ML-Schätzer bei nur einer Beob < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:16 Di 13.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Sei [mm] L(\vartheta):=\bruch{1}{\vartheta}\cdot{}1_{[0,\vartheta]}(x) [/mm] meine Likelihoodfunktion.
Bestimmen Sie den ML-Schätzer für [mm] \vartheta, [/mm] wenn es nur die eine Beobachtung X=0,6 gibt. |
Hallo Leute,
hab vorhin eine Aufgabe aufgeschnappt und würd gern wissen, wie diese zu lösen ist.
Ich kann hierbei ja schlecht [mm] log\big(L(\vartheta)\big) [/mm] nach [mm] \vartheta [/mm] ableiten, wie ich das normalerweise mach.
Ist hier dann einfach [mm] \vartheta=0,6 [/mm] oder wie geht man ansonsten vor?
Besten Dank schon mal.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Di 13.07.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
du musst natürlich die 0,6 für x einsetzen und dann die funktion nach
[mm]\vartheta[/mm]
ableiten um dasjenige [mm]\vartheta[/mm] zu finden für welches die funktion maximal wird.
Pass auf die Indikatorfunktion auf und prüfe mit zweiter ableitung ob wirklich ein max vorliegt.
gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Di 13.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Hmm.. ich versteh nicht ganz wie das gehn soll.
Was ist denn [mm] ln\big(1_{[0,6,\infty)}(\vartheta)\big)??
[/mm]
Und muss ich die beobachteten Werte nicht erst am Ende einsetzen, also z.B. wenn ich am Ende weiß dass [mm] \vartheta=\bruch{x_1+...+x_n}{n} [/mm] ist, dann kann ich doch erst meine n beobachteten Werte [mm] X_1,...,X_n [/mm] einsetzen oder?
Danke schon mal.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Di 13.07.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
warum willst du die Funktion eigentlich unbedingt logarithmieren? Dies ist doch nur ein Trick um die Likelihoodfunktion in manchen fällen zu vereinfachen, da der ln einer Funktion die selben extremstellen hat wie die funktion selbst. In diesem Fall ist eine logarithmierung nicht nötig.
Bitte lies dir allgemein noch mal das vorgehen bei einer ml schätzung, wenn n (hier ist nätürlich auch n=1 zugelassen) beobachtungen vorliegen durch. ![[]](/images/popup.gif) Link
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:43 Di 13.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Ah okay, gut dann weiß ich das jetzt auch. Ich kannte das bisher eben nur mithilfe der logarithmierten Funktion.
Aber dann weiß ich trotzdem noch nicht sicher, wie die Ableitung aussieht.
Ist dann [mm] \bruch{d}{d\vartheta} L(\vartheta)=\bruch{-1}{\vartheta^2}\cdot{}1_{[0,6,\infty)}(\vartheta)??
[/mm]
Vorausgesetzt das stimmt, wie find ich dann mein Maximum?
Die Abletung 0 setzen führt hier ja irgendwie nicht zum Ziel, zumindest wüsst ich nicht wie ich sinnvoll nach [mm] \vartheta [/mm] auflösen könnte?!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:05 Di 13.07.2010 | | Autor: | vivo |
bitte schreib nochmal die dichte der ZV genau auf und auch alles andere aus der aufgabe ...
danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Di 13.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Ich weiß zwar nicht warum aber gut.
Ich hab eine ZV X, die gleichverteilt auf [mm] [0,\vartheta] [/mm] ist.
Es ist nun der ML-Schätzer für [mm] \vartheta [/mm] gesucht, wobei es nur eine Beobachtung X=0,6 gibt.
Dann komm ich eben auf die oben genannte Likelihoodfunktion, mit der ich allerdings nicht zum Ziel komme.
Was mach ich falsch??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 Di 13.07.2010 | | Autor: | vivo |
fall unterscheidung:
1. Fall: [mm] $0<\vartheta [/mm] < 0,6
Likelihoodfunktion konstant (was bedeutet dies für den ML-Schätzer?)
2. Fall: [mm] $\vartheta \geq [/mm] 0,6$
beachte hier, dass [mm] $\frac{1}{\vartheta}$ [/mm] immer kleiner wird je größer [mm] $\vartheta$ [/mm] wir.
gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Di 13.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
D.h. mein [mm] \vartheta [/mm] ist hier einfach 0,6??
Wobei ich im 1. Fall nicht weiß, was das für den ML-Schätzer beudeutet, heißt das der ML-Schätzer ist gerade gleich der Likelihoodfunktion?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Di 13.07.2010 | | Autor: | vivo |
ja [mm] $\vartheta$ [/mm] ist einfach 0,6
so hab ich das mit dem ersten fall nicht gemeint.
kanns einfach ist es doch so, dass die Dichte immer kleiner wird je größer [mm] $\vartheta$ [/mm] wird, da du jetzt aber 0,6 beobachtet hast, muss [mm] $\vartheta$ [/mm] je mindestens 0,6 sein.
da du [mm] $\vartheta$ [/mm] aufgrund von ml schätzung so belegen willst dass die Dichte maximal wird (wodurch auch die Wahrscheinlichkeit der Beobachtung maximal wird) muss es 0,6 sein, da die Dichte für Werte von [mm] $\vartheta$ [/mm] größer als 0,6 abnimmt.
gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:30 Di 13.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Alles klar, dank dir.
|
|
|
|
