MWS, Richtungsableitungen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Aufgabenstellung:
i)
Es sei g(t) :=(cos t, sin t). Z.z: Es existiert für a=0 und [mm] b=2\pi [/mm] kein [mm] \varepsilon \in [/mm] [a,b] mit g(b) - g(a) = (b-a) [mm] \*g'(\varepsilon). [/mm]
ii)
Die Fkt f [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] sei gegeben durch:
f(x,y) := [mm] \bruch{x^{3}}{x^{2}+y^{2}} [/mm] für (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0)
0 sonst
z.Z.: f besitzt Richtungsableitungen in jeder Richtung. Ist f im Ursprung differenzierbar?
iii)
Die Fkt f [mm] \IR \to \IR^{2} [/mm] sei gegeben durch:
f(x,y) := 1 falls [mm] 0
0 sonst
Berechne für f alle Ableitungen im NP soweit sie existieren.
iv)
Es sei D:= {x,y [mm] \in \IR^{2} [/mm] : 1 < x < 2, 1 < y < 2}
Beweise mit Hilfe des MWS die Abschätzung:
| [mm] x_{1}^{y_{1}} [/mm] - [mm] x_{2}^{y_{2}} [/mm] | [mm] \le [/mm] K [mm] \parallel (x_{1},y_{1}) [/mm] - [mm] (x_{2},y_{2}) \parallel [/mm] für alle [mm] (x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}) \in [/mm] D und die Konstante K := [mm] 4\wurzel[]{1+(log2)^{2}}
[/mm]
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Wäre nett wenn ihr hier mal drüberschauen könntet :)
i)
Ich bekomme das GS
[mm] 2\pi \* (-sin(\varepsilon)) [/mm] = 0
[mm] 2\pi \* cos(\varepsilon) [/mm] = 0
Was im Endeffekt bedeutet, daß man ein Epsilon finden müsste bei dem sowohl Cosinus als auch Sinus = 0 sind.
Da Cos und Sin aber phasenverschoben sind existiert ein solches Epsilon nicht womit die Behauptung bewiesen wäre.
ii)
Sei [mm] \parallel [/mm] a [mm] \parallel [/mm] = 1
dann erhalte ich nach kurzer Rechnung mit der bekannten Formel :
[mm] \bruch{t^{3}a_{1}^{3}}{t^{3}(a_{1}^{2} + a_{2}^{2})}
[/mm]
wo sich das t komplett herauskürzt und ein konstanter Term übrig bleibt. Somit wäre bewiesen, daß die Richtungsableitungen existieren.
Für die Diffbarkeit habe ich einmal nach x und einmal nach y partiell abgeleitet
und habe dabei [mm] \bruch{3x^{4} + 3x^{2}y^{2} -x^{3}2x}{x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}} [/mm] bzw [mm] \bruch{x^{3}2y}{x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}} [/mm] herausbekommen welche offensichtlich beide beschränkt und somit definiert sind. Dementsprechend ist die Fkt im Ursprung Diffbar.
iii)
ta = [mm] (ta_{x}, ta_{y})
[/mm]
Fall 1
f(ta) = 1
[mm] \Rightarrow [/mm] 0 < [mm] ta_{y} [/mm] < [mm] ta_{x}^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{f(0+ta) - f(0)}{t} [/mm] = [mm] \bruch{1}{t}
[/mm]
für t [mm] \to [/mm] 0 geht das gegen [mm] \infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] existiert nicht.
Fall 2
= [mm] \bruch{0}{t} [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] existiert
iv)
Ich habe leider keine Ahnung wie ich das mit dem MWS beweisen kann :(
Kann mir hier evlt jemand mit einem guten Ansatz aushelfen, das wäre nett :)
mfg
Kathie
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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hi hast du bei i) nicht ein gleichheitszeichen vergessen,das ist doch irgendwie keine richtige aussage?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:11 So 17.05.2009 | | Autor: | Gorgonzola |
Du hast recht es muss
g(b) - g(a) = (b-a) * [mm] g´(\varepsilon) [/mm] heißen.
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für iv) kannst du eine Folgerung aus dem MWS verwenden auch bekannt als Schrankensatz
[mm] |f(x_{0}+h) [/mm] - [mm] f(x_{0})| \le sup_{t \in [0,1]} |||f'(x_{0}+th)||| \cdot \parallel [/mm] h [mm] \parallel
[/mm]
bei den übrigen Aufgaben kann ich keinen Fehler entdecken, hab allerdings nur drübergeflogen deswegen hab ich die Frage auf nur halb beantwortet gesetzt=)
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Von dem Schrankensatz hab ich noch nie gehört und Google spuckt mir dazu gerade auch keine brauchbaren Beispiele aus.
Und was ist das mit den ||| xyz ||| Ist das irgendeine norm?
Ich steh leider genauso schlau da wie vorher, sorry :(
Vor allem weiß ich einfach nicht was ich mit K machen soll :/
seufz :(
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:57 So 17.05.2009 | | Autor: | awakening |
Hm wenn weder der Schrankensatz noch Matrixnormen (die Norm mit 3 Strichen soll eine Matrixnorm bezeichnen) vorgekommen sind, wird vllt ein anderer Lösungsweg erwartet, man sollte ja nichts verwenden das noch nicht vorgekommen ist...
in dem Fall solltest du das wieder vergessen ;D
Trotzdem werd ich die Aufgabe nachher mal mit dem Schrankensatz machen und wenn bis dahin kein anderer gepostet hat dazu nochwas posten...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:50 So 17.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo Kathie
> Aufgabenstellung:
>
> i)
> Es sei g(t) :=(cos t, sin t). Z.z: Es existiert für a=0 und
> [mm]b=2\pi[/mm] kein [mm]\varepsilon \in[/mm] [a,b] mit g(b) - g(a) = (b-a)
> [mm]\*g'(\varepsilon).[/mm]
>
> ii)
> Die Fkt f [mm]\IR^{2} \to \IR[/mm] sei gegeben durch:
>
> f(x,y) := [mm]\bruch{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}[/mm] für (x,y) [mm]\not=[/mm]
> (0,0)
> 0 sonst
> z.Z.: f besitzt Richtungsableitungen in jeder Richtung. Ist
> f im Ursprung differenzierbar?
>
> iii)
> Die Fkt f [mm]\IR \to \IR^{2}[/mm] sei gegeben durch:
>
> f(x,y) := 1 falls [mm]0Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> 0 sonst
>
> Berechne für f alle Ableitungen im NP soweit sie
> existieren.
>
> iv)
> Es sei D:= {x,y [mm]\in \IR^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
: 1 < x < 2, 1 < y < 2}
> Beweise mit Hilfe des MWS die Abschätzung:
>
> | [mm]x_{1}^{y_{1}}[/mm] - [mm]x_{2}^{y_{2}}[/mm] | [mm]\le[/mm] K [mm]\parallel (x_{1},y_{1})[/mm]
> - [mm](x_{2},y_{2}) \parallel[/mm] für alle [mm](x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}) \in[/mm]
> D und die Konstante K := [mm]4\wurzel[]{1+(log2)^{2}}[/mm]
>
> Wäre nett wenn ihr hier mal drüberschauen könntet :)
>
> i)
>
> Ich bekomme das GS
>
> [mm]2\pi \* (-sin(\varepsilon))[/mm] = 0
> [mm]2\pi \* cos(\varepsilon)[/mm] = 0
>
> Was im Endeffekt bedeutet, daß man ein Epsilon finden
> müsste bei dem sowohl Cosinus als auch Sinus = 0 sind.
> Da Cos und Sin aber phasenverschoben sind existiert ein
> solches Epsilon nicht womit die Behauptung bewiesen wäre.
richtig.
> ii)
>
> Sei [mm]\parallel[/mm] a [mm]\parallel[/mm] = 1
>
> dann erhalte ich nach kurzer Rechnung mit der bekannten
> Formel :
> [mm]\bruch{t^{3}a_{1}^{3}}{t^{3}(a_{1}^{2} + a_{2}^{2})}[/mm]
woher kommt das [mm] t^3 [/mm] im Nenner?
> wo
> sich das t komplett herauskürzt und ein konstanter Term
> übrig bleibt. Somit wäre bewiesen, daß die
> Richtungsableitungen existieren.
>
> Für die Diffbarkeit habe ich einmal nach x und einmal nach
> y partiell abgeleitet
> und habe dabei [mm]\bruch{3x^{4} + 3x^{2}y^{2} -x^{3}2x}{x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}}[/mm]
> bzw [mm]\bruch{x^{3}2y}{x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}}[/mm]
> herausbekommen welche offensichtlich beide beschränkt und
> somit definiert sind. Dementsprechend ist die Fkt im
> Ursprung Diffbar.
Wie zeigst du das "offensichtlich" beschraenkt?
> iii)
>
> ta = [mm](ta_{x}, ta_{y})[/mm]
>
> Fall 1
>
> f(ta) = 1
> [mm]\Rightarrow[/mm] 0 < [mm]ta_{y}[/mm] < [mm]ta_{x}^2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{f(0+ta) - f(0)}{t}[/mm] = [mm]\bruch{1}{t}[/mm]
>
> für t [mm]\to[/mm] 0 geht das gegen [mm]\infty[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] existiert nicht.
>
> Fall 2
>
> = [mm]\bruch{0}{t}[/mm] = 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] existiert
Ich sehe nicht, dass du hier partielle Ableitungen gebildet hast.
Die Frage war doch, ob die beide oder eine existieren.
>
>
> iv)
> Ich habe leider keine Ahnung wie ich das mit dem MWS
> beweisen kann :(
> Kann mir hier evlt jemand mit einem guten Ansatz
> aushelfen, das wäre nett :)
Schreib erstmal den MWS hin. und wend ihn auf die fkt [mm] f(x,y)=x^y [/mm] an.
Gruss leduart
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