Majorantenkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man zeige mittels Minranten bzw. Majoranten, dass die Reihe $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{1+x^{2n}} [/mm] $ für [mm] \left| x \right| \ge [/mm] 1 divergiert, für [mm] \left| x \right| [/mm] > 1 hingegen konvergiert. |
Hallo!
Würde die Reihe kein x beinhalten, wüsste ich eine Lösung, aber so? Wie kann ich da das Majorantenkriterium anwenden?
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Hallo,
wenn $|x|>1$ ist, so ist auch [mm] $x^2>1$ [/mm]
Also kannst du [mm] $\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{1+x^{2n}}$ [/mm] abschätzen durch
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{1+x^{2n}}<\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{x^{2n}}=\summe_{n=1}^{\infty} \left(\bruch{1}{x^2}\right)^n$
[/mm]
Da [mm] $x^2>1\Rightarrow \frac{1}{x^2}<1$ [/mm] Du kannst hier also gegen eine konvergente geometrische Reihe abschätzen
Im Falle [mm] $|x|\le1$, [/mm] ist auch [mm] $x^2\le1$ [/mm] und damit [mm] $(x^2)^n=x^{2n}\le [/mm] 1$ und du kannst wie folgt abschätzen:
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{1+x^{2n}}>\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{1+2}=\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{3}=\frac{1}{3}\cdot{}\summe_{n=1}^{\infty}1$ [/mm] und das Biest divergiert
Ich denke, das könnte so gemeint sein
Gruß
schachuzipus
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