Lotto "6 aus 49" < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
ich möchte die Wahrscheinlichkeit beim Lotto berechnen folgende Ergebnisse zu erziehlen
a) genau 3 richtige
b) sechs richtige
c) fünf richtige mit Zusatzzahl
ein Ergebnis dazu habe ich auch und kann schon nachvollziehen wie die Werte zustande kommen, aber die genaue Formel dazu ist mir nicht klar.
bei a) soll sein:
[mm] \bruch{\vektor{6 \\ 3} \cdot \vektor{43 \\ 3}}{\vektor{49 \\ 6}} [/mm] = 1,77%
Leider ist an der Stelle keine Formel angegeben. Als Formelbuch nutze ich die von Papula. Am ehesten passt noch die von der "Bedingten Wahrscheinlichkeit", vermute ich mal.
[mm] P(B|A)=\bruch{P(A \wedge B)}{P(A)}
[/mm]
Der Teil unter dem Bruchstrich würde sich damit auch erklären, aber den Teil darüber kann ich nicht mit Hilfe einer Formel nachvollziehen.
Ich hab dazu auch kurz im Internet gesucht, aber leider ist das Wort "Lotto" in allen möglichen Kombinationen etwas vorbelastet. 
Darum hoffe ich jemand kann mir die richtige Formel dafür zeigen.
Gruß
Andreas
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Hallo Andreas!
Das Stichwort ist die hypergeometrische Verteilung.
Man kann sie sich aber auch so erklären:
Zunächst mal entsteht der Quotient aus der sogenannten Laplace-Annahme, dass die einzelnen Ergebnisse (Ankreuzmöglichkeiten der Tippscheins) alle gleichwahrscheinlich sind, nämlich die Wkt. $1/{49 [mm] \choose [/mm] 6}$ besitzen. Die Wahrscheinlichkeit für 3 Richtige berechnet man gemäß der Formel (Laplace-Wkt.): Anzahl der günstigen Ergebnisse geteilt durch Anzahl der möglichen Ergebnisse. Die ANzahl der günstigen ERgebnisse ergibt sie wie folgt:
Auf dem Tippschein müssen drei der sechs Richtigen angekreuzt sein (dafür gibt es ${6 [mm] \choose [/mm] 3}$ Möglichkeiten), kombiniert mit 3 anderen Zahlen, die nicht zu den richtigen Zahlen gehören (mit wiederum ${43 [mm] \choose [/mm] 3}$ Möglichkeiten. Die beiden Anzahlen muss man multiplizieren, da beides gleichzeitig eintreten muss.
Jetzt klarer?
Viele Grüße
Brigitte
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> Hallo Andreas!
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> Das Stichwort ist die hypergeometrische Verteilung.
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> Jetzt klarer?
Im Prinzip ja. Ich habe die a) und b) nun mit der Formel für die hypergeometrische Verteilung lösen können. Allerdings komme ich bei der c) zu einer anderen Lösung. Da geht es darum fünf richtige mit Zusatzzahl zu berechnen. Vielleicht ist mein Ansatz falsch, aber ich denke das ist genauso wie 5 richtige, nur eben das 7 aus 49 gezogen werden.
Also hier noch mal die Formel:
[mm] f(x)=P(x)=\bruch{\vektor{M \\ X} \cdot \vektor{N-M \\ n-x}}{\vektor{N \\ M}}
[/mm]
Jetzt hab ich so gesetzt:
N=49 [Kugeln]
M=6 ["gute" Kugeln]
n=7 [gezogene Kugeln]
x=5 [Anzahl der "guten" Kugeln unter den gezogenen]
[mm] f(x)=P(x)=\bruch{\vektor{6 \\ 5} \cdot \vektor{43 \\ 2}}{\vektor{49 \\ 6}}
[/mm]
= [mm] 3,87\cdot 10^{-4}
[/mm]
Aber es soll [mm] 4,29\cdot 10^{-7} [/mm] rauskommen. Wie das?
Gruß
Andreas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:37 Sa 10.07.2004 | | Autor: | Wessel |
Hallo,
ich bin mir nicht so sicher - deshalb als Mitteilung markiert.
Aber wenn ich mich an die Zeit meiner letzten Lottosendung zurück erinnere, dann werden doch erst alle Gewinnzahlen und dann die zusatzzahl ermittelt, oder?
Damit sind aber im Topf nur noch $49-6=43$ Kugeln, wenn die Zusatzzahl gezogen wird. Das müßte man doch berücksichtigen, wenn man die Wahrscheinlichkeit "mit Zusatzzahl" ausrechnet.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 Sa 10.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Andreas!
Ich mache es mal übertrieben formal vor, damit dir die Struktur bei solchen Aufgaben klarer wird.
Du hast sozusagen drei Sorten von Zahlen:
- $6$ Zahlen, die als Glückszahlen gezogen werden
- $1$ Zahl, die als Zufallszahl gezogen wird
- $42$ Zahlen, die gar nicht gezogen werden.
Du hast also deine $49$ Zahlen in drei disjunkte Klassen eingeteilt. Jetzt musst du dir überlegen, wie viele Zahlen man aus jeder Klasse wählen muss, damit das gesuchte Ereignis eintritt.
Das Ereignis "5 Zahlen plus Zufallszahl" tritt ein, wenn
- von den $6$ Zahlen der ersten Gruppe $5$ getippt werden
- von der $1$ Zahl der zweiten Gruppe $1$ getippt wird
- von den $42$ Zahlen der dritten Gruppe $0$ getippt werden.
Daher ist die Wahrscheinlichkeit:
$p = [mm] \frac{{6 \choose 5} \cdot{1 \choose 1} \cdot {42 \choose 0}}{{49 \choose 6}}$.
[/mm]
Alles klar? 
Wenn nicht, dann frage nach.
Liebe Grüße
Stefan
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> Alles klar?
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> Wenn nicht, dann frage nach.
Danke für deine ausführliche Erklärung. Die Aufgabe hab ich jetzt verstanden. Allerdings hab ich nochmal eine ganz allgemeine Frage. Kann man die Binominalkoeffizienten (nennt man die auch hier so?) direkt auf einem normalen Taschenrechner rechnen lassen ohne jedesmal eine Zwischenrechnung zu machen?
Also z.B.
[mm] \vektor{49 \\ 6}
[/mm]
Ich habe einen Casio Rechner, aber finde gerade die Anleitung nicht :-(
Gruß
Andreas
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Lieber Andreas,
> Danke für deine ausführliche Erklärung. Die Aufgabe hab ich
> jetzt verstanden. Allerdings hab ich nochmal eine ganz
> allgemeine Frage. Kann man die Binominalkoeffizienten
> (nennt man die auch hier so?)
Wenn Du das "n" weglässt; es heißt Binomialkoeffizient
> direkt auf einem normalen
> Taschenrechner rechnen lassen ohne jedesmal eine
> Zwischenrechnung zu machen?
Ja, das geht.
> Also z.B.
>
> [mm]\vektor{49 \\ 6}
[/mm]
>
> Ich habe einen Casio Rechner, aber finde gerade die
> Anleitung nicht :-(
Ich habe auch einen Casio Rechner (allerdings von anno dazumal), dort gibt es über den Tasten ja jeweils noch eine Beschriftung, die den Befehl angibt, der bei der Tastemkombination Shift + entsprechende Taste ausgeführt wird. Suche mal nach dem Befehl "nCr" (ist bei mir in der obersten Reihe). Das sollte der Binomialkoeffizient sein.
Viel Erfolg!
Brigitte
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