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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:19 Mi 13.05.2009 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Lösungen für die folgende Komplexe Gleichung:
[mm] \sin(z)=2+3*j [/mm] |
Also irgendwie steh ich mit Komplexen Zahlen auf dem kriegsfuß.....
Und zwar will ich die Gleichung ohne Anwendung vom komplexen [mm] \arcsin [/mm] (kenn ich noch nich) lösen:
[mm] \sin(z)=2+3*j
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2*j}*\left(e^{j*z}-e^{-j*z}\right)=2+3*j
[/mm]
[mm] e^{j*z}-e^{-j*z}=-6+4*j
[/mm]
[mm] \left(e^{j*z}\right)^2+(6-4*j)*e^{j*z}-1=0
[/mm]
[mm] w=e^{j*z}
[/mm]
[mm] w^2+(6-4*j)*w-1=0
[/mm]
[mm] w=-3+2*j\pm\sqrt{(-3+2*j)^2+1}=-3+2*j\pm\sqrt{-4-12*j+9+1}
[/mm]
[mm] w=-3+2*j\pm\sqrt{6-12*j}
[/mm]
krieg ich jetzt irgendwie die Wurzel aufgelöst?
Der nächste Schritt wäre folgender:
[mm] j*z=Log\left(-3+2*j\pm\sqrt{6-12*j}\right)+k*2*\pi*j
[/mm]
[mm] j*z=ln\left(|-3+2*j\pm\sqrt{6-12*j}|\right)+j*arg\left(-3+2*j\pm\sqrt{6-12*j}\right)+k*2*\pi*j
[/mm]
[mm] z=-j*ln\left(|-3+2*j\pm\sqrt{6-12*j}|\right)+arg\left(-3+2*j\pm\sqrt{6-12*j}\right)+k*2*\pi
[/mm]
Jetzt weis ich nicht so recht wie ich den folgenden Betrag und das Argument ausrechnen soll...
Könnte ja komplex konjugiert erweitern:
[mm] -3+2*j\pm\sqrt{6-12*j}=\bruch{(-3+2*j\pm\sqrt{6-12*j})*(-3+2*j\mp\sqrt{6-12*j})}{-3+2*j\mp\sqrt{6-12*j}}
[/mm]
aber dann habe ich im Nenner ja wieder das gleiche Problem wenn sich im Zähler die Wurzel aufhebt...
Eine andere Methode wäre :
sin(z)=2+3*j
sin(x)*cosh(y)+j*cos(x)*sinh(y)=2+3*j
Dann Koeffizientenvergleich:
Realteil : sin(x)*cosh(y)=2
Imaginärteil : cos(x)*sinh(y)=3
aber die beiden krieg ich glaub ich auch nicht gelöst...
Danke und besten Gruß,
tedd
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Hallo tedd,
> Bestimmen Sie alle Lösungen für die folgende Komplexe
> Gleichung:
>
> [mm]\sin(z)=2+3*j[/mm]
> Also irgendwie steh ich mit Komplexen Zahlen auf dem
> kriegsfuß.....
> Und zwar will ich die Gleichung ohne Anwendung vom
> komplexen [mm]\arcsin[/mm] (kenn ich noch nich) lösen:
>
> [mm]\sin(z)=2+3*j[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2*j}*\left(e^{j*z}-e^{-j*z}\right)=2+3*j[/mm]
>
> [mm]e^{j*z}-e^{-j*z}=-6+4*j[/mm]
>
> [mm]\left(e^{j*z}\right)^2+(6-4*j)*e^{j*z}-1=0[/mm]
>
> [mm]w=e^{j*z}[/mm]
>
> [mm]w^2+(6-4*j)*w-1=0[/mm]
>
> [mm]w=-3+2*j\pm\sqrt{(-3+2*j)^2+1}=-3+2*j\pm\sqrt{-4-12*j+9+1}[/mm]
>
> [mm]w=-3+2*j\pm\sqrt{6-12*j}[/mm]
>
>
> krieg ich jetzt irgendwie die Wurzel aufgelöst?
>
Entweder Du berechest die Lösungen von
[mm]6-12j=\left(a+bj\right)^{2}[/mm]
oder Du schreibst
[mm]6-12j=r*e^{j*\phi}[/mm]
Hier sind die Lösungen gegeben durch
[mm]z_{0}=\wurzel{r}*e^{j*\bruch{\phi}{2}}[/mm]
[mm]z_{1}=\wurzel{r}*e^{j*\left(\bruch{\phi}{2}+\pi\right)}[/mm]
>
> Der nächste Schritt wäre folgender:
>
> [mm]j*z=Log\left(-3+2*j\pm\sqrt{6-12*j}\right)+k*2*\pi*j[/mm]
>
> [mm]j*z=ln\left(|-3+2*j\pm\sqrt{6-12*j}|\right)+j*arg\left(-3+2*j\pm\sqrt{6-12*j}\right)+k*2*\pi*j[/mm]
>
> [mm]z=-j*ln\left(|-3+2*j\pm\sqrt{6-12*j}|\right)+arg\left(-3+2*j\pm\sqrt{6-12*j}\right)+k*2*\pi[/mm]
>
> Jetzt weis ich nicht so recht wie ich den folgenden Betrag
> und das Argument ausrechnen soll...
>
> Könnte ja komplex konjugiert erweitern:
>
> [mm]-3+2*j\pm\sqrt{6-12*j}=\bruch{(-3+2*j\pm\sqrt{6-12*j})*(-3+2*j\mp\sqrt{6-12*j})}{-3+2*j\mp\sqrt{6-12*j}}[/mm]
>
> aber dann habe ich im Nenner ja wieder das gleiche Problem
> wenn sich im Zähler die Wurzel aufhebt...
>
> Eine andere Methode wäre :
>
> sin(z)=2+3*j
>
> sin(x)*cosh(y)+j*cos(x)*sinh(y)=2+3*j
>
> Dann Koeffizientenvergleich:
>
> Realteil : sin(x)*cosh(y)=2
> Imaginärteil : cos(x)*sinh(y)=3
Bilde hier den Quotienten, dann bekommst Du eine Bedingung,
die setzt Du in eine der beiden Gleichungen ein,
und löst dann die entstehende Gleichung.
>
> aber die beiden krieg ich glaub ich auch nicht gelöst...
>
> Danke und besten Gruß,
> tedd
>
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:49 Do 14.05.2009 | | Autor: | tedd |
Alles klar. das werde ich heute Abend mal ausprobieren.
Danke für die Hilfe 
Gruß,
tedd
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