Majoranten-Minoranten Test < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:26 Mi 31.10.2012 | | Autor: | zitrone |
Hallo!
Wie schon der Titel sagt, hab ich Probleme mit dem Majoranten-Minoranten Test...
Ich weiß vorab, dass der M.-M. Test dann zutage kommt, wenn beim Quotienten Test gleich 1 rauskommt.
Das ist mir bei folgender Reihe passiert:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2k}{3k+1}
[/mm]
[mm] b_{k} [/mm] = [mm] \bruch{2k}{3k+1}
[/mm]
Und nun hab ich verstanden, dass ich ein [mm] a_{k} [/mm] brauche, das kleiner ist als mein [mm] b_{k}.
[/mm]
Also dachte ich daran:
[mm] a_{k} [/mm] = [mm] \bruch{k}{3k+1}
[/mm]
Daraufhin hab ich den Grenzwert gesucht, um bestimmen zu können, ob die Reihe konvergent oder divergent ist:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{k}{3k+1}
[/mm]
Dann kam ich auf 1/3 ..
Da 1/3 kleiner als 1 ist, dachte ich, dass es eine konvergente ist.
In den Lösungen heißt es aber, dass es eine divergente Minorante ist..
Kann mir bitte jemand helfen und meine Fehler deutlich machen?
LG zitrone
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 Mi 31.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
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> Wie schon der Titel sagt, hab ich Probleme mit dem
> Majoranen-Minoranten Test...
>
> Ich weiß vorab, dass der M.-M. Test dann zutage kommt,
> wenn beim Quotienten Test gleich 1 rauskommt.
> Das ist mir bei folgender Reihe passiert:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2k}{3k+1}[/mm]
>
> [mm]b_{k}[/mm] = [mm]\bruch{2k}{3k+1}[/mm]
>
> Und nun hab ich verstanden, dass ich ein [mm]a_{k}[/mm] brauche, das
> kleiner ist als mein [mm]b_{k}.[/mm]
> Also dachte ich daran:
> [mm]a_{k}[/mm] = [mm]\bruch{k}{3k+1}[/mm]
>
> Daraufhin hab ich den Grenzwert gesucht, um bestimmen zu
> können, ob die Reihe konvergent oder divergent ist:
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{k}{3k+1}[/mm]
>
> Dann kam ich auf 1/3 ..
> Da 1/3 kleiner als 1 ist, dachte ich, dass es eine
> konvergente ist.
Wie kommst Du denn darauf ???
Die Folge [mm] (b_k) [/mm] ist keine Nullfolge, also ist [mm] \sum b_k [/mm] divergent.
FRED
> In den Lösungen heißt es aber, dass es eine divergente
> Minorante ist..
>
> Kann mir bitte jemand helfen und meine Fehler deutlich
> machen?
>
> LG zitrone
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Mi 31.10.2012 | | Autor: | zitrone |
Hallo Fred!
Danke für die Hilfe!
Nur zu folgendem hab ich noch paar Fragen:
> > Dann kam ich auf 1/3 ..
> > Da 1/3 kleiner als 1 ist, dachte ich, dass es eine
> > konvergente ist.
>
> Wie kommst Du denn darauf ???
Ich hab das k rausgekürzt und da k gegen unendlich geht kam ich auf 1/3..
Also hätt ich keinen kleineren Wert als die Reihe nehmen müssen? Hm so steht das aber in meinen Unterlagen..:/
> Die Folge [mm](b_k)[/mm] ist keine Nullfolge, also ist [mm]\sum b_k[/mm]
> divergent.
>
> FRED
Also muss man beim Majoranen-Minoranten nur darauf achten, ob es eine Nullfolge hat oder keine?
LG zitrone
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 Mi 31.10.2012 | | Autor: | chrisno |
Ganz unmathematisch formuliert:
Du hast eine Folge und summierst über diese. Wenn die Folge keine Nullfolge ist, addierst Du immer weiter etwas dazu, also kann die Reihe keinen Grenzwert haben.
Konkreter: mit zunehmendem n nähern sich die [mm] $b_n$ [/mm] immer mehr 2/3 an. Du addierst immer wieder 2/3 und das ohne Ende. Das kann doch nie konvergieren und nun kannst Du überlegen, dass Du nachweist, dass die Summe über jeden vorgegebenen Wert wächst und daher nicht konvergent ist.
Mit dem Minoranten-Kriterium musst Du nun also eine divergente Reihe angeben, mit [mm] $a_n [/mm] < [mm] b_n$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Mi 31.10.2012 | | Autor: | zitrone |
> Ganz unmathematisch formuliert:
> Du hast eine Folge und summierst über diese. Wenn die
> Folge keine Nullfolge ist, addierst Du immer weiter etwas
> dazu, also kann die Reihe keinen Grenzwert haben.
> Konkreter: mit zunehmendem n nähern sich die [mm]b_n[/mm] immer
> mehr 2/3 an. Du addierst immer wieder 2/3 und das ohne
> Ende. Das kann doch nie konvergieren und nun kannst Du
> überlegen, dass Du nachweist, dass die Summe über jeden
> vorgegebenen Wert wächst und daher nicht konvergent ist.
>
> Mit dem Minoranten-Kriterium musst Du nun also eine
> divergente Reihe angeben, mit [mm]a_n < b_n[/mm].
Also muss ich eine Reihe finden, die größer als ak ist und damit würd ich dann beweisen, dass die Reihe ak divergent ist?
Also damit?:
[mm] \summe_{k=1}^\infty\bruch{2k^2}{3k+1}
[/mm]
=> lim k [mm] -->\infty \summe_{k=1}^\infty\bruch{k^2(2)}{k^2(3/k+1/k^2)}
[/mm]
Bin etwas begriffsstutzig...Ich verstehe dieses Kriterium einfach nicht..
LG zitrone
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 Mi 31.10.2012 | | Autor: | chrisno |
Du musst eine Reihe nehmen, von der Du weißt, dass sie divergent ist. Entweder kennst Du eine, oder Du musst für diese Reihe die Divergenz beweisen. Die Folgeglieder dieser Reihe heißen [mm] $a_n$. [/mm] Nun musst Du die Reihe so ausgewählt haben, dass ab einem [mm] $n_0$ [/mm] alle [mm] $a_n$ [/mm] kleiner sind, als die gegebenen [mm] $b_n$.
[/mm]
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> Also muss ich eine Reihe finden, die größer als ak ist
> und damit würd ich dann beweisen, dass die Reihe ak
> divergent ist?
Ich hatte die Bezeichung [mm] $b_k$ [/mm] für die gegebenen Folgeglieder beibehalten. Wieso vertauschst Du das nun? So macht das keinen Sinn.
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