Lotto - 2 benachbarte Zahlen < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 So 25.09.2005 | | Autor: | Saend |
Also es handelt sich um folgende Aufgabe:
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim Lotto (mindestens) zwei benachbarte Zahlen gesogen werden und vergleiche mit dem tatsächlichen Ergebnis: 1034 von 2000
Meine Idee stimmt aber leider nicht im entferntesten mit dem tatsächlichen Ergebnis überein beziehungsweise fehlt mir am Ende irgendwie der clue. =(
Und zwar dachte ich, da es ja für die Zahlen 1 & 49 jeweils nur einen Nachbar gibt, also 2 * 1/48, und für die restlichen 47 Zahlen 2 in Frage kommende Zahlen gibt, also 47 * 2/48, addiere ich diese beiden Pfade und dividiere durch alle möglichkeiten, also durch 49.
Also: (2*1/48+47*2/48) / 49 = 47/49
Das ganze muss ich ja aber für 6 Ziehungen, sprich 6 Lottozahlen machen. Dabei ändert sich die 48 durch die ich anfangs teile natürlich nach jedem Zug, da ich ja dann nur noch 47, 46, 45, usw. Kugeln zur Auswahl habe.
So komm ich letzten Endes auf 5 Wete, die alle so bei 0,9... liegen.
Und was mach ich jetzt???
P.s.: Da ich Erst-poster bin:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 Mo 26.09.2005 | | Autor: | Athena |
Also ich habe mir mal Gedanken über die Ziehung der ersten beiden Zahlen gemacht, vielleicht hilft dir das ja schon weiter.
Der Ergebnisraum sei [mm] \Omega=\{1\to2, 1\to3, ..., 49\to48\} [/mm] wobei x [mm] \to [/mm] y darstellen soll, dass im ersten Zug x und im zweiten Zug y gezogen wird. Dann hat jedes dieser Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit [mm] P(\omega)=\bruch{1}{n}, \omega\in\Omega [/mm] wobei n die Anzahl aller Ergebnisse ist (also [mm] n=|\Omega|).
[/mm]
Auf Deutsch: die Wahrscheinlichkeit für [mm] 1\to2 [/mm] ist die gleiche wie für alle anderen Ziehungen, nämlich $ [mm] \bruch{1}{2352}, [/mm] mit\ n=49*48 $
Jetzt kommt die Laplace-Annahme ins Spiel, denn jedes Ereignis hat die gleiche Wahrscheinlichkeit. Also dürfen wir benutzen, dass:
[mm] P(A)=\bruch{\mbox{die Anzahl der für A günstigen Ergebnisse}}{\mbox{die Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}
[/mm]
Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist 2+47*2 (denn [mm] (1\to2 [/mm] und [mm] 49\to48)+(47 [/mm] mal hat die gezogene Zahl zwei Nachbarn)).
Die Anzahl der möglichen Ergebnisse (s.o.) ist n=2352
Die Wahrscheinlichkeit dass bei den ersten beiden Zügen benachbarte Zahlen auftreten sollte also $ [mm] \bruch{2+47*2}{48*49}=\bruch{96}{2352}\approx [/mm] 0,0408 $ sein.
Bei den weiteren Ziehungen hast du ja selbst erkannt, dass sich die Möglichkeiten reduzieren, du musst entsprechend die günstigen und möglichen Ereignisse überlegen. Eventuell geht es auch eleganter, aber da müsste einer der Mathe-Profis hier im Forum ran. 
Falls ihr die Laplace-Annahme nichts sagt kann man auf das gleiche Ergebnis auch mit einem Baum kommen. Nur ist es dann vermutlich viel mehr Arbeit und schwieriger die Bäume für die weiteren Ziehungen zu überlegen.
Ich hoffe das stimmt und ich konnte dir vielleicht ein wenig helfen
Liebe Grüße
Jessi
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Hallo Saend,
eine ganz schön knifflige Aufgabe, nach einiger Bedenkzeit habe ich aber eine Lösung gefunden
Zunächst sollten wir zum Gegenereignis (Y) übergehen, da wir ja sonst unterscheiden müssten zwischen "genau 2 benachbarte Zahlen", "genau 3 ben. Z.", ...
Wir suchen jetzt also die Wahrscheinlichkeit, dass keine zwei Zahlen der Ziehung nebeneinander sind. Diese berechnen wir nach der "Laplaceformel", d.h. wir überlegen, wieviele Möglichkeiten es dafür gibt und teilen dann durch "6 aus 49"=Gesamtanzahl der Ziehungsmöglichkeiten. (Mit der Pfadregel, also zu überlegen, was im ersten Zug passiert, und was dann für den zweiten übrigbleibt, etc., kommt man nicht weiter.)
Z.B. [mm]\{1,4,7,20,22,48\}[/mm] wäre so eine Möglichkeit. Um auf die Gesamtzahl zu kommen, überlegen wir uns folgendes Modell: Wenn zwei Zahlen benachbart sind, dann hat die kleinere Zahl (Zahl=gezogene Zahl) "rechts" kein "freies Feld". D.h. "jede Zahl hat keinen Nachbar" ist äquivalent zu "jede Zahl hat rechts ein freies Feld". Anschaulich brauchen wir also die Anzahl der Möglichkeiten, sechs Dominosteine auf ein Raster von 1 bis 49 zu verteilen, wobei immer die Zahl die unter dem grünen, also linken Feld eines Dominosteins zu liegen kommt, gezogen ist und das graue Feld frei bleibt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Damit die 49 auch gezogen werden kann, müssen wir das Raster rechts um ein Feld erweitern, es ist also 50 Felder lang, die Steine sind 2 Felder lang.
Wieviele verschiedene Möglichkeiten gibt es also, wenn die Steine unter sich gleich sind (es spielt ja keine Rolle, wann eine Zahl gezogen wurde)?
Es ist das "MISSISSIPPI"-Problem (so hab ich's zumindest kennen gelernt ), wobei hier der "Buchstabe" A die freien Felder sind (also ohne Stein): es gibt [mm]50-6*2=38[/mm] davon. Der "Buchstabe" B sind die Steine, davon gibt es 6. (eine AAABA...ABABAAA Folge legt die Ziehung eindeutig fest!)
Es gibt also [mm]\bruch{(38+6)!}{38!*6!}[/mm] Möglichkeiten!
Die eigentlich gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also
[mm]P(X)=1-P(Y)=1-\bruch{\bruch{(38+6)!}{38!*6!}}{\vektor{49 \\ 6}}=1-\bruch{44!*6!*43!}{38!*6!*49!}=1-\bruch{43*42*41*40*39}{49*48*47*46*45}\approx 1-0,5048=0,4952[/mm]
mfg
Daniel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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