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| Aufgabe | Im Folgenden seien f:U -> V und g:V -> W zwei lineare Abbildungen auf den endlichdimensionalen Vektorräumen U,V,W. Welche der folgenden Aussagen sind wahr bzw. falsch:
1. dim ( Kern (f) ) [mm] \le [/mm] dim ( Kern ( g [mm] \circ [/mm] f) )
würd sagen ist falsch, kommt doch drauf an,wie f und g definiert sind.
2. dim ( Kern (f) ) [mm] \ge [/mm] dim ( Kern ( g [mm] \circ [/mm] f) )
hier denke ich, gilt das gleiche wie oben.
3. dim ( Bild ( f) ) [mm] \le [/mm] min [mm] \{dim Bild(g), dim Bild(f) \}
[/mm]
falsch? kommt doch drauf an,wie eben f und g definiert sind
4. dim ( Bild (f) ) [mm] \ge [/mm] min [mm] \{dim Bild(g), dim Bild(f) \}
[/mm]
5. Ist g surjektiv, so ist auch g [mm] \circ [/mm] f surjektiv.
6. Ist f surjektiv, so ist auch g [mm] \circ [/mm] f surjektiv.
7. Ist g injektiv, so ist auch g [mm] \circ [/mm] f injektiv.
8. Ist f injektiv, so ist auch g [mm] \circ [/mm] f injektiv.
5.-8. ist falsch
9. g [mm] \circ [/mm] f bildet konvexe Mengen von U auf konvexe Mengen von W ab.
müsste stimmen,denn ich glaub g [mm] \circ [/mm] f ist das gleiche wie f [mm] \circ [/mm] g
10. Die Urbilder konvexer Mengen unter g [mm] \circ [/mm] f sind wieder konvexe Mengen.
stimmt denke ich auch
11. Die Mengen der bijektiven Funktionen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] ist mit den üblichen Verknüpfungen ein Vektorraum.
falsch
12. Seien a und b Elemente des [mm] \IR^n. [/mm] Dann gilt: [mm] LH\{a \} [/mm] = [mm] LH\{b \} [/mm] -> a=b
müsste stimmen
13. Eine (n x n)-Matrix A mit rg(A) = n stellt immer eine bijektive Abbildung dar.
was hat rang mit bijektiv zutun? glaube ist falsch
14. Für A [mm] \in \IR^{n x n} [/mm] gilt die Aussage [mm] A^t [/mm] = A^-1 -> det(A) = 1 [mm] \vee [/mm] det (A) = -1.
15. det ( -A) = [mm] (_1)^n [/mm] für alle A [mm] \in \IR^{n x n}.
[/mm]
falsch
16. Sei V ein Vektorraum und T:V -> V eine lineare Abbildung. Jeder von 0 verschiedene Vektor aus Kern ( T) ist ein EIgenvektor von T.
17. Sei V ein Vektorraum und T:V -> V eine lineare Abbildung. Jeder Eigenvektor zum Eigenwert 0 liegt im Kern von T.
18. Sei V ein Vektorraum und T:V -> V eine lineare Abbildung. Ist dim(V) = n und besitzt T n paarweise verschiedene Eigenwerte, dann existiert in V eine Basis, die nur aus Eigenvektoren von T besteht.
19. Sei T [mm] \in [/mm] L(V,W). T kann nur dann bijektiv sein,wenn V und W die gleiche Dimension besitzen.
20. Für quadratische Matrizen gilt: Zeilenrang = Spaltenrang. Für nichtquadratische Matrizen gilt dieser Zusammenhang im Allgemeinen nicht.
ist falsch,denn bei einer quadratischen matrix ist nicht immer zeilen- = spaltenrang
21. Satt des Simplexalgorithmus kann man zur linearen Optimierung immer die Lagrange Multiplikatorenregel verwenden.
falsch, habe noch nie was davon gehört
22. EIne n x n -Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Spaltenvektoren linear unabhängig sind.
müsste stimmen, denn wenn die det (A) [mm] \not= [/mm] 0 ist ,dann ist sie ja invertierbar bzw lin unabhängig
23. EIne Matrix ist Element eines Vektorraums. |
Meine Vorschläge:
5) f
6) f
7) f
8) f
12) w
Bei den anderen bin ich mir nicht sicher oder weiß grötenteils gar nicht,was stimmt und was nicht. Vielleicht weiß jemand mehr als ich...:)
w oder f reichen,warum ist egal;)
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Meine Vorschläge:
> 5) f
> 6) f
> 7) f
> 8) f
> 12) w
>
> Bei den anderen bin ich mir nicht sicher oder weiß
> grötenteils gar nicht,was stimmt und was nicht. Vielleicht
> weiß jemand mehr als ich...:)
> w oder f reichen,warum ist egal;)
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Beachte bitte, daß wir von Dir Lösungsansätze erwarten.
Wir helfen hier normalerweise gern, und oft sind die Helfer sehr ausdauernd und keinesfalls knauserig mit der investierten Zeit.
Das Ziel des Forums ist es, beim Verstehen zu helfen.
Dieses Ziel kann man durchs Posten v. Frage-Antwortkatalogen nicht erreichen.
Ich selbst wüßte wirklich keinen Grund, warum ich mir die Mühe machen sollte, über 23 Fragen nachzudenken, wenn Dich das Ergebnis in der Sache gar nicht interessiert.
Falls ich mich bei der Beurteilung der Situation täusche: teile Deinen Fragenkatalog in thematisch sinnvolle Häppchen, poste zu Deinen Antworten Deine Überlegungen, und dort, wo Du nicht weiterweißt, frage konkret nach.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:38 Mo 23.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> w oder f reichen,warum ist egal;)
Warum willst Du dann überhaupt eine Antwort ????
FRED
> Danke
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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weil ich eine klausur bestehen muss,die ziemlich wichtig ist!! und bei diesem prof ist es egal,ob man es kann oder dich!!
und wenn du mir nicht helfen willst,kannst du bitte deine kommentare lassen!!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:47 Mo 23.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> weil ich eine klausur bestehen muss,die ziemlich wichtig
> ist!! und bei diesem prof ist es egal,ob man es kann oder
> dich!!
D.h. man besteht auf jeden Fall ? Oder man fällt auf jeden Fall durch ?
> und wenn du mir nicht helfen willst,kannst du bitte deine
> kommentare lassen!!
ich würde Dir gern helfen, aber Du lässt jeden eigenen Ansatz vermissen und Eigeninitiative.
Wenn Du Dich benimmst, als wärst Du noch in der Pubertät, lasse ich meine Kommentare nicht
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:09 Mo 23.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich zeige meinen guten Willen und antworte auf die Fragen 1, 11 und 12.
Wenn Du weiteres Intersse hast, teile es mir mit.
FRED
> Im Folgenden seien f:U -> V und g:V -> W zwei lineare
> Abbildungen auf den endlichdimensionalen Vektorräumen
> U,V,W. Welche der folgenden Aussagen sind wahr bzw.
> falsch:
>
> 1. dim ( Kern (f) ) [mm]\le[/mm] dim ( Kern ( g [mm]\circ[/mm] f) )
> würd sagen ist falsch, kommt doch drauf an,wie f und g
> definiert sind.
Nein das ist richtig: ist x [mm] \in [/mm] Kern(f), so ist f(x) = 0, also g(f(x)) = g(0) = 0, somit ist x [mm] \in [/mm] Kern ( g [mm]\circ[/mm] f).
D.h.: Kern(f) [mm] \subseteq [/mm] Kern ( g [mm]\circ[/mm] f), also
dim ( Kern (f) ) [mm]\le[/mm] dim ( Kern ( g [mm]\circ[/mm] f) )
>
> 2. dim ( Kern (f) ) [mm]\ge[/mm] dim ( Kern ( g [mm]\circ[/mm] f) )
> hier denke ich, gilt das gleiche wie oben.
>
> 3. dim ( Bild ( f) ) [mm]\le[/mm] min [mm]\{dim Bild(g), dim Bild(f) \}[/mm]
>
> falsch? kommt doch drauf an,wie eben f und g definiert
> sind
>
> 4. dim ( Bild (f) ) [mm]\ge[/mm] min [mm]\{dim Bild(g), dim Bild(f) \}[/mm]
>
> 5. Ist g surjektiv, so ist auch g [mm]\circ[/mm] f surjektiv.
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> 6. Ist f surjektiv, so ist auch g [mm]\circ[/mm] f surjektiv.
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> 7. Ist g injektiv, so ist auch g [mm]\circ[/mm] f injektiv.
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> 8. Ist f injektiv, so ist auch g [mm]\circ[/mm] f injektiv.
> 5.-8. ist falsch
>
> 9. g [mm]\circ[/mm] f bildet konvexe Mengen von U auf konvexe Mengen
> von W ab.
> müsste stimmen,denn ich glaub g [mm]\circ[/mm] f ist das gleiche
> wie f [mm]\circ[/mm] g
>
> 10. Die Urbilder konvexer Mengen unter g [mm]\circ[/mm] f sind
> wieder konvexe Mengen.
> stimmt denke ich auch
>
> 11. Die Mengen der bijektiven Funktionen von [mm]\IR[/mm] nach [mm]\IR[/mm]
> ist mit den üblichen Verknüpfungen ein Vektorraum.
>
> falsch
Ja, denn ist f bijektiv, so ist f-f nicht bijektiv
>
> 12. Seien a und b Elemente des [mm]\IR^n.[/mm] Dann gilt: [mm]LH\{a \}[/mm] =
> [mm]LH\{b \}[/mm] -> a=b
> müsste stimmen
Stimmt aber nicht ! (wenn ich davon ausgehe, dass LH die lineare Hülle bezeichnet)
Richtig wäre: [mm]LH\{a \}[/mm] = [mm]LH\{b \}[/mm] -> es existiert ein Skalar [mm] \alpha [/mm] mit: [mm] a=\alpha [/mm] b
>
> 13. Eine (n x n)-Matrix A mit rg(A) = n stellt immer eine
> bijektive Abbildung dar.
>
> was hat rang mit bijektiv zutun? glaube ist falsch
>
> 14. Für A [mm]\in \IR^{n x n}[/mm] gilt die Aussage [mm]A^t[/mm] = A^-1 ->
> det(A) = 1 [mm]\vee[/mm] det (A) = -1.
>
> 15. det ( -A) = [mm](_1)^n[/mm] für alle A [mm]\in \IR^{n x n}.[/mm]
> falsch
>
> 16. Sei V ein Vektorraum und T:V -> V eine lineare
> Abbildung. Jeder von 0 verschiedene Vektor aus Kern ( T)
> ist ein EIgenvektor von T.
>
> 17. Sei V ein Vektorraum und T:V -> V eine lineare
> Abbildung. Jeder Eigenvektor zum Eigenwert 0 liegt im Kern
> von T.
>
> 18. Sei V ein Vektorraum und T:V -> V eine lineare
> Abbildung. Ist dim(V) = n und besitzt T n paarweise
> verschiedene Eigenwerte, dann existiert in V eine Basis,
> die nur aus Eigenvektoren von T besteht.
>
> 19. Sei T [mm]\in[/mm] L(V,W). T kann nur dann bijektiv sein,wenn V
> und W die gleiche Dimension besitzen.
>
> 20. Für quadratische Matrizen gilt: Zeilenrang =
> Spaltenrang. Für nichtquadratische Matrizen gilt dieser
> Zusammenhang im Allgemeinen nicht.
>
> ist falsch,denn bei einer quadratischen matrix ist nicht
> immer zeilen- = spaltenrang
>
> 21. Satt des Simplexalgorithmus kann man zur linearen
> Optimierung immer die Lagrange Multiplikatorenregel
> verwenden.
>
> falsch, habe noch nie was davon gehört
>
> 22. EIne n x n -Matrix ist genau dann invertierbar, wenn
> ihre Spaltenvektoren linear unabhängig sind.
>
> müsste stimmen, denn wenn die det (A) [mm]\not=[/mm] 0 ist ,dann ist
> sie ja invertierbar bzw lin unabhängig
>
> 23. EIne Matrix ist Element eines Vektorraums.
> Meine Vorschläge:
> 5) f
> 6) f
> 7) f
> 8) f
> 12) w
>
> Bei den anderen bin ich mir nicht sicher oder weiß
> grötenteils gar nicht,was stimmt und was nicht. Vielleicht
> weiß jemand mehr als ich...:)
> w oder f reichen,warum ist egal;)
> Danke
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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