3
[/mm]
danach hab ich es durch 3 dividiert
[mm] \bruch{2}{3}x [/mm] - [mm] \bruch{2}{3}y [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}z-2
[/mm]
Spitze des Normalenvektors [mm] \vec{n} [/mm] vom Koordinatenursprung die Länge 1
aber die Ebene hat den Abstand 2, deswegen hab ich es verdoppelt
( [mm] \bruch{4}{3},-\bruch{4}{3},\bruch{2}{3})
[/mm]
Aufgabe b) Die Aufgabe konnte ich nicht lösen
Aufgabe c) [mm] \bruch {2}{3}x-\bruch {2}{3}y+\bruch [/mm] {1}{3}z-2=d
P(9,5,4) und Q(2,1,0).
P-Q = (9,5,4)-(2,1,0)=(7,4,4,)
g: (2,1,0) + t*(7,4,4)
x=2+7t
y=1+4t
z=4t
[mm] \bruch {2}{3}x-\bruch {2}{3}y+\bruch [/mm] {1}{3}z-2=4
[mm] \bruch {2}{3}\cdot{}(2+7t)-\bruch {2}{3}\cdot{}(1+4t)+\bruch {1}{3}\cdot{}(4t)-2=4
[/mm]
danach hab ich es nach t aufgelöst
zuerst hab ich es bei +4 gemacht
t=8/5
und bei -4 hab ich
t=-4/5
t1= 8/5 ^ t2=-4/5
(2,1,0) + 8/5*(7,4,4) P1(13,2;7,4;6,4)
(2,1,0) - 4/5*(7,4,4) P2(-3,6;-2,2;-1,2)
Jetzt brauche ich nur die 2. Aufgabe :(
MfG Hamburg87 ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Mi 10.05.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo,
Die Lösungsansätze zu a) und c) sind meiner Meinung nach richtig. Nachgerechnet habe ich nicht, ich denke aber, dass das nicht nötig ist.
Zu Teil b)
Den Normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] der Ebene hast du ja schon berechnet.
Mit [mm] \vec{u} [/mm] bezichne ich jetzt mal den Richtungsvektor deiner Geraden g.
Jetz kannst du mit folgender Formel den Winkel [mm] \alpha [/mm] zwischen den beiden Vektoren berechnen.
cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{\vec{n}\* \vec{u}}{|\vec{n}| |\vec{u}|} [/mm]
(Mit [mm] \* [/mm] ist das Skalarprodukt gemeint, in Nenner ist es das ganz normale Produkt der Längen)
Der Schnittwinkel [mm] \gamm [/mm] zwischen der Gerade und der Ebene ist [mm] 90-\alpha.
[/mm]
Ich hoffe, ich konnte helfen
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 Mi 10.05.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo,
Die Lösungsansätze zu a) und c) sind meiner Meinung nach richtig. Nachgerechnet habe ich nicht, ich denke aber, dass das nicht nötig ist.
Zu Teil b)
Den Normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] der Ebene hast du ja schon berechnet.
Mit [mm] \vec{u} [/mm] bezichne ich jetzt mal den Richtungsvektor deiner Geraden g.
Jetz kannst du mit folgender Formel den Winkel [mm] \alpha [/mm] zwischen den beiden Vektoren berechnen.
cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{\vec{n}\* \vec{u}}{|\vec{n}| |\vec{u}|} [/mm]
(Mit [mm] \* [/mm] ist das Skalarprodukt gemeint, im Nenner ist es das ganz normale Produkt der Längen)
Der Schnittwinkel [mm] \gamma [/mm] zwischen der Gerade und der Ebene ist [mm] 90-\alpha.
[/mm]
Ich hoffe, ich konnte helfen
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:30 Mi 10.05.2006 | | Autor: | Desiderius |
Toach!
Also bei der ersten hab ich einen kleinen Fehler gefunden, weiß nicht, ob du dich nur verschrieben hast aber du hast beim Lotfußpunkt ein Minus unterschlagen, der liegt meiner Meinung nach bei [mm] (\bruch{4}{3}, -\bruch{4}{3}, -\bruch{2}{3} [/mm] )
Und für die Winkelberechnung hätte ich einen Tipp, wenn man den Sinus und nicht den Cosinus von dem berechnet was Rex geschrieben hat kann man sich das abziehen des Winkels von 90° sparen, weil das dann sozusagen automatisch gemacht wird.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:51 Mi 10.05.2006 | | Autor: | Hamburg87 |
Hallo
Ich + 2/3 rausbekommen nicht - 2/3
ansonsten hab ich bei der Winkelberechnung ein Ergebnis, hoffentlich stimmt es.
Danke für deine Hilfe
MfG Hamburg87
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:58 Mi 10.05.2006 | | Autor: | Desiderius |
Hallo!
Nein hast du nicht, außer du hast die falsche Ebene angegeben.
Wenn die Ebene 2x-2y-z=6 lautet, dann muss die z-Koordinate negativ sein und das ändert sich auch nicht durch deine Berechnungen, aber du scheinst dich dann verechnet zu haben oder du hast halt die falsche Ebene angegeben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:02 Mi 10.05.2006 | | Autor: | Hamburg87 |
Achso die z Ebene ist positiv ich hab mich wahrscheinlich verschrieben ;)
2x-2y+z=6
Danke !
MfG Hamburg 87
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Hallo,
Danke für dene Antwort
soll ich jetzt so weitermachen:
(4/3;4/3;2/3) * (7;4;4)
Ich beim Skalarprodukt: 20/3 rausbekommen
Die Länge von a ist 2 und von b ist 9
also:
[mm] \bruch{ \bruch{20}{3}}{|2| |9|}
[/mm]
ergibt 10/27 = 68,26 °
hoffentlich stimmt es
MfG
Hamburg87
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Was möchtest du da denn überhaupt berechnen?
Wenn das der Schnittwinkel werden soll, dann hast du aber die falschen Vektoren genommen. Du musst den Normalvektor der Ebene nehmen und der ist einfach [mm] \vektor{2 \\-2 \\-1} [/mm] (außer du hast die falsche Ebene angegeben, dann wäre es einen +1)
Damit wäre das Skalarprodukt 2 und unterm Bruchstri würde 3*9 stehen, also insgesamt [mm] \bruch{2}{27} [/mm] und der arcussinus davon ist 4,248° und das kommt dann auch als Ergebnis heraus.
Hast da wohl einfach die Vektoren vertauscht, du weißt doch bestimmt wie man den Normalenvektor einer Ebene bestimmt oder?
Und zum Schnittpunkt kommst du auch relativ einfach, musst nur mal die Gerade aufstellen:
[mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 0} [/mm] + a* [mm] \vektor{7 \\ 4 \\ 4} [/mm]
und in die x,y und z der Ebenengleichung setzt du dann halt die x,y und z von der Gerade ein, also x=2+7a y=1+4a z=0+4a . Das setzt du halt in die Ebene 2x-2y-z=6 ein und rechnest das a aus, dieses setzt du wieder in die Geradengleichung ein und du erhälst den Durchstoßpunkt oder du benutzt einfach ein Taschenrechnerprogramm dafür, da du ja bloß angeben sollst.
Ich hoffe ich habe all deine Frage beantwortet, wenn du dich bei der Ebene doch verschrieben haben solltest, dann würde ich nochmal schnell drüberschauen und abändern.
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:27 Mi 10.05.2006 | | Autor: | Hamburg87 |
Hallo,
Sorry ich hab die Ebene falsch angegeben ;)
es muss 2x-2y+z=6
Der Schnittwinkel ist bei mir 21,74 °
Und der Durchstoßpunkt beträgt 0,4
MfG, Hamburg87
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:09 Mi 10.05.2006 | | Autor: | Desiderius |
Tach.
Wie ich es mir gedacht habe.
Der Winkel ist richtig und der Punkt lautet ( [mm] \bruch{24}{5}, \bruch{13}{5}, \bruch{8}{5} [/mm] )
schönen Abend noch
mfg
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