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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Mengen [mm] \IN [/mm] und [mm] \IN \times \IN [/mm] = { (x,y) : x,y [mm] \in \IN} [/mm] gleichmächtig sind. Hinweis: Deuten Sie die Paare (x,y) [mm] \in \IN \times \IN [/mm] als Punkte in der x-y-Ebene und versuchen Sie diese, mit (1,1) beginnend, "abzuzählen". |
[mm] \IN \times \IN [/mm] = {(1,1), (1,2), (1,3), ..., (1,n), (2,1), (2,2), (2,3), ...}
[mm] |\IN \times \IN| [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Die Menge aller Paare (x,y) [mm] \in \IN \times \IN [/mm] ist abzählbar unendlich.
[mm] \IN [/mm] = {1,2,3,...}
[mm] |\IN| [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Die Menge aller natürlichen Zahlen ist ebenfalls abzählbar unendlich.
Damit ist die Mächtigkeit beider Mengen gleich.
Ist das ausreichend?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:02 Fr 09.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie, dass die Mengen [mm]\IN[/mm] und [mm]\IN \times \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {
> (x,y) : x,y [mm]\in \IN}[/mm] gleichmächtig sind. Hinweis: Deuten
> Sie die Paare (x,y) [mm]\in \IN \times \IN[/mm] als Punkte in der
> x-y-Ebene und versuchen Sie diese, mit (1,1) beginnend,
> "abzuzählen".
> [mm]\IN \times \IN[/mm] = {(1,1), (1,2), (1,3), ..., (1,n), (2,1),
> (2,2), (2,3), ...}
> [mm]|\IN \times \IN|[/mm] = [mm]\infty[/mm]
> Die Menge aller Paare (x,y) [mm]\in \IN \times \IN[/mm] ist
> abzählbar unendlich.
das ist unklar, wie Du abzählst - was ist dieses [mm] $n\,$ [/mm] dabei?
Es geht aber relativ geschickt, ich deute es mal an:
[mm] $$\pmat{\red{(1,1)} & \blue{(1,2)} & \green{(1,3)} & \red{(1,4)} & ... & ... \\
\blue{(2,1)} & \green{(2,2)} & \red{(2,3)} & ... & ... & ... \\
\green{(3,1)} & \red{(3,2)} & ... & ... & ... & ... \\
\red{(4,1)} & ... & ... & ... & ... & ... \\
... & ... & ... & ... & ... & ... \\
}$$
[/mm]
Die "gefärbten Diagonalen" zählt man halt von oben nach unten:
1. Paar: [mm] $(1,1)\;$ [/mm] (erste Diagonale)
2. Paar: [mm] $(1,2)\;$ [/mm] (zweite Diagonale, erstes (=oberstes) Element)
3. Paar: [mm] $(2,1)\;$ [/mm] (zweite Diagonale, zweites Element)
4. Paar: [mm] $(1,3)\;$ [/mm] (dritte Diagonale, erstes Element)
5. Paar: [mm] $(2,2)\;$ [/mm] (dritte Diagonale, zweites Element)
6. Paar: [mm] $(3,1)\;$ [/mm] (dritte Diagonale, drittes Element)
7. Paar: [mm] $(1,4)\;$ [/mm] (vierte Diagonale, erstes Element)
.
.
.
> [mm]\IN[/mm] = {1,2,3,...}
> [mm]|\IN|[/mm] = [mm]\infty[/mm]
> Die Menge aller natürlichen Zahlen ist ebenfalls
> abzählbar unendlich.
Was machst Du hier eigentlich? Ist Dir klar, was abzählbar unendlich
eigentlich bedeutet? Denn dass [mm] $\IN$ [/mm] abzählbar unendlich ist, hat
damit zu tun, dass etwa [mm] $id_{\IN}:\IN \to \IN,\;\;\IN \ni [/mm] n [mm] \mapsto id_{\IN}(n):=n \in \IN$ [/mm] bijektiv ist
- wenn man denn glaubt, das beweisen zu müssen!
> Damit ist die Mächtigkeit beider Mengen gleich.
>
> Ist das ausreichend?
Nein. Aber ich hab' Dir ein Schema vorgeführt, was zur Aufgabenstellung
passt. Und wenn Du nun "diese Matrix um 90 Grad nach links drehst",
dann passt das auch zu dem Hinweis in der Aufgabe, wenn man in der
Matrix einen Eintrag [mm] $(x,y)\,$ [/mm] mit dem entsprechenden Punkt der
[mm] $x-y\,$-Ebene [/mm] identifiziert (aber erst NACH der Drehung der Matrix)!
Gruß,
Marcel
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