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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:11 So 13.04.2008 | | Autor: | ThomasK |
| Aufgabe | Hallo, ich hab ein paar probleme mit dieser Aufgabe
Es sei [mm] \pmat{ 0.3 & 0.3 &0.4 \\ 0.2 & 0.7 & 0.1 \\ 0.2 &0.3&0.5 }
[/mm]
eine Übergangsmatrix einer homogenen Markov'schen Kette über dem Zustandsraum {1,2,3}
a) Klassifizieren Sie die Zustände
b) Bestimmen Sie die stationäre Verteilung
c) Bestimmen Sie den Erwartungswert [mm] \mu_{1} [/mm] der ersten Rückkehrzeit in den Zustand 1
d) Geben Sie die Übergangsmatrix einer beliebigen Markov-Kette an, die genau vier Zustände hat, von denen genau einer absorbierend ist.
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Leider komme ich nicht so richtig voran, wäre lieb, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:34 So 13.04.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo Thomas,
die Übergangsmatrix gibt ja an, mit welcher Wahrscheinlichkeit sich in aufeianderfolgenden Zeitschritten ein Zustand ändert. bei Dir gibt es drei Zustände und jetzt weiss ich aber nicht, nach welchen Gesichtspunkten Du eine Klassifizierung vornehmen sollst. Die Elemente auf der Hauptdiagonalen geben ja an, mit welcher Wahrscheinlichkeit der einmal angenommene Zusand nicht mehr verlassen wird. Im Zustand 2 ist diese Chance größer als in den beiden anderen Zuständen.
Die stationäre Verteilung ist diejenige Verteilung, die sich nicht mehr ändert. Multipliziert man die Übergangsmatrix mit der Anfangsverteilung der Zustände ergibt sich daraus ja die Verteilung im nächsten Zeittakt, dies wiederum multipliziert mit der Übergangsmatrix führt zum Ergebnis im übernächsten Takt usw. usw. Irgendwann rührt sich nichts mehr, die stationäre Verteilung ist erreicht.
rwartungswerte für bestimmte Zutsände lassen sich damit natürlich auch berechnen.
Fange einfach mal an.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 So 13.04.2008 | | Autor: | ThomasK |
Danke für die schnelle Antwort
a) die Zustände 1,2,3 sind wesentlich
die Markov'sche Kette ist irreduzibel, da es mehr als eine Klasse wesentliche Zustände gibt, nämlich 3 Klasse (1,2,3) ?
Die Zustände müssten alle rekurent sein, da ein Zustand i unendlich oft erreicht wird mit Wkt. 1
Die Zustände sind periodisch mit Periode 1, auch wenn ich mir nicht sicher bin
Das erstmal zu a)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:18 So 13.04.2008 | | Autor: | ThomasK |
sie ist reduziebel, da es eine Klasse wesentlicher Zustände gibt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 So 13.04.2008 | | Autor: | ThomasK |
die stationäre Verteilung:
[mm] \pi_1*0,3+\pi_2*0,2+\pi_3*0,2 [/mm] = [mm] \pi_1
[/mm]
[mm] \pi_1*0,3+\pi_2*0,7+\pi_3*0,3 [/mm] = [mm] \pi_2
[/mm]
[mm] \pi_1*0,4+\pi_2*0,1+\pi_3*0,5 [/mm] = [mm] \pi_3
[/mm]
=> [mm] \pi_1= [/mm] -0,3 ; [mm] \pi_2=0,7166 [/mm] ; [mm] \pi_3 [/mm] = 0,5833
ist das soweit richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:19 So 13.04.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo Thomas,
die Gleichungen sind okay, die Lösung kann es aus den folgenden Gründen nicht sein:
a) Eine negative Wahrscheinlichkeit kann nicht auftreten
b) Die Summe über alle Zustände muss 1 ergeben.
Gruß,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:41 So 13.04.2008 | | Autor: | ThomasK |
ja das stimmt, ich hab nochmal nachgerechnet und komme auf
[mm] \pi_1=2/9 [/mm] ; [mm] \pi_2=1/2 [/mm] ; [mm] \pi_3=5/18
[/mm]
sind a und b soweit richtig?
könntest du noch was zu c und d sagen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 So 13.04.2008 | | Autor: | Infinit |
Prima, das sieht doch jetzt viel besser aus, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Bei d) kannst Du Dir irgendeine Markov-Matrix einfallenlassen, die für einen Zustand den Wert 1 besitzt. Dann ist dieser Zustand absorbierend. Bei c) muss ich nochmal etwas mir überlegen.
Toi, toi, toi erst mal,
Infinit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:10 So 13.04.2008 | | Autor: | Infinit |
Für den Erwartungswert der Rückkehrwahrscheinlichkeit in den ersten Zustand würde ich mir ein Zustandsdiagramm für die drei Zustände aufzeichnen und dann mit Hilfe der Übergangswahrscheinlichkeiten mir überlegen, wann ich wieder in den ersten Zustand zurückkommen kann, wenn ich von diesem Zustand ausgehe.
Ein Beispiel hierfür habe ich ![[]](/images/popup.gif)
hier ab Folie 74 gefunden.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:05 So 13.04.2008 | | Autor: | ThomasK |
Danke für deine Hilfe :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:50 So 13.04.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo Thomas,
ich habe mich erst durch die Definition der Periodenlänge irre machen lassen, sie aber nun noch mal nachgelesen. Demzufolge hast Du mit Deiner Angabe recht und der Rest der Aufgabe ist auch okay.
Viele Grüße,
Infinit
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