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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:30 Do 24.05.2012 | | Autor: | Hejo |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie die Konvergenz der Reihe [mm] \sum_{k=44}^\infty \frac{1}{{\sqrt{k*(1+k^2)}}} [/mm] |
Hallo,
wie kann man solchen Aufgaben passende Majoranten/Minoranten finden?
Ich habe zwar gefunden, dass [mm] \frac{1}{k^\frac{2}{3}}>\frac{1}{{\sqrt{k*(1+k^2)}}}, [/mm] aber wie krieg ich raus, dass die Reihe mit den Folgegliedern [mm] \frac{1}{k^\frac{2}{3}} [/mm] konvergiert?
Ein kleiner Tipp bringt mich auf jendenfall weiter...
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Hallo Hejo,
> Untersuchen Sie die Konvergenz der Reihe
> [mm] \sum_{k=44}^\infty \frac{1}{{\sqrt{k*(1+k^2)}}}[/mm]
> Hallo,
>
> wie kann man solchen Aufgaben passende
> Majoranten/Minoranten finden?
> Ich habe zwar gefunden, dass
> [mm]\frac{1}{k^\frac{2}{3}}>\frac{1}{{\sqrt{k*(1+k^2)}}},[/mm]
Das ist doch schonmal gut.
> aber
> wie krieg ich raus, dass die Reihe mit den Folgegliedern
> [mm]\frac{1}{k^\frac{2}{3}}[/mm] konvergiert?
>
> Ein kleiner Tipp bringt mich auf jendenfall weiter...
Es ist gut zu wissen, dass [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^s} [/mm] für s>1 konvergent ist, für [mm] 0
Hier empfiehlt sich ein Vergleich mit s=1. Es gilt
[mm] \bruch{1}{k^{\bruch{2}{3}}}>\bruch{1}{k}, [/mm] uns damit hast Du dann auch gleich eine divergente Minorante gefunden. Majoranten werden Dir hier eben auch nicht weiterhelfen.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:12 Do 24.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Hejo,
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> > Untersuchen Sie die Konvergenz der Reihe
> > [mm] \sum_{k=44}^\infty \frac{1}{{\sqrt{k*(1+k^2)}}}[/mm]
> >
> Hallo,
> >
> > wie kann man solchen Aufgaben passende
> > Majoranten/Minoranten finden?
> > Ich habe zwar gefunden, dass
> > [mm]\frac{1}{k^\frac{2}{3}}>\frac{1}{{\sqrt{k*(1+k^2)}}},[/mm]
>
> Das ist doch schonmal gut.
>
> > aber
> > wie krieg ich raus, dass die Reihe mit den Folgegliedern
> > [mm]\frac{1}{k^\frac{2}{3}}[/mm] konvergiert?
> >
> > Ein kleiner Tipp bringt mich auf jendenfall weiter...
>
> Es ist gut zu wissen, dass
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^s}[/mm] für s>1 konvergent
> ist, für [mm]0
>
> Hier empfiehlt sich ein Vergleich mit s=1. Es gilt
>
> [mm]\bruch{1}{k^{\bruch{2}{3}}}>\bruch{1}{k},[/mm] uns damit hast Du
> dann auch gleich eine divergente Minorante gefunden.
> Majoranten werden Dir hier eben auch nicht weiterhelfen.
Hallo rev,
die Reihe $ [mm] \sum_{k=44}^\infty \frac{1}{{\sqrt{k\cdot{}(1+k^2)}}} [/mm] $
ist konvergent !
Gruß FRED
>
> Grüße
> reverend
>
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:11 Do 24.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie die Konvergenz der Reihe
> [mm] \sum_{k=44}^\infty \frac{1}{{\sqrt{k*(1+k^2)}}}[/mm]
> Hallo,
>
> wie kann man solchen Aufgaben passende
> Majoranten/Minoranten finden?
> Ich habe zwar gefunden, dass
> [mm]\frac{1}{k^\frac{2}{3}}>\frac{1}{{\sqrt{k*(1+k^2)}}},[/mm]
Reverend fand das schon mal gut. Ich weniger, denn es bringt nichts.
> aber
> wie krieg ich raus, dass die Reihe mit den Folgegliedern
> [mm]\frac{1}{k^\frac{2}{3}}[/mm] konvergiert?
Gar nicht, denn diese Reihe divergiert.
Aber ....
es ist
[mm] \frac{1}{{\sqrt{k\cdot{}(1+k^2)}}} \le \bruch{1}{k^{3/2}} [/mm] und
[mm] \sum \bruch{1}{k^{3/2}} [/mm] ist konvergent.
FRED
>
> Ein kleiner Tipp bringt mich auf jendenfall weiter...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Do 24.05.2012 | | Autor: | Hejo |
Danke für die antworten:)
Hatte da wohl nen kleinen zahlendreher drin...
Aber jetzt hab ich's verstanden.
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