Majorantenkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie auf Konvergenz mit Hilfe des Majorantenkriteriums:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}=\bruch{n^{2}+n+5}{3n^{4}-4n+3} [/mm] |
Hallo,
ich weiß nicht so recht, wie das mit dem Majorantenkriterium gemeint ist.
Mein Beispiel divergiert doch, wenn ich schreibe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}=\bruch{n^{2}+n+5}{3n^{4}-4n+3} \ge \bruch{n^{2}}{n^{4}}
[/mm]
Das wäre aber das Minorantenkriterium!? Dann funktioniert das doch nicht mit dem Majorantenkriterium!?
Gruß, Andi
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Hallo,
es liegt im Wesen einer Majorante begründet, dass sie größer (oder gleich) des Reihenglieds ist. Also musst du nach oben geeignet abschätzen.
Meiner (nach wie vor etwas vom Fieber erschwerten) Rechnung nach ist bspw. ab N=3
[mm] \bruch{2}{3n^2}
[/mm]
eine konvergente Majorante, was ich in zwei Zwischenschritten gezeigt habe, wobei ich
- einmal den Zähler vergrößert
- dann den Nenner verkleinert habe.
Gruß, Diophant
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Was genau heißt, nach oben geeignet abzuschätzen?
Kann ich das auch wie folgt machen:
[mm] a_{n}=\bruch{n^{2}+n+5}{3n^{4}-4n+3}
[/mm]
[mm] b_{n}=\bruch{(n-1)^{2}+(n-1)+5}{3(n-1)^{4}-4(n-1)+3}
[/mm]
Ich habe nun n=0,1,2,3,4,5 gesetzt und ab n=2 ist [mm] a_{n} \le b_{n}.
[/mm]
Dann ist [mm] b_{n} [/mm] die Majorante zur gegebenen Folge. Muss ich nicht noch überprüfen ob [mm] b_{n} [/mm] konvergent ist?
Da komme ich auf (schon vereinfacht): [mm] \bruch{n^{2}}{3n^{4}} [/mm] also [mm] \bruch{1}{3n^{2}}. [/mm] Würde gegen 0 konvergieren, also konvergent.
Also wäre, falls meine Rechnung richtig ist, die gegebene Reihe eine konvergente Reihe nach dem Majorantenkriterium. Ist meine Rechnung denn richtig?
Ich fasse die Theorie auch nochmal in eigene Worte, da das alles etwas abstrakt wirkt, wie ich finde:
Also ich möchte zu meiner gegebenen Reihe eine Vergleichsreihe aufstellen, durch Umformung der gegebenen Reihe, damit gilt: [mm] a_{n} \le b_{n}. [/mm] Dies prüfe ich, indem ich testweise Werte für n einsetze und prüfe, ob die Ungleichung dem Kriterium entspricht, und ob die Vergleichsreihe konvergiert. Wenn dem so ist, dann ist die Vergleichsreihe meine konvergente Majorante, weshalb ich mit dem Kriterium behaupten darf, dass die gegebene Reihe ebenfalls konvergent ist. Ist das richtig wiedergegeben von mir?
Warum macht man das? Man kann doch auch mit dem Grenzwert einfach auf Konvergenz/Divergenz überprüfen, indem man n der gegebenen Reihe gegen Unendlich laufen lässt, oder nicht? Dann ist dieses Kriterium doch eine Verumständlichung!?
Gruß, Andreas
PS: Ich wünsche gute Besserung!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:49 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Was genau heißt, nach oben geeignet abzuschätzen?
wenn Du eine Reihe [mm] $\sum a_n$ [/mm] hast, bei der [mm] $a_n \ge [/mm] 0$ jedenfalls für
alle bis auf endlich viele (man sagt hier auch "fast alle") [mm] $n\,$ [/mm] gilt, dann
heißt "geeignet nach oben" abschätzen, dass Du eine obere Schranke
[mm] $S\,$ [/mm] angeben willst, so dass
[mm] $$\sum_{k=0}^N a_k \le [/mm] S$$
für (fast alle oder auch) alle [mm] $N\,$ [/mm] gilt. Der "Clou" an der Sache ist:
Wenn $0 [mm] \le a_n \le b_n$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] gilt und wenn die Reihe
[mm] $\sum b_n$ [/mm] - genauer notiert [mm] $\sum_{n=0}^\infty b_n={\Big(\sum_{n=0}^N b_n\Big)}_{N \in \IN_0}\equiv:{(S_N)}_{N \in \IN_0}$ [/mm] - konvergiert, so ist
der Grenzwert
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty b_n=\lim_{N \to \infty} \sum_{n=0}^N b_n\,,$$ [/mm]
(Erinnerung/Einschub: [mm] $\sum_{n=0}^\infty b_n$ [/mm] kann stets die
Bedeutung der Folge der Teilsummen [mm] ${(S_N)}_{N \in \IN_0}$ [/mm] (s.o.) haben,
und falls diese Folge konvergiert, schreibt man auch
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty b_n:=\lim_{N \to \infty}S_N\,,$$
[/mm]
also [mm] $\sum_{n=0}^\infty b_n$ [/mm] kann dann auch die Bedeutung des
Grenzwertes der Folge [mm] $(S_N)_{N \in \IN_0}$ [/mm] haben; das Symbol
[mm] $\sum_{n=0}^\infty b_n$ [/mm] kann also zwei Bedeutungen annehmen,
und welche jeweils gemeint ist, ergibt sich aus dem Zshg., bzw. sollte sich
stets aus dem Zshg. ergeben!)
eine geeignete obere Schranke. Und daher versucht man meist, alle (oder
fast alle) Summanden [mm] $a_n$ [/mm] der Reihe [mm] $\sum a_n$ [/mm] nach oben
abzuschätzen.
Schau' Dir doch einfach mal die Formulierung und den Beweis des
Majorantenkriteriums an!
> Kann ich das auch wie folgt machen:
>
> [mm]a_{n}=\bruch{n^{2}+n+5}{3n^{4}-4n+3}[/mm]
>
> [mm]b_{n}=\bruch{(n-1)^{2}+(n-1)+5}{3(n-1)^{4}-4(n-1)+3}[/mm]
Aha, es ist also [mm] $b_n=a_{n-1}\,$ [/mm] für alle $n [mm] \ge 2\,.$
[/mm]
> Ich habe nun n=0,1,2,3,4,5 gesetzt und ab n=2 ist [mm]a_{n} \le b_{n}.[/mm]
Wenn dem denn so ist, so besagt das doch nichts anderes, als, dass
[mm] $$a_{n} \le a_{n-1} \text{ für alle natürlichen }n \ge [/mm] 2$$
gilt; bzw., dass
[mm] $$a_{n+1} \le a_n \text{ für alle natürlichen }n\;\;\; (\ge [/mm] 1)$$
gilt. Oder anders gesagt:
[mm] ${(a_n)}_{n=1}^\infty={(a_n)}_{n \in \IN}$ [/mm] ist eine monoton fallende Folge.
>
> Dann ist [mm]b_{n}[/mm] die Majorante zur gegebenen Folge.
??
> Muss ich
> nicht noch überprüfen ob [mm]b_{n}[/mm] konvergent ist?
??
> Da komme ich auf (schon vereinfacht): [mm]\bruch{n^{2}}{3n^{4}}[/mm]
Es gilt keineswegs
[mm] $$\bruch{n^{2}+n+5}{3n^{4}-4n+3}=\frac{n^2}{3n^4}$$
[/mm]
für (fast) alle [mm] $n\,.$ [/mm] Du kannst nicht teilweise dabei den Grenzwert
bei $n [mm] \long\to \infty$ [/mm] benutzen und bei anderen "Teilen" einfach [mm] $n\,$ [/mm]
stehen lassen. Mir ist klar, was Du meinst, aber so kannst Du das nicht
ohne weiteres formulieren - das wäre schlichtweg falsch!
> also [mm]\bruch{1}{3n^{2}}.[/mm] Würde gegen 0 konvergieren, also
> konvergent.
Wenn [mm] $b_n:=a_{n-1}$ [/mm] (für alle $n [mm] \ge [/mm] 2$ - wie [mm] $b_1$ [/mm] und [mm] $b_0$ [/mm] definiert
sein sollte, sei mal dahingestellt) und Du weißt, dass [mm] $b_n=a_{n-1} \to [/mm] 0$
gilt, dann weißt Du auch, dass [mm] $a_n \to [/mm] 0$ gilt.
> Also wäre, falls meine Rechnung richtig ist, die gegebene
> Reihe eine konvergente Reihe nach dem Majorantenkriterium.
Welche: Die mit den [mm] $b_n=a_{n-1}$? [/mm] Das wäre dann keineswegs so:
Wenn Du eine Reihe [mm] $\sum a_n$ [/mm] hast, dann folgt aus der
Konvergenz dieser Reihe IN NOTWENDIGER WEISE, dass [mm] $a_n \to [/mm] 0$
gelten muss (KEINESWEGS müsste aber zudem [mm] ${(a_n)}_{n}$ [/mm] MONOTON
FALLEND gegen [mm] $0\,$ [/mm] sein). Aber aus [mm] $a_n \to [/mm] 0$ folgt noch nicht die
Konvergenz von [mm] $\sum a_n\,;$ [/mm] auch nicht, wenn [mm] ${(a_n)}_n$ [/mm] zudem
monoton fallend wäre!
Beispiel: [mm] $\sum_{n=1}^\infty [/mm] 1/n$ divergiert bestimmt gegen [mm] $+\infty\,,$
[/mm]
aber $1/n [mm] \long\to 0\,;$ [/mm] und [mm] ${(1/n)}_{n \in \IN}$ [/mm] ist eine monoton
fallende Nullfolge!
> Ist meine Rechnung denn richtig?
Ja - nur bzgl. der Aufgabe bringt sie so gar nichts [mm] $\to$ [/mm] sie ist überflüssig.
Was Dir was bringen würde: Wenn Du eine Reihe [mm] $\sum c_n$ [/mm] hast und
dann weißt, dass [mm] $c_n \long\to [/mm] 0$ NICHT gilt, dann divergiert [mm] $\sum c_n\,.$
[/mm]
Denn das ist nichts anderes als die Kontraposition der Aussage:
[mm] $\sum c_n$ [/mm] konvergent [mm] $\Rightarrow$ $c_n \to 0\,.$ [/mm] Aber das kannst
Du bei Deiner Aufgabe hier nicht anwenden, weil Deine Reihe oben
konvergent ist!
> Ich fasse die Theorie auch nochmal in eigene Worte, da das
> alles etwas abstrakt wirkt, wie ich finde:
>
> Also ich möchte zu meiner gegebenen Reihe eine
> Vergleichsreihe aufstellen, durch Umformung der gegebenen
> Reihe, damit gilt: [mm]a_{n} \le b_{n}.[/mm]
Wobei Du die [mm] $b_n$ [/mm] so finden solltest, dass Du sagen kannst, dass [mm] $\sum b_n$
[/mm]
konvergiert. Sonst bringt Dir das nichts. Außerdem gibt's Voraussetzungen
an die [mm] $a_n\,,$ [/mm] die Du auch nicht erwähnt hast: Es sollte [mm] $a_n \ge [/mm] 0$
jedenfalls für fast alle [mm] $n\,$ [/mm] gelten - besser noch [mm] $a_n \ge [/mm] 0$ für alle [mm] $n\,.$
[/mm]
(Man kann sich auch entsprechendes überlegen, wenn bei [mm] $\sum a_n$ [/mm] für
alle oder fast alle [mm] $n\,$ [/mm] gilt [mm] $a_n \le 0\,;$ [/mm] die Abschätzungen sehen dann
natürlich auch entsprechend anders aus... Aber: das folgt dann eh aus
obigem, indem man dann die Reihe [mm] $\sum (-a_n)$ [/mm] betrachtet...)
> Dies prüfe ich, indem
> ich testweise Werte für n einsetze und prüfe, ob die
> Ungleichung dem Kriterium entspricht, und ob die
> Vergleichsreihe konvergiert.
Okay: Hier hast Du nun erwähnt, dass [mm] $\sum b_n$ [/mm] konvergent sein soll.
> Wenn dem so ist, dann ist die
> Vergleichsreihe meine konvergente Majorante,
Wem die gehört, weiß ich nicht ( es sollte sie niemand sein Eigentum
nennen - sie gehört allen  ): Aber Du kannst sie dann als konvergente
Majorante wählen.
> weshalb ich
> mit dem Kriterium behaupten darf, dass die gegebene Reihe
> ebenfalls konvergent ist. Ist das richtig wiedergegeben von
> mir?
Ja: Du vergisst halt, dass auch $0 [mm] \le a_n$ [/mm] jedenfalls für fast alle [mm] $n\,$
[/mm]
gelten sollte. Aber ansonsten kann man das so ausdrücken.
> Warum macht man das? Man kann doch auch mit dem Grenzwert
> einfach auf Konvergenz/Divergenz überprüfen, indem man n
> der gegebenen Reihe gegen Unendlich laufen lässt, oder
> nicht?
Man macht das eigentlich, weil man weiß, dass nach oben beschränkte
monoton wachsende Folgen konvergent sind. (Und bei vielen nach oben
beschränkten konvergenten Folgen kennt man den Grenzwert nicht -
erinnere Dich mal, dass [mm] $\lim_{n \to \infty} (1+1/n)^{n}=e$ [/mm] ist - und zwar,
wenn man etwa
[mm] $$e:=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$$
[/mm]
definiert hat - wobei man sich auch erstmal um die Konvergenz der Reihe
[mm] $\sum \frac{1}{k!}$ [/mm] Gedanken gemacht haben sollte! Die Konvergenz der
Folge [mm] ${((1\;+\;1/n)^n)}_{n \in \IN_0}$ [/mm] kann man jedoch "einfach"
mithilfe des Haupsatzes über monotone Folgen beweisen!)
Und wenn Du mal "einfach so" den Grenzwert einer Reihe berechnen
kannst:
Beweise mir mal bitte, dass
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}=\pi/6$$
[/mm]
gilt. Dass die Folge [mm] ${\Big(\sum_{k=1}^n 1/k^2\Big)}_{n \in \IN}$ [/mm] gegen
[mm] $\pi/6$ [/mm] konvergiert, ist gar nicht so einfach zu zeigen. Dass aber
[mm] $\sum_{k=1}^\infty 1/k^2$ [/mm] konvergent ist, ist einfach zu zeigen, ich
hab's ja schonmal wo anders geschrieben. Hier schreibe ich's mal ein
wenig anders:
Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt
[mm] $$\sum_{k=1}^n 1/k^2 \le 1+\sum_{k=2}^n \frac{1}{k*(k-1)}\,.$$
[/mm]
Und wegen
[mm] $$\sum_{k=2}^n \frac{1}{k*(k-1)}=\sum_{k=2}^n \Big(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\Big)$$
[/mm]
kann man relativ schnell sehen, dass die Reihe [mm] $\sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k*(k-1)}$ [/mm] konvergiert!
Es ist halt so ähnlich wie beim Wurzel- oder Quotientenkriterium: Oft kann
man mit diesen Mitteln "relativ schnell" die Konvergenz einer Reihe
beweisen - den Grenzwert der Reihe dann auch zu berechnen, ist in den
seltensten Fällen "einfach". Zumal man, wenn man den Grenzwert einer
Folge oder Reihe berechnen will, man ja auch erstmal die Existenz dieses
Grenzwertes gesichert haben muss - ansonsten testet man höchstens mit
"einem potentiellen Grenzwert", ob dieser tatsächlich auch der Grenzwert
ist, und falls das gelingt, dann weiß man automatisch um das
Konvergenzverhalten Bescheid.
> Dann ist dieses Kriterium doch eine Verumständlichung!?
Im Gegenteil: Grenzwerte zu berechnen ist meist viel schwieriger, als
einfach nur Konvergenz (oder Divergenz: im Falle der Divergenz kann man
natürlich eh keinen Grenzwert berechnen!) nachzuweisen.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:13 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Diophant,
> Hallo,
>
> es liegt im Wesen einer Majorante begründet, dass sie
> größer (oder gleich) des Reihenglieds ist. Also musst du
> nach oben geeignet abschätzen.
>
> Meiner (nach wie vor etwas vom Fieber erschwerten) Rechnung
> nach ist bspw. ab N=3
man findet für derartige Aufgaben eigentlich relativ schnell konvergente
Majoranten oder divergente Minoranten, auch, ohne alles nach und nach
abzuschätzen - auch wenn ich Abschätzungen zu schätzen weiß.
Irgendwie wird der Satz, den ich in meiner Antwort gegeben habe, wohl
selten in einer Vorlesung gelehrt - warum auch immer. Gerade der Beweis
des Satzes zeigt, wie man bei derartigen Aufgaben durch
"Folgen-Grenzwertbetrachtung" auf das Konvergenzverhalten einer Reihe
schließen kann - wenn man denn eine Reihe findet, mit der "der Vergleich
gemäß des Satzes" 'sinnvoll gelingt'.
Beispiel:
Betrachten wir mal die Reihe
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty \frac{3n^{5/2}+7n^{2/3}+6n}{17n^3+5600n-7}\,.$$
[/mm]
Für "große [mm] $n\,$" [/mm] sehen die Summanden nahezu aus wie
[mm] $$\frac{3n^{5/2}}{17n^3}=\frac{3}{17}* \frac{1}{\sqrt{n}}\,,$$
[/mm]
also vergleichen wir diese Reihe einfach mal mit der divergenten Reihe
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty 1/\sqrt{n}\,...$$
[/mm]
Wenn man also direkt nach einer Abschätzung sucht, macht es also Sinn,
eine divergente Minorante zu suchen, die "kleinergleich" als [mm] $\sum_{n=1}^\infty 1/\sqrt{n}$
[/mm]
ist - zumindest, wenn man weder den von mir genannten Satz direkt
benutzen will, noch den Beweis dieses Satzes auf die entsprechende
Aufgabe "zuschustern" will...
P.S. Diese Mitteilung ist für Dich vielleicht nur eine kleine Erinnerung (mir ist
nicht klar, ob Dir der genannte Satz und dessen Beweis bekannt ist; leider
ist es nicht selbstverständlich, dass er gelehrt wird, obwohl er doch - wie
ich finde - eigentlich stets gelehrt werden MÜSSTE!), für den Fragesteller
hilft sie vielleicht dennoch ein wenig zusätzlich.
P.P.S. @ Mathe-Andi: Es wäre NICHT sinnvoll, die Reihe [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{3n^{5/2}+7n^{2/3}+6n}{17n^3+5600n-7}$
[/mm]
mit [mm] $\sum_{n=1}^\infty [/mm] 1/n$ zu vergleichen - warum nicht?
Auch der Vergleich der Reihe mit
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty 1/\sqrt[3]{n}$$
[/mm]
wäre nicht sinnvoll - warum nicht?
Gruß,
Marcel
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Danke Marcel für deine ausführliche Antwort.
Die Theorie hab ich einigermaßen verstanden, aber ich kanns einfach nicht anwenden. Ich weiß nach wie vor nicht, was ich tun muss, um meine gegebene Reihe nach oben abzuschätzen, praktisch. Bei Beispielen in Büchern etc. sieht das immer etwas willkürlich aus, was dort gemacht wird.
Ich meine genau den Schritt, den Diophant hiermit meint:
> - einmal den Zähler vergrößert
> - dann den Nenner verkleinert habe.
>
Vielleicht kann man das mal Schritt für Schritt in einfach erklärter Form zusammen machen?
gegeben ist also:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}=\bruch{n^{2}+n+5}{3n^{4}-4n+3}
[/mm]
Diese gegebene Reihe entspricht [mm] \summe_{}^{} a_{n}.
[/mm]
Ich weiß an dieser Stelle nicht, wie ich rechnerisch weiter vorgehen soll, also wie ich auf das [mm] \summe b_{n} [/mm] komme. Was wäre hier der nächste (Rechen-)Schritt?
Ich muss doch eigentlich [mm] \summe a_{b} [/mm] so umformen, dass die daraus enstehende [mm] \summe b_{n} [/mm] größer ist als [mm] \summe a_{n}. [/mm] Klingt einfach, aber wie mache ich das, bzw. was darf ich?
Gruß, Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 Fr 04.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
> > - einmal den Zähler vergrößert
> > - dann den Nenner verkleinert habe.
> >
>
> Vielleicht kann man das mal Schritt für Schritt in einfach
> erklärter Form zusammen machen?
>
> gegeben ist also:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}=\bruch{n^{2}+n+5}{3n^{4}-4n+3}[/mm]
was soll das"=" da ?
du meinst doch
[mm]\summe_{n=1}^{\infty}=\bruch{n^{2}+n+5}{3n^{4}-4n+3}[/mm]
> Diese gegebene Reihe entspricht [mm]\summe_{}^{} a_{n}.[/mm]
>
> Ich weiß an dieser Stelle nicht, wie ich rechnerisch
> weiter vorgehen soll, also wie ich auf das [mm]\summe b_{n}[/mm]
> komme. Was wäre hier der nächste (Rechen-)Schritt?
>
1. es muss nur ab irgendeinem endlichen n [mm] b_n>a_n [/mm] sein, hier nehm ich n>2
dann ist [mm] n^2+n+5<3n^2 dennn
also ist
[mm] \bruch{n^{2}+n+5}{3n^{4}-4n+3}<\bruch{3*n^{2}}{3n^{4}-4n+3}
[/mm]
jetzt verkleinere ich den [mm] Nenner:3n^4-3n+3<2n^4
[/mm]
dann habe ich
[mm] \bruch{n^{2}+n+5}{3n^{4}-4n+3}<\bruch{3n^{2}}{2n^{4}}
[/mm]
fuer alle n>2
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:56 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mathe-Andi,
> Danke Marcel für deine ausführliche Antwort.
>
> Die Theorie hab ich einigermaßen verstanden, aber ich
> kanns einfach nicht anwenden. Ich weiß nach wie vor nicht,
> was ich tun muss, um meine gegebene Reihe nach oben
> abzuschätzen, praktisch. Bei Beispielen in Büchern etc.
> sieht das immer etwas willkürlich aus, was dort gemacht
> wird.
>
> Ich meine genau den Schritt, den Diophant hiermit meint:
>
> > - einmal den Zähler vergrößert
> > - dann den Nenner verkleinert habe.
> >
>
> Vielleicht kann man das mal Schritt für Schritt in einfach
> erklärter Form zusammen machen?
>
> gegeben ist also:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^{2}+n+5}{3n^{4}-4n+3}[/mm]
okay, machen wir das erstmal "rein mit Abschätzungen". Und Du hattest
dahingehend auch schonmal eine richtige Idee:
Für (genügend) große [mm] $n\,$ [/mm] sind die Summanden
[mm] $$\bruch{n^{2}+n+5}{3n^{4}-4n+3}$$
[/mm]
nahezu gleich mit
[mm] $$\frac{n^2}{3n^4}\,.$$
[/mm]
So darf man das formulieren - das ist aber natürlich keine Gleichheit,
deswegen darfst Du da auch keine Gleichheit behaupten.
Es liegt daher nahe, die Reihe
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{3n^4}$$
[/mm]
oder ein wenig einfacher:
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{n^4}=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$$
[/mm]
ins Spiel zu bringen - nur wissen wir nicht, wie gut wir sie ins Spiel bringen
können. Man hat jedenfalls so die Hoffnung, dass man jedenfalls mit einem
$C > [mm] 0\,$ [/mm] die Reihe
[mm] $$C*\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$$
[/mm]
ins Spiel bringen kann - da (für jedes $C > 0$) eine solche Reihe
konvergiert, wollen wir also für die Ausgangsreihe eine konvergente
Majorante "basteln".
Es gilt zunächst sogar für alle $n [mm] \ge [/mm] 1$ dass
[mm] $$\frac{n^2+n+5}{3n^4-4n+3} \le \frac{n^2+n^2+5n^2}{3n^4-4n+3}=\frac{7n^2}{3n^4-4n+3}$$
[/mm]
ist.
Jetzt will man ein $k > [mm] 0\,$ [/mm] und ein [mm] $N\,$ [/mm] finden, so dass man beim Nenner
abschätzen kann, dass
[mm] $$3n^4-4n+3 \ge k*n^4$$
[/mm]
für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt.
Versuch' mal, sowas nun zu finden.
P.S. Du hast aber meinen Tipp nicht berücksichtigt, wo ich auf den Satz vom
Heuser verwiesen habe. Ich zeige Dir nun auch mal einfach, wie man damit
dann eine solche konvergente Majorante finden kann:
Weil für genügend große [mm] $n\,$
[/mm]
[mm] $$\frac{n^2+n+5}{3n^4-4n+3}$$
[/mm]
sehr nahe an
[mm] $$\frac{n^2}{3n^4}=\frac{1}{3}*\frac{1}{n^2}=1/(3n^2)$$
[/mm]
ist, betrachten wir
[mm] $$\frac{\frac{n^2+n+5}{3n^4-4n+3}}{1/(3n^2)}=\frac{3n^4+3n^3+15n^2}{3n^4-4n+3}=\frac{n^4}{n^4}*\frac{3+3/n+15/n^2}{3-4/n^3+3/n^4}=\frac{3+3/n+15/n^2}{3-4/n^3+3/n^4}\,.$$
[/mm]
Daraus folgt
[mm] $$\frac{\frac{n^2+n+5}{3n^4-4n+3}}{1/(3n^2)} \to \frac{3}{3}=1=:\gamma [/mm] > [mm] 0\,.$$
[/mm]
Zu [mm] $\varepsilon_0:=\gamma/2=1/2 [/mm] > 0$ existiert daher ein [mm] $N_0$ [/mm] so, dass
$$1-1/2=1/2 < [mm] \frac{\frac{n^2+n+5}{3n^4-4n+3}}{1/(3n^2)} [/mm] < 1+1/2=3/2 [mm] \text{ für alle }n \ge N_0\,.$$
[/mm]
Folglich gilt
[mm] $$\frac{n^2+n+5}{3n^4-4n+3} \le \frac{3}{2}*\frac{1}{3n^2}=\frac{1}{2n^2}$$
[/mm]
für alle $n [mm] \ge N_0\,.$
[/mm]
Wegen
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2+n+5}{3n^4-4n+3}=\sum_{n=1}^{N_0-1}\frac{n^2+n+5}{3n^4-4n+3}+\sum_{n=N_0}^\infty \frac{n^2+n+5}{3n^4-4n+3} \le \sum_{n=1}^{N_0-1}\frac{n^2+n+5}{3n^4-4n+3}+\frac{1}{2}*\sum_{n=N_0}^\infty \frac{1}{n^2}$$
[/mm]
folgt dann die Konvergenz der betrachteten Reihe gemäß des
Majorantenkriteriums, weil auch [mm] $\sum_{n=N_0}^\infty \frac{1}{n^2}$ [/mm] eine konvergente
Reihe ist.
Also: Bei der ersten Methode macht man, grob gesagt: "Gucken, wo man hin will,
und dann mit 'Holzhammer-Abschätzungen' versuchen, dahinzukommen!"
Die Methode, die ich Dir vorgeschlagen habe, ist: Durch "Gucken, wo man
hin will" bildet man einen geeigneten Grenzwert und arbeitet mit diesem
dann, um dahinzukommen, wo man hin will - das ist natürlich ein wenig
theoretischer, denn oben siehst Du ja etwa, dass ich das [mm] $N_0$ [/mm]
keineswegs konkret bestimmt habe, sondern nur begründet habe, dass es
ein solches geben muss.
Natürlich hättest Du auch etwa mit bspw.
[mm] $$\frac{\frac{n^2+n+5}{3n^4-4n+3}}{1/(37n^2)} \to \frac [/mm] {37} 3$$
arbeiten können...
Gruß,
Marcel
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> Es gilt zunächst sogar für alle [mm]n \ge 1[/mm] dass
> [mm]\frac{n^2+n+5}{3n^4-4n+3} \le \frac{n^2+n^2+5n^2}{3n^4-4n+3}=\frac{7n^2}{3n^4-4n+3}[/mm]
>
> ist.
Ich nehme also keine elementare Umformung vor, sondern im Prinzip stelle ich der gegebenen Reihe eine ganz andere gegenüber, die den gleichen Nenner besitzt und einen "ähnlichen" Zähler, mit dem die Ungleichung, die man mit beiden bildet, erfüllt ist. Ist das so richtig?
>
> Jetzt will man ein [mm]k > 0\,[/mm] und ein [mm]N\,[/mm] finden, so
wofür genau steht [mm]N\,[/mm]?
>dass man
> beim Nenner
> abschätzen kann, dass
> [mm]3n^4-4n+3 \ge k*n^4[/mm]
> für alle [mm]n \ge N[/mm] gilt.
>
> Versuch' mal, sowas nun zu finden.
>
kann ich hier nicht auch wieder argumentieren, dass [mm] 3n^{4}-4n+3 [/mm] sich verhält wie [mm] 3n^{4} [/mm] und ich daher sagen kann:
[mm] 3n^{4} \ge k*n^{4} [/mm] (für k < 3)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Es gilt zunächst sogar für alle [mm]n \ge 1[/mm] dass
> > [mm]\frac{n^2+n+5}{3n^4-4n+3} \le \frac{n^2+n^2+5n^2}{3n^4-4n+3}=\frac{7n^2}{3n^4-4n+3}[/mm]
>
> >
> > ist.
>
> Ich nehme also keine elementare Umformung vor, sondern im
> Prinzip stelle ich der gegebenen Reihe eine ganz andere
> gegenüber, die den gleichen Nenner besitzt und einen
> "ähnlichen" Zähler, mit dem die Ungleichung, die man mit
> beiden bildet, erfüllt ist. Ist das so richtig?
nö - es hat was damit zu tun, wie der Bruch sich für große [mm] $n\,$ [/mm] verhält.
So habe ich es aber auch aufgeschrieben; und ich habe auch
aufgeschrieben, wo wir damit dann hinwollen...
> >
> > Jetzt will man ein [mm]k > 0\,[/mm] und ein [mm]N\,[/mm] finden, so
>
> wofür genau steht [mm]N\,[/mm]?
Eine natürliche Zahl, die Du - zu einem geeigneten $k > [mm] 0\,$ [/mm] - finden musst.
> >dass man
> > beim Nenner
> > abschätzen kann, dass
> > [mm]3n^4-4n+3 \ge k*n^4[/mm]
> > für alle [mm]n \ge N[/mm] gilt.
Wie gesagt: Du willst zu einem $k > 0$ ein passendes [mm] $N\,$ [/mm] finden, so
dass diese Aussage gilt. Du wirst solch ein Paar $(k,N)$ sukzessive suchen
müssen. Zum Beispiel wird es zu [mm] $k=10^7$ [/mm] sicher kein solches [mm] $N\,$ [/mm]
geben können; vielleicht findest Du aber ein [mm] $N\,$ [/mm] zu $k=1$ oder $k=1/2$
oder [mm] $k=2/\pi$...
[/mm]
Dabei kann es hilfreich sein, sich mal entsprechende Funktionen
anzugucken, um ein Gefühl dafür zu bekommen, ob so etwas gehen kann:
Für $k=5/2$ will man gucken, ob es ein [mm] $N\,$ [/mm] gibt, so dass
[mm] $$3n^4-4n+3 \ge k*n^4=\frac{5}{2}*n^4$$
[/mm]
für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt.
Plotte Dir dazu mal etwa die Funktion
$$x [mm] \mapsto 3x^4-4x+3-\frac{5}{2}*x^4=\frac{1}{2}x^4-4x+3\,,$$
[/mm]
und mach' Dir mal Gedanken, inwiefern Dir der Plot dabei helfen kann -
also nur, um eine Idee zu bekommen, ob es sinnvoll ist, $k=1/2$ etwa
auszutesten - natürlich werdet ihr vermutlich in der Vorlesung noch nicht
so weit sein, dass Du durch "das 'einfache' Analysieren" einer solchen
Funktion einen sauberen Beweis führen kannst; weil ihr vermutlich noch
nicht Monotonvieverhalten mit der Ableitung begründen dürft etc. pp..
Aber so eine Idee, ob man das $k > 0$ noch verkleinern sollte, kann man
mit solchen Plots schonmal bekommen...
> > Versuch' mal, sowas nun zu finden.
> >
>
> kann ich hier nicht auch wieder argumentieren, dass
> [mm]3n^{4}-4n+3[/mm] sich verhält wie [mm]3n^{4}[/mm] und ich daher sagen
> kann:
>
> [mm]3n^{4} \ge k*n^{4}[/mm] (für k < 3)
Nein. Wenn Du nur mit "für große [mm] $n\,$ [/mm] verhält sich der Bruch wie..."
argumentieren willst, dann nimm' einfach direkt den Satz aus dem Heuser,
den ich zitierte - denn mit dem kann man das im Prinzip so begründen.
Du willst hier aber wirklich eine Majorante angeben, also gibt's kein
"das verhält sich 'wohl' für große [mm] $n\,$ [/mm] wie...", sondern Du musst
("geeignete") Abschätzungen hinschreiben und begründen, die für (fast
alle) [mm] $n\,$ [/mm] gültig sind.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:57 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Untersuchen Sie auf Konvergenz mit Hilfe des
> Majorantenkriteriums:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}=\bruch{n^{2}+n+5}{3n^{4}-4n+3}[/mm]
ich gebe Dir mal folgende Aussage:
Seien alle oder wenigstens fast alle [mm] $a_n [/mm] > 0$ und auch alle bzw. fast alle [mm] $b_n [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm]
Beweise:Falls der Grenzwert [mm] $\gamma:=\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$ [/mm] existiert UND wenn [mm] $\gamma [/mm] > 0$ gilt, dann folgt,
dass die Reihen [mm] $\sum a_n$ [/mm] und [mm] $\sum b_n$ [/mm] das gleiche Konvergenzverhalten haben; d.h., falls
[mm] $\gamma$ [/mm] existiert mit [mm] $\gamma [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] dann konvergiert [mm] $\sum a_n$ [/mm] genau dann, wenn [mm] $\sum b_n$ [/mm] konvergiert.
Wenn Du das bewiesen hast, dann werden Dir Aufgaben der obigen Art,
selbst, wenn Du sie mit dem Majorantenkriterium beweisen sollst, leicht
von der Hand gehen. (Dabei hilft meistens dann, dass [mm] $\sum_{k=1}^\infty 1/k^\alpha$ [/mm]
genau dann konvergiert, wenn [mm] $\alpha [/mm] > 1$ gilt. Bei dem Beweis dieser
Aussage wiederum hilft der Cauchysche Verdichtungssatz.)
Aber erstmal ein Tipp zu dem Beweis der obigen Aussage (die steht in
Heuser, Analysis I; siehe auch hier (klick!) - da kannst Du Dich auch
weiter durchklicken ).
Setze [mm] $\varepsilon_0:=\gamma/2\,.$ [/mm] Dann gilt
[mm] $$\gamma [/mm] - [mm] \varepsilon_0=\gamma/2 [/mm] < [mm] a_n/b_n [/mm] < [mm] \gamma+\varepsilon=\frac{3}{2}\gamma \text{ für alle bis auf endlich viele }n\,.$$ [/mm]
Daraus folgt - fast unmittelbar - die Behauptung. Das einzige, was dabei
vielleicht noch beachtens- und nochmal erwähnenswert ist:
Das Konvergenzverhalten einer Reihe hängt bekanntlich nicht von endlich
vielen Summanden ab - und natürlich sollte man auch sowas wie die
Rechenregeln für konvergente Folgen kennen und beherrschen.
Wie hilft dieser Satz nun?
Nun: Vergleiche
[mm] $$\sum a_n:\equiv \sum \frac{n^2+n+5}{3n^4-4n+3}$$
[/mm]
mit
[mm] $$\sum b_n:\equiv \sum \frac{n^2}{n^4}\equiv\sum \frac{1}{n^2}\,.$$
[/mm]
Und versuch' danach mal, Deine Aufgabe nur mit den Mitteln des Beweises
des genannten Satzes zu führen (also nicht direkt den Satz verwenden,
sondern nur das, was man im Beweis macht, speziell an Deine Aufgabe
anzupassen):
Es gilt
[mm] $$\frac{a_n}{b_n}=\frac{\frac{n^2+n+5}{3n^4-4n+3}}{1/n^2} \to [/mm] 1/3 > 0 [mm] \text{ bei }n \to \infty\,,$$
[/mm]
also...
(Übrigens kann man die Konvergenz von [mm] $\sum_{k=1}^\infty 1/k^2$ [/mm] auch
schnell mit dem Majorantenkriterium zeigen: Es gilt
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty 1/k^2=1+\sum_{k=2}^\infty 1/k^2 \le 1+\sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k*(k-1)}=1+\sum_{k=2}^\infty \left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\,,$$
[/mm]
und nun steht da ganz rechterhand eine Ziehharmonikareihe (bzw.
eigentlich der Grenzwert einer Ziehharmonikareihe - d.h., man sollte
begründen können, warum die Reihe [mm] $\sum_{k=2}^\infty \left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)$ [/mm] konvergent ist...): Mit
solchen sollte man ein wenig umgehen/hantieren können... Und damit
wäre Deine Aufgabe auch relativ schnell lösbar, selbst, wenn Du den
Cauchyschen Verdichtungssatz noch nicht kennst bzw. benutzen darfst.)
Gruß,
Marcel
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