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(Frage) überfällig  | | Datum: | 04:00 Mi 14.01.2015 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Ein fahrender Händler besucht mit seinem Wagen die beiden Städte $a$ und $b$. Jeden Morgen entscheidet sich der Händler, ob er den Tag in der Stadt, in der er sich gerade befindet, verbringt, oder ob er zu der anderen Stadt reist. Dabei beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass er in der jeweiligen
Stadt bleibt, $3/4$.
Wir modellieren den Aufenthaltsort des Händlers mittels einer Markov-Kette [mm] $(X_n)_{n\geq0}$ [/mm] auf $E [mm] =\{a, b\}$.
[/mm]
I) Stellen Sie die Übergangsmatrix $P$ von [mm] $(X_n)_{n\geq0}$ [/mm] auf und veranschaulichen Sie sie mittels einer graphischen Darstellung.
II) Wir wählen als Startverteilung [mm] $\mu=\left(\frac13,\frac23\right)$
[/mm]
-Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Händler am zweiten Tag in Stadt $a$ befindet.
-Berechnen Sie [mm] $P(X_3=b)$
[/mm]
III) Berechnen Sie für alle [mm] $n\in\mathbb{N}$ [/mm] die n-Schritt Übergangsmatrix [mm] P^n [/mm] explizit.
Hinweis: Nutzen Sie den Spektralsatz aus der linearen Algebra
IV) Geben Sie [mm] $P^{\mu}(X_n=a)$ [/mm] und [mm] $P^{\mu}(X_n=b)$ [/mm] für obige Startverteilung explizit an und berechnen Sie den Grenzwert für [mm] $n\to\infty$.
[/mm]
V) Was ergibt sich für die Verteilung von [mm] $X_n$, [/mm] wenn sie die Startverteilung [mm] $\nu=\nu_a\chi_{\{a\}}+\nu_b\chi_{\{b\}}$ [/mm] wählen, wobei
[mm] $\nu_a:=\lim_{n\to\infty} P^{\mu}(X_n=a)$ [/mm] und [mm] $\nu_b:=\lim_{n\to\infty} P^{\mu}(X_n=b)$ [/mm] |
Hi,
ich bearbeite gerade diese Aufgabe.
Aufgabe I) war ganz einfach. Die Übergangsmatrix lautet:
[mm] $P=\begin{pmatrix} 3/4&1/4\\1/4&3/4\end{pmatrix}$
[/mm]
Die graphische Darstellung ist natürlich auch sehr einfach...
zu II)
Hier kann ich die Wahrscheinlichkeiten auch berechnen, jedoch leider nicht indem ich die Übergangsmatrix verwende, sondern es "händisch" mit einem Baumdiagramm tue.
Ich weiß leider nicht wie ich es mit der Übergangsmatrix berechne.
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Händler sich am zweiten Tag in Stadt $a$ befindet, sollte 5/12 sein.
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Händer am dritten Tag in Stadt $b$ aufhält, sollte 26/48 sein.
Ich denke um es mit der Übergangsmatrix zu bestimmen muss ich die Matrix quadrieren. So komme ich auf
[mm] $P^2=\begin{pmatrix}5/8&3/8\\3/8&5/8\end{pmatrix}$
[/mm]
Doch wie muss ich damit nun weiterrechnen?
Zu III)
Hier ist als Tipp der Spektralsatz gegeben. Leider weiß ich nicht wie der lautet...
Ich glaube aber auch, dass ich den gar nicht benötige.
Ich wollte es mit Induktion machen.
Ich habe noch [mm] $P^3=\begin{pmatrix}9/16&7/16\\7/16&9/16\end{pmatrix}$
[/mm]
berechnet.
Es lässt sich recht gut eine Regelmäßigkeit erkennen und ich vermute, dass
[mm] $P^n=\frac{1}{2^{n+1}}\begin{pmatrix}1+2^n&2^n-1\\2^n-1&2^n+1\end{pmatrix}$
[/mm]
ist.
Auch der Induktionsbeweis ist sehr einfach.
Der Weg mit dem Spektralsatz würde mich aber interessieren.
zu IV)
Mit der Matrix die ich gerade berechnet habe, kann man leicht einsehen, dass
[mm] $\lim_{n\to\infty} P^n=\begin{pmatrix} 1/2&1/2\\ 1/2&1/2\end{pmatrix}$
[/mm]
ist. Hier muss dann noch die Startverteilung eingehen, denke ich. Aber wie in II) weiß ich nicht so recht wie...
Für V) benötige ich ja erstmal IV)
Über Ansätze, Verbesserungsvorschläge und Korrekturen würde ich mich sehr freuen.
Danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:29 Mi 14.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Könnte mir hier jemand weiterhelfen? :)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:03 Mi 14.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Ich glaube bei II) hat sich die Frage mittlerweile erledigt.
Ich berechne einfach:
[mm] $(\tfrac13,\tfrac23)\begin{pmatrix} 3/4&1/4\\1/4&3/4\end{pmatrix}=(\tfrac5{12},\tfrac7{12})$
[/mm]
Als nächstes dann
[mm] $(\tfrac5{12},\tfrac7{12})\begin{pmatrix} 3/4&1/4\\1/4&3/4\end{pmatrix}=(\tfrac{22}{48},\tfrac{26}{48})$
[/mm]
Hier kann ich dann die Wahrscheinlichkeiten direkt ablesen.
Im ersten Eintrag steht die Wahrscheinlichkeit sich in Stadt a zu befinden und im zweiten Eintrag eben die Wahrscheinlichkeit sich in Stadt b zu befinden.
Das deckt sich ja auch mit meiner "händischen" Berechnung.
Bleiben die anderen Fragen:
Benötige ich für III) zwingend den Spektralsatz? Wenn ja, wie kann ich ihn anwenden.
Wäre meine Induktionslösung korrekt?
Bei IV) kann ich dann, so denke ich, ähnlich vorgehen, also ebenfalls induktiv, wobei ich nur die Startverteilung mit einbeziehen müsste.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:35 Do 15.01.2015 | | Autor: | Sneaky |
Hi,
bei der II) ist die Frage, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist am 2 Tag sich in (a zu befinden. Die Matrix muss dann glaube ich erst quadriert werden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:42 Do 15.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Das ist egal.(Edit: Bemerke gerade, dass sich deine "Antwort" auf den ersten Teil der Aufgabe bezieht)
Entweder quadriert man die Matrix und berechnet dann
[mm] $\mu\cdot P^2$ [/mm] oder du rechnest eben [mm] $\mu\cdot P\cdot [/mm] P$
Dabei hat man [mm] $\mu\cdot [/mm] P$ jedoch schon im ersten Teil bestimmt und es bietet sich daher an dies zu benutzen.
Das Ergebnis ist das selbe.
Zum Edit:
Nein, ich finde deine Anmerkung sinnlos, wenn ich ehrlich bin...
Das ist schon richtig.
Du kannst zum Beispiel mit einem Baumdiagramm nachrechnen, dass dieses Ergebnis korrekt ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 Do 15.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Danke für deine Antwort, aber ist der Spektralsatz denn notwendig?
Ist meine Darstellung von [mm] $P^n$ [/mm] inkorrekt?
Ich werde es nun mit dem Spektralsatz probieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:07 Do 15.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Ich habe es jetzt mit dem Spektralsatz, bzw. der Diagonalmatrix berechnet und komme auf das selbe Ergebnis.
Ehrlich gesagt finde ich den Weg über die Induktion "besser".
Das ist meiner Meinung nach weniger Arbeit.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:26 Do 15.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Ich habe nun die Matrix [mm] $P^n$ [/mm] auf zwei verschiedene Weisen bestimmt und denke die IV) müsste so gehen:
[mm] $(\tfrac13,\tfrac23)\cdot\frac{1}{2^{n+1}}\begin{pmatrix}1+2^n&2^n-1\\2^n-1&2^n+1\end{pmatrix}=\frac{1}{2^{n+1}}(2^n-\tfrac13,2^n+\tfrac13)$
[/mm]
[mm] $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{2^{n+1}}(2^n-\tfrac13,2^n+\tfrac13)=(\tfrac12,\tfrac12)$
[/mm]
Also für [mm] $n\to\infty$ [/mm] wird sich der Händler einer Wahrscheinlichkeit von 50/50 annähern in Stadt a oder b zu sein.
Ist das so korrekt?
Für die Aufgabe V)
Muss ich hier meine neue Startverteilung als [mm] $(\tfrac12,\tfrac12)$ [/mm] wählen?
Wie ist [mm] $\nu:=\nu_a\chi_{\{a\}}+\nu_b\chi_{\{b\}}$ [/mm] zu verstehen?
Dies ist ja erstmal kein Vektor?
Aber die Startverteilung ist ja einer...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:59 Do 15.01.2015 | | Autor: | Ladon |
Ich habe nicht behauptet, dass deine Lösung falsch sei. Es tut mir Leid, wenn es implizit so durchgeklungen sein sollte.
Ich finde deine Lösung auch schöner als die Alternative über den Spektralsatz 
Für manche mag das Verfahren über Diagonalisierung aber vielleicht einfacher sein.
LG
Ladon
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Do 15.01.2015 | | Autor: | Ladon |
Dein Verfahren ist m.W. nicht falsch. (siehe Kommentar unten)
LG
Ladon
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(Frage) überfällig | | Datum: | 16:31 Do 15.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Ehrlich gesagt war ich mir auch recht sicher, dass es nicht falsch ist.
Es ging mir aber ohnehin auch darum zu wissen wie man es mit dem Spektralsatz geht und das habe ich ja nun auch herausgefunden. :)
Kannst du zu den anderen Aufgabenteilen noch etwas sagen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 Do 15.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Hi, ich habe nochmal ins Skript gesehen und wir hatten folgende Konvention für die Aufgabe V)
Und zwar schreiben wir [mm] $P^{\mu}$ [/mm] bzw. [mm] $P^{x}$ [/mm] bei einem Start mit Startverteilung [mm] $\mu$ [/mm] bzw. für einen determinisitischen Start für [mm] $x\in [/mm] E$, d. h. [mm] $\mu=\chi_{\{x\}}$
[/mm]
Also [mm] $\chi_{\{x\}}$ [/mm] bezeichnet ja die charakteristische Funktion.
Das heißt bei Aufgabe V) wäre einfach in beiden Fällen [mm] $\nu_a\chi_{\{a\}}=\nu_b\chi_{\{b\}}$
[/mm]
Dies sagt eigentlich nur aus "welche Wahrscheinlichkeit" ich für den Start nehmen muss. Es muss ja [mm] $\nu=1$ [/mm] bzw. [mm] $\mu=1$ [/mm] gelten. Und die Startverteilung wird durch einen Vektor beschrieben (dessen Einträge aufsummiert eben 1 ergeben) und diese Schreibweise mit der charakteristischen Funktion ersetzt mir dieses nun?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Sa 17.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:20 Fr 16.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Spektralsatz