Mächtigkeit von Mengen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:39 So 17.01.2010 | | Autor: | notinX |
Um die Gleichmächtigkeit von 2 Mengen zu zeigen, kann man ja eine bijektive Abbildung zw. beiden Mengen finden.
Nehmen wir beispielsweise die Intervalle [mm] $I_1=(-4,12]$ [/mm] und [mm] $I_2=[5,8]$, [/mm] wobei [mm] $I_1,I_2\in\mathbb{R}$
[/mm]
jetzt steh ich hier wie der Ochs vorm Berg. Gibts es da irgendwelche Tricks wie man sich so eine Abb. bastelt?
Zweite Frage: spielt es eine Rolle ob die Intervalle offen, halboffen oder abgeschlossen sind?
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> Um die Gleichmächtigkeit von 2 Mengen zu zeigen, kann man
> ja eine bijektive Abbildung zw. beiden Mengen finden.
> Nehmen wir beispielsweise die Intervalle [mm]I_1=(-4,12][/mm] und
> [mm]I_2=[5,8][/mm], wobei [mm]I_1,I_2\in\mathbb{R}[/mm]
> jetzt steh ich hier wie der Ochs vorm Berg. Gibts es da
> irgendwelche Tricks wie man sich so eine Abb. bastelt?
Hallo,
bestimmt - aber der direkte Weg fällt mir nicht ein.
(Irgendwie hat man eine Folge dafür gebraucht... Die hat einem Teilintervalle gemacht... Etwas mager ... )
> Zweite Frage: spielt es eine Rolle ob die Intervalle
> offen, halboffen oder abgeschlossen sind?
Nein.
Ihr habt vielleicht in der Vorlesung gezeigt, daß die Intervalle von 0 bis 1 gleichmächtig zu [mm] \IR [/mm] sind, offen, halboffen oder abgeschlossen spielt keine Rolle.
Also sind sie gleichmächtig untereinander, es gibt also jeweils eine Bijektion auf [mm] \IR.
[/mm]
Und da eine Bijektion von (-4, 12] auf (0,1] und eine von [0,1] auf [5,8] einem nach endlich langem Denken einfällt, hat man's dann ja - unter Verwendung des obigen Resultates.
Gruß v. Angela
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Hallo,
es ist natürlich sehr leicht ein halboffenes Intervall bijektiv auf ein anderen halboffenes Intervalle abzubilden,
ebenso ein offenes auf ein offenes und ein abgeschlossenes auf ein abgeschlossenes: bau eine passende Gerade.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:04 Do 21.01.2010 | | Autor: | notinX |
für verschiedenartige Intervalle gilt das doch auch.
Die Gerade [mm] $f(x)=-\frac{3}{16}x+\frac{29}{4}$ [/mm] sollte die beiden Intervalle bijektiv aufeinander abbilden, denn:
$f(-4)=8$ und $f(12)=5$
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> Die Gerade [mm]f(x)=-\frac{3}{16}x+\frac{29}{4}[/mm] sollte die
> beiden Intervalle bijektiv aufeinander abbilden, denn:
> [mm]f(-4)=8[/mm] und [mm]f(12)=5[/mm]
Hallo,
sofern sie nun gleichartig sind, was in Deinem Beispiel nicht der Fall war, dort hattest Du ein halboffenes und ein abgeschlossenes Intervall.
Bei denen ist dies hier keine Bijektion, denn f(-4) kann man dort nicht bilden, weil ja -4 nicht im Definitionsbereich ist.
Das nur zur Sicherheit - wahrscheinlich meintest Du zwei gleichartige Intervalle.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:44 Do 21.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Um die Gleichmächtigkeit von 2 Mengen zu zeigen, kann man
> ja eine bijektive Abbildung zw. beiden Mengen finden.
> Nehmen wir beispielsweise die Intervalle [mm]I_1=(-4,12][/mm] und
> [mm]I_2=[5,8][/mm], wobei [mm]I_1,I_2\in\mathbb{R}[/mm]
> jetzt steh ich hier wie der Ochs vorm Berg. Gibts es da
> irgendwelche Tricks wie man sich so eine Abb. bastelt?
> Zweite Frage: spielt es eine Rolle ob die Intervalle
> offen, halboffen oder abgeschlossen sind?
Hallo,
machen wir es an einem einfachen Beispiel:
Wie lässt sich eine Bijektion zwischen den Intervallen [0;1) und [0;1] herstellen?
Eigentlich kann man ja eine identische Abbildung wählen - nur die Zahl 1 bleibt allein und ohne Bijektionspartner.
Da hilft ein kleiner Trick:
Wir nehmen aus dem ersten Intervall alle Zahlen der Form 1/n (also 1/2, 1/3, ...) heraus.
Aus dem zweiten Intervall nehmen wir (1/1, 1/2, 1/3, ...) heraus. Die jetzt noch übrig bleibenden Zahlen beider Intervalle bilden wir identisch aufeinander ab.
Zwischen den "herausgenommenen" Elementen beider Intervalle können wir ebenfalls eine Bijektion herstellen:
1/2 [mm] \gdw [/mm] 1/1, 1/3 [mm] \gdw [/mm] 1/2, 1/4 [mm] \gdw [/mm] 1/3, 1/5 [mm] \gdw [/mm] 1/4,...
Somoit bekommt JEDES Element von [0;1) genau ein Element von [0;1] zugewiesen und umgekehrt.
Gruß Abakus
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