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Hallo
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Geg ist eine Übergangsmatrix.
$ [mm] \pmat{ \bruch{3}{10} & \bruch{1}{5} & \bruch{1}{2}\\ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{10} & \bruch{2}{5} \\ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{5} & \bruch{3}{10} }$
[/mm]
Man berechen die Wahrscheinlichkeit [mm] $P(X_2=0)$ [/mm] und [mm] $P(X_3=0)$ [/mm] für die
Anfangsverteilung [mm] $P(X_0=0)=P(X_0=1)=\bruch{1}{2}$
[/mm]
Ich habe da jetzt so ein ähnliches beispiel neben mir liegen komm aber
nicht ganz darauf wie man auf die Wahrscheinlichkeit kommt ...
Ich habe mir einen Übergangsgraphen zu dieser Matrix gezeichnet
(jeder ist mit jedem verbunden , auch mit sich selbst! ) und über die
Verindungen hab ich die Wahrscheinlichkeiten und irgendwie muss man den
"Wegen","Pfaden" folgen oder so ...
Aber ich steh irgendwie auf der Leitung ...
Kann mir jemand helfen ?
mfg Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:20 Mi 26.01.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Martin!
Wie ist denn der dritte Zustand?'Wir haben [mm] $E=\{0,1,?\}$. [/mm] Was ist "?"? Wir müssen das klären, sonst weiß ich nicht, wie die Übergangsmatrix angeordnet ist.
Viele Grüße
Julius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:56 Mi 26.01.2005 | | Autor: | martin_zi |
Hallo
meinst du den Zustandsraum ? [mm] $E=\{0,1,2\}$ [/mm] bzw [mm] $E=\{0,1,2\}$
[/mm]
ok hab ich vergessen sorry
mfg martin
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:01 Mi 26.01.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Dann ist [mm] $P(X_2=0)$ [/mm] einfach die erste Komponente des Vektors
[mm]\pmat{ \bruch{3}{10} & \bruch{1}{5} & \bruch{1}{2}\\ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{10} & \bruch{2}{5} \\ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{5} & \bruch{3}{10} }^2 \cdot \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
und [mm] $P(X_3=0)$ [/mm] die erste Komponente des Vektors
[mm]\pmat{ \bruch{3}{10} & \bruch{1}{5} & \bruch{1}{2}\\ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{10} & \bruch{2}{5} \\ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{5} & \bruch{3}{10} }^3 \cdot \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{pmatrix}[/mm].
Jetzt aber mal an's fröhliche Rechnen, das ist dein Part. 
Viele Grüße
Julius
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> Hallo!
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> Dann ist [mm]P(X_2=0)[/mm] einfach die erste Komponente des
> Vektors
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> [mm]\pmat{ \bruch{3}{10} & \bruch{1}{5} & \bruch{1}{2}\\ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{10} & \bruch{2}{5} \\ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{5} & \bruch{3}{10} }^2 \cdot \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> und [mm]P(X_3=0)[/mm] die erste Komponente des Vektors
>
> [mm]\pmat{ \bruch{3}{10} & \bruch{1}{5} & \bruch{1}{2}\\ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{10} & \bruch{2}{5} \\ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{5} & \bruch{3}{10} }^3 \cdot \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{pmatrix}[/mm].
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>
> Jetzt aber mal an's fröhliche Rechnen, das ist dein Part.
>
>
> Viele Grüße
> Julius
Hallo
Ja rechnen tu ich dann selber :)
Aber magst du mir das vielleicht ein bisschen erleutern wie
du darauf kommst ?
Ok auf das Risiko mich lächerlich zu machen: :)
Mich verwirrt z.b [mm] $X_3$ [/mm] es gibt doch gar keinen 3en Zustand
Ok vielleicht hab ich ja wieder mal Probleme die mathematische schreibeweise
aus meinem Skriptum zu lesen ... :)
Also für n Schritte habe ich hier [mm] $P^{n}_{xy}=W_{s_x}\{X_n=y\}$
[/mm]
aber wie bringst du den Anfangszustand rein ? nur durch das multiplizieren des
Vektors ?
würde der Vektor für $ [mm] P(X_0=0)=P(X_0=1)P(X_0=2)=\bruch{1}{2} [/mm] $
dann so aussehen ? : [mm] $\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} [/mm] $
Wie würde die Wahrscheinlichkeit für z.b $ [mm] P(X_2=1) [/mm] $ aussehen ?
mfg Martin
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Gruss!
Aus Deinen Fragen schliesse ich, dass Du das alles nicht wirklich verstanden hast.
Also: es gibt einen Zustandsraum, der besteht aus 3 Elementen (0, 1 und 2). Das heisst, dass die Zufallsvariable X zu jedem Zeitpunkt einen der 3 Zustaende einnehmen kann.
Was soll das heissen, "zu jedem Zeitpunkt"? Nun, man stellt sich vor, dass es sich um ein System handelt, bei dem das X im Lauf der Zeit den Wert wechselt - und die jeweilige Wahrscheinlichkeit haengt von dem Zustand ab, in dem sich das X befindet. Ist das X z.B. in Zustand 1, so betraegt die W.keit, dass das so bleibt gerade [mm] $\frac{3}{10}$.
[/mm]
Um die verschiedenen Zeitpunkte darzustellen, wird an das X ein Index angehaengt. [mm] $X_0$ [/mm] ist der Startzustand, [mm] $X_1$ [/mm] ist der Zustand eine Zeiteinheit spaeter (evtl. ist das $X$ ja "gesprungen") etc.
Damit sollte jetzt klar sein, wie man auf die Berechnungen kommt - das ist schlicht lineare Algebra.
Am Rande: Natuerlich ist [mm] $P(X_0 [/mm] = 2) = 0$, da die Zustaende 0 bzw. 1 schon mit W.keit von jeweils [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] auftreten - d.h. fuer den dritten Zustand bleibt ncihts uebrig, die Gesamtwahrscheinlichkeit ist ja stets gleich 1.
Lars
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Hallo !
Danke erstmal ...
Ich wollte gerade als ich deine "erste" Antwort gelesen hatte schreiben ,
daß sich die 2en Fragen fast erübrigt haben ...
Trotzdem ist die Antwort sehr hilfreich !
Dennoch Frag ich jetzt nur mal so um sicher zu gehen das ichs jetzt einigermaßen verstanden
habe
Ich hoffe ihr versteht meine Worte vom Sinn her!
bin keine Mathematiker wie ihr sicher schon wisst
Also Die Übergangsmatrix beschreibt ja mit welcher Wahrscheinlichkeit
man von einem Zustand in den nächsten hupft ...
ich nehem mal meine Matrix her.
In der ersten Zeile stehet also wie man mit der gegeben Wahrscheinlichkeit
von diesem Zustand weg kommt. Also mit 3/10 wieder auf zustand 0
mit der wahrscheinlichkeit 1/5 zu Zustand 1 mit wahr. 1/2 zu zustand 2
d.h wenn ich alle Elemente in den einzelnen Zeilen der Matrix aufsummiere
kommt 1 heraus.
Graphisch: alle Pfeile die vom zustand weggehen müssen in Summe 1 ergeben
(so kann man leicht kontrollieren ob ein Fehler beim Zeichne passiert ist)
Ich habe da nämlich noch ein Bsp wo pro Zeile eine Wahrscheinlichkeit fehlt !
und die zu berechnen ist.
Mit dieser von obenen genannten Eigenschaft kann ich die nur leicht berechnen.
Aber wie sieht das mit dem Langzeitverhalten aus?
Angenommen (gleiche Übergangsmatrix)
Jeder Prozess in welcher der Prozess in den Zustand 0,1,2 kommt
Kostet 2,5,3 Euro. Was sind die Langzeitkosten pro Periode ?
Also ich hab mir zuerstmal überlegt das jetzt die Spalten interessanter werden
die beschreiben ja wie man zu den zustand kommt.
bzw [mm] P^n
[/mm]
Trotzdem bin ich noch beim Grübeln ....
bin also auch hier für Gedankenanstösse dankbar :)
mfg martin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:32 Di 01.02.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Sagen wir es so: Alle Gedanken von dir, die ich nachvollziehen konnte, stimmen. Am Schluss weiß ich leider nicht, was du genau meinst.
Viele Grüße
Julius
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> Hallo!
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> Dann ist [mm]P(X_2=0)[/mm] einfach die erste Komponente des
> Vektors
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> [mm]\pmat{ \bruch{3}{10} & \bruch{1}{5} & \bruch{1}{2}\\ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{10} & \bruch{2}{5} \\ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{5} & \bruch{3}{10} }^2 \cdot \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
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>
> und [mm]P(X_3=0)[/mm] die erste Komponente des Vektors
>
> [mm]\pmat{ \bruch{3}{10} & \bruch{1}{5} & \bruch{1}{2}\\ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{10} & \bruch{2}{5} \\ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{5} & \bruch{3}{10} }^3 \cdot \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{pmatrix}[/mm].
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>
> Jetzt aber mal an's fröhliche Rechnen, das ist dein Part.
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>
Hi nochmal ich hab das
jetzt mal durchgerechnet ... natürlich kommt als Lösung
ein Vektor raus ... und was macht man damit ??
Ich meine die Wahrschnlichkeit ist doch eine Zahl ??
Kaum ist eine Frage ein beantwortet hat sie schon junge :(
mfg Martin
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Gruss!
Ohne Dir zu nahe treten zu wollen: dass da ein Vektor rauskommt, stand da auch schon... genauer lautete die Hilfestellung: "Die gesuchte Loesung ist die ERSTE KOMPONENTE des folgenden Vektors..."
Und das ist ganz gewiss eine Zahl. *zuversichtlich ist*
Lars
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