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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:46 Di 09.12.2008 | | Autor: | elvis-13.09 |
| Aufgabe | Jede beschränkte ganze Funktion ist konstant.
Zeige diese Behauptung, ohne die Integralformel für Ableitungen zu benutzen. |
Hallo.
Ich hänge ein wenig an obiger Aufgabe: Meine Ansätze:
Ich betrachte |f(c)-f(0)| und versuche das nach oben abzuschätzen:
Komme nun hier nicht mehr weiter:
[mm] |f(c)-f(0)|\le\bruch{|c|}{2\pi}|\integral_{\alpha}^{}{\bruch{f(z)z^-1}{z-c}| dz} [/mm] wobei [mm] \alpha=rexp(it),t\in[0,2\pi] [/mm] und [mm] r\ge2|c| [/mm] gilt.
Ich komme hier nicht mehr weiter. Alle versuche letzteres geeignet abzuschätzen sind gescheitert. Ich konnte also, aus dem grenzübergang [mm] r\to\infty [/mm] nicht auf |f(c)-f(0)|=0 schließen. Hat jemand eine Idee?
Bedanke mich im Voraus für eure Mühe
Grüße Elvis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:33 Di 09.12.2008 | | Autor: | reverend |
Hallo Elvis,
Du brauchst einen Ansatz, der Integration vermeidet.
Ich denke, Du wirst einen finden, wenn Du mal die Definition für "beschränkt" und für "ganz" aufschreibst. Gib außerdem die Definitionsmenge der Funktion an (so allgemein wie eben nötig).
Grüße,
rev
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:29 Mi 10.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Elvis
> Jede beschränkte ganze Funktion ist konstant.
> Zeige diese Behauptung, ohne die Integralformel für
> Ableitungen zu benutzen.
Es reicht aus, folgendes zu zeigen:
Aus $f$ beschraenkt folgt $f'(0) = 0$.
Denn damit kannst du wie folgt argumentieren: schreibe $f(z) = [mm] \sum_{n=0}^\infty a_n z^n$. [/mm] Ist [mm] $a_1 [/mm] = [mm] \dots [/mm] = [mm] a_k [/mm] = 0$, so ist $g(z) = [mm] \frac{f(z) - a_0}{z^k} [/mm] = [mm] \sum_{n=k+1}^\infty a_n z^{n-k}$ [/mm] ganz mit $g'(z) = [mm] a_{k+1}$. [/mm] Weiterhin ist $g(z)$ auf [mm] $B_1(0) [/mm] = [mm] \{ z \in \IC \mid |z| \le 1 \}$ [/mm] beschraenkt, da $g$ insb. stetig ist und [mm] $B_1(0)$ [/mm] kompakt. Fuer $|z| > 1$ gilt weiterhin $|g(z)| [mm] \le [/mm] |f(z)|$, womit $g$ ebenfalls beschraenkt ist. Mit der Aussage oben folgt also $g'(0) = 0$, also [mm] $a_{k+1} [/mm] = 0$. Per Induktion folgt schliesslich [mm] $a_k [/mm] = 0$ fuer alle $k > 0$.
Vielleicht hilft dir das weiter?
LG Felix
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Hallo Felix!
mir ist ein punkt nicht klar (vermutlich Trivial)
warum ist für [mm] g(z)=\summe_{n=k+1}^{\infty}a_{n}z^{n-k}
[/mm]
[mm] g'(z)=a_{k+1} [/mm] ?
Verzeihe bitte diese offenbar triviale Frage... vermutlich habe ich einen Brett vor dem Kopf.
Meinst du man kann irgendwie meinen Ansatz retten?
Vielen Dank für deine Hilfe.
Grüße Elvis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:28 Mi 10.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Felix!
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> mir ist ein punkt nicht klar (vermutlich Trivial)
> warum ist für [mm]g(z)=\summe_{n=k+1}^{\infty}a_{n}z^{n-k}[/mm]
> [mm]g'(z)=a_{k+1}[/mm] ?
Da hat Felix sich wohl verschrieben
Es ist [mm]g'(0)=a_{k+1}[/mm]
Nebenbei: der Mann heißt Liouville und nicht Louiville
FRED
> Verzeihe bitte diese offenbar triviale Frage...
> vermutlich habe ich einen Brett vor dem Kopf.
> Meinst du man kann irgendwie meinen Ansatz retten?
> Vielen Dank für deine Hilfe.
>
> Grüße Elvis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:36 Mi 10.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Fred
> > mir ist ein punkt nicht klar (vermutlich Trivial)
> > warum ist für [mm]g(z)=\summe_{n=k+1}^{\infty}a_{n}z^{n-k}[/mm]
> > [mm]g'(z)=a_{k+1}[/mm] ?
>
>
> Da hat Felix sich wohl verschrieben
>
> Es ist [mm]g'(0)=a_{k+1}[/mm]
Ja, das meinte ich. Danke fuer die Korrektur!
LG Felix
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