MacLaurin-Reihe eines Integral < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 So 29.11.2009 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | | Die Funktion [mm] Li_{2}:=-\integral_{0}^{x}{ \bruch{dy}{y}*ln(1-y)} [/mm] mit 0<x<1 kann nicht explizit berechnet werden. Bestimmen Sie ihre MacLaurin-Reihe. |
So, das erste Glied ist ja einfach 0, da es das Integral von 0 bis 0 ist, aber beim zweiten Glied treten schon Probleme auf, denn die Ableitung nach x ist ja [mm] -\bruch{ln(1-x)}{x}. [/mm] (Gut das man durch 0 teilen kann...)
Und für die weiteren Ableitungen ist es nicht anders. Wie geht das also?
Darf man einfach die Grenzwerte nehmen?
Dann ergibt sich durch Betrachtung der Grenzwerte der Ableitungen an der Stelle x=0:
n; limes
1; 1
2; 1/2
3; 2/3
4; 3/2
5; 24/5
6; 20
7; 720/7
Also für den Grenzwert der n-ten Ableitung (n-1)!/n.
Ist die Reihe dann also
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{x^{i}}{i^{2}} [/mm] ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo valoo,
> Die Funktion [mm]Li_{2}:=-\integral_{0}^{x}{ \bruch{dy}{y}*ln(1-y)}[/mm]
> mit 0<x<1 kann nicht explizit berechnet werden. Bestimmen
> Sie ihre MacLaurin-Reihe.
> So, das erste Glied ist ja einfach 0, da es das Integral
> von 0 bis 0 ist, aber beim zweiten Glied treten schon
> Probleme auf, denn die Ableitung nach x ist ja
> [mm]-\bruch{ln(1-x)}{x}.[/mm] (Gut das man durch 0 teilen kann...)
> Und für die weiteren Ableitungen ist es nicht anders. Wie
> geht das also?
Nun die eine Methode ist hier die Reihe
[mm]\ln\left(1-y\right)=-\summe_{k=1}^{\infty}{\bruch{y^{k}}{k}}[/mm]
zu verwenden.
Die andere Methode ist hier die Grenzwerte für [mm]y\to 0[/mm]
mit Hilfe von L'Hospital zu ermitteln.
>
> Darf man einfach die Grenzwerte nehmen?
Sofern diese existieren, ja.
> Dann ergibt sich durch Betrachtung der Grenzwerte der
> Ableitungen an der Stelle x=0:
> n; limes
> 1; 1
> 2; 1/2
> 3; 2/3
> 4; 3/2
> 5; 24/5
> 6; 20
> 7; 720/7
>
> Also für den Grenzwert der n-ten Ableitung (n-1)!/n.
>
> Ist die Reihe dann also
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{x^{i}}{i^{2}}[/mm] ?
Die Reihe stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Mit der ersteren Methode kommt das auch heraus.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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