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| Aufgabe | Druecken Sie f(z)=ln(1+z) als MacLaurin Reihe aus und benutzen Sie es um das folgende Integral auf 6 Stellen genau zu loesen
[mm] \integral_{0}^{0.1}{ln(1+x^{2}) dx}
[/mm]
(ohne Taschenrechner versteht sich) |
Hallo allerseits!
Diese Frage bereitet mir einiges Kopfzerbrechen. Die (erwartete und richtige) Loesung ist mir klar:
[mm] f(z)=ln(1+z)\approx x-\bruch{x^{2}}{2}+\bruch{x^{3}}{3}-\bruch{x^{4}}{4}+...
[/mm]
hier ist [mm] z=x^{2} [/mm] also
[mm] g(x)=ln(1+x^{2})\approx x^{2}-\bruch{x^{4}}{2}+\bruch{x^{6}}{3}-\bruch{x^{8}}{4}+...
[/mm]
dann wird das fuers Integrieren verwendet und der Rest ist Bruchrechnung im Kopfe ^^.
ABER!!!!:
Warum funktioniert das? z ist doch KEINE SCHEINVARIABLE! Der Schritt in dem wir [mm] z=x^{2} [/mm] einsetzen heisst doch im Grunde, dass wir nun sagen, dass wir eine Funktion einer Funktion f(z(x)) haben. Wenn wir nun die MacLaurin Reihe finden wollen muessen wir die KETTENREGEL beim Differenzieren verwenden. Ich hab das einmal durchgerechnet und bekomme als erste Terme - ich nenne z=g(x):
Taylor/MacLaurin:
[mm] f(z(x))=f(g(x))=f(z=0)+z*f'(0)g'(0)+\bruch{z^{2}}{2}*f''(0)*(g'(0))^{2}+f'(0)*g''(0))+...
[/mm]
es scheint mir alles andere als trivial und offensichtlich, dass dies hier das gleiche ist wie
f(z)=f(z=0)+z*f'(z=0)+f''(z=0)+...
------
Ich habe das mit anderen Funktionen wie sin(x) - [mm] sin(x^2) [/mm] und sin(x) und sin(2x) getestet und es funktioniert auch da.
Ein aehnlicher aber dennoch grundverschiedener Trick ist dieser:
Man kennt zB [mm] sin(x)=1-\bruch{x^{3}}{3!}+...
[/mm]
und um das Integral
[mm] \integral_{0}^{0.1}{sin^{2}(x) dx}
[/mm]
numerisch auszuwerten quadriert man die Taylorreihe fuer sin(x) und integriert die mit der gewuenschten Genauigkeit. Aber dieser Trick ist verschieden, denn hier ist es die INNERE Funktion die gleich bleibt.
Es waere sehr nett, wenn mir hier jemand bei meiner geistigen Blockade helfen koennte...
Vielen Dank dafuer schon einmal im Voraus!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:05 Mo 03.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Warum funktioniert das? z ist doch KEINE SCHEINVARIABLE!
> Der Schritt in dem wir [mm]z=x^{2}[/mm] einsetzen heisst doch im
> Grunde, dass wir nun sagen, dass wir eine Funktion einer
> Funktion f(z(x)) haben. Wenn wir nun die MacLaurin Reihe
> finden wollen muessen wir die KETTENREGEL beim
> Differenzieren verwenden. Ich hab das einmal durchgerechnet
> und bekomme als erste Terme - ich nenne z=g(x):
>
> Taylor/MacLaurin:
>
> [mm]f(z(x))=f(g(x))=f(z=0)+z*f'(0)g'(0)+\bruch{z^{2}}{2}*f''(0)*(g'(0))^{2}+f'(0)*g''(0))+...[/mm]
Nicht ganz: du hast rechts x als Entwicklungsvariable, also
[mm]f(z(x))=f(g(x))=f(z=0)+x*f'(0)g'(0)+\bruch{x^{2}}{2}*f''(0)*(g'(0))^{2}+f'(0)*g''(0))+\dots[/mm]
> es scheint mir alles andere als trivial und offensichtlich,
> dass dies hier das gleiche ist wie
>
> f(z)=f(z=0)+z*f'(z=0)+f''(z=0)+...
Vermutlich kann man das sogar gliedweise nachweisen.
Ich kann dir folgende Überlegung anbieten:
1. In einer gewissen Umgebung von z=0 stellt die McLaurin-Reihe von f(z) die Funktion f dar, das heisst, die Reihe konvergiert für z in dieser Umgebung und der Grenzwert ist gleich dem Funktionswert f(z).
2. Wenn du f(g(x)) in eine Reihe entwickeln kannst, du stellt diese f(g(x)) in einer gewissen Umgebung von x=0 dar, das heisst wieder, die Reihe konvergiert für solche x und der Grenzwert ist gleich dem Funktionswert f(g(x)).
3. Ich nehme mir irgendein solches x, sodass die Reihe von f(g(x)) konvergiert. Dazu gehört ein z=g(x). Weil beide Reihen entsprechenden Funktionen darstellen, ist ergibt z, in die MacLaurin-Reihe von f(z) eingesetzt, den Wert f(z=g(x)). Das gilt für alle x, die im Konvergenzbereich der Reihe liegen, also darf ich g(x) einfach in die Reihenentwicklung einsetzen.
Viele Grüße
Rainer
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