Magische 3x3-Quadrate < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Di 18.05.2010 | | Autor: | matze2 |
| Aufgabe | | Die magischen 3x3-Quadrate bilden einen Vekotorraum der Dimension drei. Zeigen Sie damit, dass [mm]\begin{pmatrix}
2 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 0
\end{pmatrix}[/mm] , [mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 \\
2 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 1
\end{pmatrix}[/mm], [mm]\begin{pmatrix}
0 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 2
\end{pmatrix}[/mm] eine Basis dieses Vekotorraumes ist. |
Also man kann ja leicht zeigen, dass [mm]s \cdot \begin{pmatrix}
2 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 0
\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 \\
2 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 1
\end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix}
0 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 2
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}[/mm] nur die Lösung [mm]s = 0; t = 0; u = 0[/mm] hat, also die drei Matrizen linear unabhängig sind. (Spricht man denn bei Matrizen überhaupt von linearer Unabhänigkeit?) Aber wie zeigt man jetzt, dass man mit den drei Matrizen auch jedes magische 3x3 Quadrat erzeugen kann?
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> Die magischen 3x3-Quadrate bilden einen Vekotorraum der
> Dimension drei. Zeigen Sie damit, dass [mm]\begin{pmatrix}
2 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 0
\end{pmatrix}[/mm] ,
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 \\
2 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 1
\end{pmatrix}[/mm],
> [mm]\begin{pmatrix}
0 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 2
\end{pmatrix}[/mm] eine
> Basis dieses Vekotorraumes ist.
> Also man kann ja leicht zeigen, dass [mm]s \cdot \begin{pmatrix}
2 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 0
\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 \\
2 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 1
\end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix}
0 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 2
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
> nur die Lösung [mm]s = 0; t = 0; u = 0[/mm] hat, also die drei
> Matrizen linear unabhängig sind. (Spricht man denn bei
> Matrizen überhaupt von linearer Unabhänigkeit?) Aber wie
> zeigt man jetzt, dass man mit den drei Matrizen auch jedes
> magische 3x3 Quadrat erzeugen kann?
Hallo matze2,
mit der Anweisung "Zeigen Sie damit, dass ...." ist wohl
gemeint, dass man die Egenschaft, dass die magischen Quadrate
einen VR der Dimension 3 bilden, benützen darf, ohne diese
Eigenschaft zu beweisen.
Falls ich dies wirklich richtig interpretiert habe, genügt es zu zeigen,
dass die 3 Basismatrizen tatsächlich einen VR mit Dimension 3
über [mm] \IR [/mm] aufspannen (das hast du ja offenbar schon gemacht)
und dass alle Elemente dieses VR magische Quadrate ergeben.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Di 18.05.2010 | | Autor: | matze2 |
Es ist auch leicht zu zeigen, dass alle Linearkombinationen der drei Matrizen wieder magisch sind, aber woher weis ich denn, dass es sich um ein Erzeugendensystem handelt? Die Angabe, dass die Dimension 3 ist, besagt doch lediglich, dass eine gültige Basis 3 Elemente hat. Aber das heißt doch nicht im Allgemeinen im Umkehrschluß auch, dass alle 3 möglichen Matrizen, die linear unabhängig sind und mit allen Linearkombinationen magische Matrizen liefern eine gültige Basis darstellen, oder etwa doch? Fehlt da nicht noch ein logischer Zwischenschritt?
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> Es ist auch leicht zu zeigen, dass alle Linearkombinationen
> der drei Matrizen wieder magisch sind, aber woher weis ich
> denn, dass es sich um ein Erzeugendensystem handelt? Die
> Angabe, dass die Dimension 3 ist, besagt doch lediglich,
> dass eine gültige Basis 3 Elemente hat. Aber das heißt
> doch nicht im Allgemeinen im Umkehrschluß auch, dass alle
> 3 möglichen Matrizen, die linear unabhängig sind und mit
> allen Linearkombinationen magische Matrizen liefern eine
> gültige Basis darstellen, oder etwa doch? Fehlt da nicht
> noch ein logischer Zwischenschritt?
Gute Rückfrage !
Ich habe mir diese Frage auch gestellt. Nun ist es aber so:
falls 3 Elemente (Vektoren) eines 3D-Vektorraums V linear
unabhängig sind, so spannen sie einen 3D-Unter-Vektorraum U
von V auf. Ein Unterraum U eines Vektorraums V (beide
über demselben Grundkörper), dessen Dimension mit der von V
übereinstimmt, muss aber mit diesem übereinstimmen:
$\ [mm] \left(\ U_{\IR}\ \ Unterraum\ von\ V_{\IR}\quad \wedge\quad dim(U)\ =\ dim(V)\ \right)\quad \Rightarrow \quad [/mm] U\ =\ V$
Schönen Abend noch !
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:52 Di 18.05.2010 | | Autor: | matze2 |
Danke :=]
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