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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:44 Mi 10.12.2008 | | Autor: | julie |
Hallo,
Ich habe mal eine Frage!
Wenn ich eine Markow-Kette folgenderweise definiere:
[mm] X_{n}=\begin{cases} -1, & \mbox{für } X_{n-1} = 1 \\ 0, & \mbox{für } X_{n-1}= -1 \\ 1, & \mbox{für } X_{n-1}= 0 \end{cases}
[/mm]
(Zustandsraum ist also {-1, 0, 1})
und folgende Funktion betrachte: [mm] F_{n}(X_{n}) [/mm] = [mm] |X_{n}|
[/mm]
Warum ist diese Funktion dann nicht mehr Markowsch? Wie zeige ich das? Gibt es noch andere Beispiele bei der die Funktion einer Markow-Kette nicht mehr Markow ist?
Vielen Dank für eure Hilfe,
die julie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Blech |
> Hallo,
> Ich habe mal eine Frage!
> Wenn ich eine Markow-Kette folgenderweise definiere:
>
> [mm]X_{n}=\begin{cases} -1, & \mbox{für } X_{n-1} = 1 \\ 0, & \mbox{für } X_{n-1}= -1 \\ 1, & \mbox{für } X_{n-1}= 0 \end{cases}[/mm]
>
> (Zustandsraum ist also {-1, 0, 1})
>
> und folgende Funktion betrachte: [mm]F_{n}(X_{n})[/mm] = [mm]|X_{n}|[/mm]
>
> Warum ist diese Funktion dann nicht mehr Markowsch? Wie
[mm] $F(X_{n-2})=0$ $\Rightarrow X_{n-2}=0$ $\Rightarrow X_{n-1}=1$ $\Rightarrow X_n=-1$ $\Rightarrow F(X_n)=1$
[/mm]
andererseits kannst Du aus dem Wissen [mm] $F(X_{n-1})=1$ [/mm] nicht schließen, ob [mm] $F(X_n)=1$ [/mm] oder $=0$.
D.h. der Zustand vor 2 Zeitpunkten enthält Informationen über die Gegenwart, die Du aus dem vorhergehenden Zustand nicht erhältst. Also ist sie nicht Markowsch.
> zeige ich das? Gibt es noch andere Beispiele bei der die
> Funktion einer Markow-Kette nicht mehr Markow ist?
Das Muster ist, daß Du einen Informationsverlust hast (hier das Vorzeichen), den Du aber durch Informationen in der ferneren Vergangenheit beheben kannst.
Das Quadrat der Kette verhält sich genauso wie der Betrag =)
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 Mi 10.12.2008 | | Autor: | julie |
erstmal Danke für deine Antwort, aber das war mir schon klar! 
Mir geht es darum wie ich das formal aufschreibe..mhh ich versuche schon die ganze Zeit einfach die Markow-Eigenschaft überprüfen..aber ich bekomms nicht hin..mh wahrscheinlich hab ich es noch nicht ganz verstanden, hilfst du mir auf die Sprünge?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Blech |
Annahme: [mm] $F(X_i)$ [/mm] ist Markovsch.
$ [mm] F(X_{n-2})=0, F(X_{n-1})=1 \Rightarrow F(X_n)=1$
[/mm]
$Rightarrow$ (alle bekannte Information über die Gegenwart ist im aktuellsten bekannten Zustand enthalten. Das ist die Markoveigenschaft.)
[mm] $F(X_{n-1})=1\Rightarrow F(X_n)=1$
[/mm]
Das stimmt aber nicht; Widerspruch [mm] $\Rightarrow$ [/mm] nicht Markovsch.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:25 Do 11.12.2008 | | Autor: | julie |
Tut mir leid, ich verstehs nicht..:-(
Wovon gehst du überhaupt aus? Ich mein, woher weißt du das wenn es bei 0 "losgeht" ich im nächsten Schritt bei 1 bin? Ich kann doch auch bei 0 bleiben?
Und kann man nicht irgentwie mit der Wahrscheinlichkeit argumentiere?
Also [mm] P(X_{n}=1 [/mm] | [mm] X_{n-1} [/mm] = 0 ...) = ... in die Richtung?
ICh weiß nur nicht wie ich daran gehen soll!
Sry, ich versteh deine Vorgehensweise einfach nicht..zB. warum [mm] F(X_{n-1}) [/mm] = 1 => [mm] F(X_{n}) [/mm] = 1 ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:27 Do 11.12.2008 | | Autor: | Blech |
> Tut mir leid, ich verstehs nicht..:-(
>
> Wovon gehst du überhaupt aus? Ich mein, woher weißt du das
> wenn es bei 0 "losgeht" ich im nächsten Schritt bei 1 bin?
> Ich kann doch auch bei 0 bleiben?
> Und kann man nicht irgentwie mit der Wahrscheinlichkeit
> argumentiere?
Welche Wahrscheinlichkeit? Die Kette, die Du definiert hast ist deterministisch.
$ [mm] X_{n}=\begin{cases} -1, & \mbox{für } X_{n-1} = 1 \\ 0, & \mbox{für } X_{n-1}= -1 \\ 1, & \mbox{für } X_{n-1}= 0 \end{cases} [/mm] $
[mm] $X_{n-2} [/mm] = 0$ [mm] $\Rightarrow X_{n-1}=1$ $\Rightarrow X_n=-1$
[/mm]
> warum [mm]F(X_{n-1})[/mm] = 1 => [mm]F(X_{n})[/mm] = 1 ??
[mm] $X_{n-2}=0 \Leftrightarrow F(X_{n-2})=0$, [/mm] also wissen wir, wie die Kette weitergeht:
$ [mm] F(X_{n-2})=0, F(X_{n-1})=1 \Rightarrow F(X_n)=1 [/mm] $
Wäre F(X) Markovsch, müßte uns das Wissen über den Zeitpunkt n-1 ausreichen, das über n-2 dürfte uns keine zusätzlichen Informationen liefern, also müßten wir die Information [mm] $F(X_{n-2})=0$ [/mm] streichen können.
Können wir aber nicht, denn aus [mm] $F(X_{n-1})=1$ [/mm] wissen wir nicht, wie's weitergeht, weil [mm] $X_{n-1}$ [/mm] 1 oder -1 sein kann und die beiden Fälle zu unterschiedlichen Werten von [mm] $F(X_n)$ [/mm] führen.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:55 Do 11.12.2008 | | Autor: | julie |
hey
haha danke, ist ja eigentlich ganz einfach! Danke für deine Gedult!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:06 Do 11.12.2008 | | Autor: | Blech |
Kein Problem. Ich hab Erfahrung mit dem auf Schläuchen Stehen.
Hatte mich nur langsam gefragt, ob ich bei Deiner Definition was falsch verstanden hatte. =)
ciao
Stefan
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