Markow: Stationäre Verteilung < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Do 16.03.2017 | | Autor: | oli_k |
| Aufgabe | Übergangsmatrix [mm] (0<\beta<1):
[/mm]
[mm] \pmat{ 1-\beta & \beta & 0 & 0 & 0 \\ 1-\beta & 0 & \beta & 0 & 0 \\ 0 & 1-\beta & 0 & \beta & 0 \\ 0 & 0 & 1-\beta & 0 & \beta \\ 0 & 0 & 0 & 1-\beta & \beta }
[/mm]
Angenommen, [mm] \beta\not=\bruch{1}{2}.
[/mm]
Finde für die stationäre Verteilung [mm] \pi=\pmat{ \pi_{0} & \pi_{1} & \pi_{2} & \pi_{3} & \pi_{4} } [/mm] eine generelle Lösung der Form [mm] \pi_{i}=K\alpha_{1}^{i}+L\alpha_{2}^{i}. [/mm] |
Hallo zusammen!
Zunächst mal können wir ja sagen:
[mm] \pi_{0}=(1-\beta)\pi_{0}+(1-\beta)\pi_{1} [/mm] für i=0
[mm] \pi_{i}=\beta\pi_{i-1}+(1-\beta)\pi_{i+1} [/mm] für i=1,2,3
[mm] \pi_{4}=\beta\pi_{3}+\beta\pi_{4} [/mm] für i=4
Außerdem muss [mm] \summe_{}^{}\pi_{i}=1 [/mm] sein.
Jetzt habe ich mal damit angefangen, [mm] \pi_{i}=\alpha^{i} [/mm] für i=1 einzusetzen und komme als Lösung auf [mm] \alpha=\bruch{\beta}{\beta-1}. [/mm] Das wäre vielleicht ein guter Kandidate für [mm] \alpha_{1}?
[/mm]
Leider bin ich von hier an relativ hilflos. [mm] \pi_{0}=K+L [/mm] scheint noch interessant zu sein, aber das bringt mich auch nicht so richtig weiter...
Wie sollte ich von hier aus weiter vorgehen? Bin für jeden Hinweis dankbar!
Vielen Dank!
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:08 Do 16.03.2017 | | Autor: | oli_k |
Sorry, bei meinem [mm] \alpha [/mm] fehlt natürlich ein Minus!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Do 16.03.2017 | | Autor: | oli_k |
Vielen Dank dafür!
Bzgl. "warum" - haben den Tipp von unserem Dozenten bekommen und sollten dem wohl folgen...
Edit: Ah, Moment mal - die beiden Alphas sind nicht gleich, auch [mm] \alpha=1 [/mm] ist eine Lösung der Gleichung... Also ist [mm] \alpha_{2}=1. [/mm] Jetzt bin ich bei
[mm] \pi_{i}=K(\bruch{\beta}{1-\beta})^{i}+L
[/mm]
Nun fehlt mir aber außer Summe=1 noch eine weitere Randbedingung, um L loszuwerden... Vermutlich wird L=0 und wir sind bei deiner Lösung, aber wie komme ich da von hier aus drauf?
Edit 2: Einsetzen in die erste Gleichung sagt mir L=0 oder [mm] \beta=0.5 [/mm] - das klingt gut oder? Intuitiv würde ich sagen für [mm] \beta=0.5 [/mm] sind die [mm] \pi [/mm] alle gleich, also kann L jeden Wert annehmen - weil er anschließend von K ohnehin skaliert wird. Macht das Sinn?
Vielen Dank!
|
|
|
| |
|
Hiho,
>
> Edit: Ah, Moment mal - die beiden Alphas sind nicht gleich,
> auch [mm]\alpha=1[/mm] ist eine Lösung der Gleichung...
Erstmal: Was soll denn [mm] $\alpha$ [/mm] immer sein? Gesucht sind doch [mm] $\alpha_1$ [/mm] und [mm] \alpha_2 [/mm] also nix mit [mm] $\alpha$
[/mm]
> Also ist [mm]\alpha_{2}=1.[/mm]
Warum das so sein sollte, sehe ich (leider) immer noch nicht.
Warum verfolgst du nicht den Ansatz, den ich dir aufgezeigt habe?
> Edit 2: Einsetzen in die erste Gleichung sagt mir L=0 oder
> [mm]\beta=0.5[/mm] - das klingt gut oder? Intuitiv würde ich sagen
> für [mm]\beta=0.5[/mm] sind die [mm]\pi[/mm] alle gleich, also kann L jeden Wert annehmen
[mm] $\beta [/mm] = 0.5$ ist in der Aufgabenstellung doch ausgeschlossen!
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:23 Sa 18.03.2017 | | Autor: | oli_k |
Hi!
Also, mit [mm] \alpha [/mm] meine ich die Nullstellen, wenn ich [mm] \pi_{i}=\alpha^{i} [/mm] (für i=1) als Ansatz nehme. Da kommen nämlich [mm] \alpha_{1}=\bruch{\beta}{1-\beta} [/mm] und eben [mm] \alpha_{2}=1 [/mm] raus.
Das vereinfacht die generelle Gleichung zu [mm] \pi_{i}=K(\bruch{\beta}{1-\beta})^{i}+L. [/mm] Das in die erste Gleichung eingesetzt gibt mir [mm] \beta=0.5 [/mm] (ausgeschlossen) oder L=0, also bin ich bei [mm] \pi_{i}=K(\bruch{\beta}{1-\beta})^{i}.
[/mm]
Mit [mm] \summe_{}^{}\pi=1 [/mm] komme ich dann schließlich auf [mm] K=\bruch{1}{1+\bruch{\beta}{\beta-1}+(\bruch{\beta}{\beta-1})^2+(\bruch{\beta}{\beta-1})^3+(\bruch{\beta}{\beta-1})^4}
[/mm]
Das entspricht also dann endlich deiner Lösung. Ich weiß, da wären wir mit deinem Ansatz schneller hingekommen, aber ich wollte dem vorgegebenen Hinweis folgen (der vermutlich allgemeingültiger ist?)...
Jetzt bleibt nur noch die Frage - lässt sich das Ganze noch irgendwie schöner ausdrücken? Abgesehen von vielleicht [mm] \pi_{i}=\bruch{(\bruch{\beta}{\beta-1})^i}{\summe_{j=0}^{4}(\bruch{\beta}{\beta-1})^j} [/mm] ?
Herzlichen Dank nochmal!
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Also, mit [mm]\alpha[/mm] meine ich die Nullstellen, wenn ich
> [mm]\pi_{i}=\alpha^{i}[/mm] (für i=1) als Ansatz nehme.
Welche Nullstellen denn?
Also von welcher Gleichung? Und warum sollten die Nullstellen dieser ominösen Gleichungen irgendwelche Lösungen sein?
> Da kommen
> nämlich [mm]\alpha_{1}=\bruch{\beta}{1-\beta}[/mm] und eben
> [mm]\alpha_{2}=1[/mm] raus.
Dann schränkst du damit deine Lösungsmenge aber erheblich ein, weil das nur Lösungen sind, wenn $L=0$ ist (worauf du ja auch später kommst).
Aber wenn $L=0$ ist, kannst du für [mm] $a_2$ [/mm] ja alles nehmen, also auch [mm] $a_2 [/mm] = [mm] \sqrt{2}$
[/mm]
Für die allgemeine Lösung gilt eben ohne weitere Vorannahmen: [mm] $\pi_i [/mm] = [mm] \frac{\beta^i}{(1-\beta)^i}(K+L)$ [/mm] was sofort [mm] $a_1 [/mm] = [mm] a_2 [/mm] = [mm] \frac{\beta}{(1-\beta)}$ [/mm] zur Folge hat.
Aufgrund [mm] $\sum_{k=0}^4 \pi_i [/mm] = 1$ ergibt sich daraus: [mm] $(K+L)\sum_{k=0}^4 \frac{\beta^i}{(1-\beta)^i} [/mm] = 1$ und mit der geometrischen Summenformel [mm] $\sum_{k=0}^4 q^k [/mm] = [mm] \frac{1-q^5}{1-q}$ [/mm] ergibt sich damit:
[mm] $(K+L)\frac{1-\beta^5}{(1-2\beta)(1-\beta)^4} [/mm] = 1$
Das ist und bleibt die einzige Abhängigkeit zwischen K und L.
Da [mm] $\pi_0 [/mm] = K+L$ gilt, kannst du mit obiger Gleichung zwar [mm] $\pi_0$ [/mm] eindeutig bestimmen, aber eben nicht K und L gleichzeitig. Es sei denn, du hast mir eine Bedingung verschwiegen 
Gruß,
Gono
> Jetzt bleibt nur noch die Frage - lässt sich das Ganze
> noch irgendwie schöner ausdrücken? Abgesehen von
> vielleicht
> [mm]\pi_{i}=\bruch{(\bruch{\beta}{\beta-1})^i}{\summe_{j=0}^{4}(\bruch{\beta}{\beta-1})^j}[/mm]
> ?
>
> Herzlichen Dank nochmal!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Sa 18.03.2017 | | Autor: | oli_k |
Hi nochmal,
was ich dir vielleicht verschwiegen habe: Die Aufgabenstellung teilt sich auf in a) bestimme [mm] \alpha_{1} [/mm] und [mm] \alpha_{2} [/mm] und b) bestimme K und L.
Zu a) hat er eben den Tipp gegeben, für i=1,2,3 mal [mm] \pi_{i}=\alpha^{i} [/mm] einzusetzen, und das führt eben mit [mm] (1-\beta)\alpha^2-\alpha+\beta=0 [/mm] zu [mm] \alpha_{1}=\bruch{\beta}{1-\beta} [/mm] und [mm] \alpha_{2}=1.
[/mm]
Nun kommen wir ja im Endeffekt auf das gleiche Ergebnis - dein K+L ist eben mein K, da bei mir L=0 und deine beiden [mm] \alpha [/mm] identisch. Da in der Aufgabe explizit nach Werten für K und L gefragt ist, werde ich wohl nach meinem Weg vorgehen müssen...
Du schreibst "Dann schränkst du damit deine Lösungsmenge aber erheblich ein, weil das nur Lösungen sind, wenn L=0 ist" - das weiß ich aber doch vorher nicht, das L berechne ich doch später entsprechend oder?
Hoffe, du kannst ein bisschen nachvollziehen, was ich gemacht habe - ist der vom Prof vorgeschlagene Ansatz dann scheinbar eher nicht so geläufig?
Vielen Dank!
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Zu a) hat er eben den Tipp gegeben, für i=1,2,3 mal [mm]\pi_{i}=\alpha^{i}[/mm] einzusetzen
Und da haben wir ja die Annahme, die die Aufgabe auch so nebenbei total sinnfrei macht.
Erst mal zur Einschränkung: Klar ist dir hoffentlich, dass auf jeden Fall $0 [mm] \le \alpha \le [/mm] 1$ gelten muss.
Damit erhälst du aber auch, dass [mm] $\alpha^1 \ge \alpha^2 \ge \alpha^3$ [/mm] gilt und damit insbesonder die Einschränkung [mm] $\pi_1 \ge \pi_2 \ge \pi_3$
[/mm]
D.h. du schränkst deine Lösungsmenge auf genau den Fall ein… was später dazu führt, dass du K und L eindeutig bestimmen kannst… unter deinen gemachten Einschränkungen.
> und das führt eben mit
> [mm](1-\beta)\alpha^2-\alpha+\beta=0[/mm] zu
du hättest ruhig erwähnen können, wie du dann darauf kommst…
aber ich tippe mal auf schlichtes Einsetzen in die mittlere Formel.
> [mm]\alpha_{1}=\bruch{\beta}{1-\beta}[/mm] und [mm]\alpha_{2}=1.[/mm]
Das sind aber nicht deine gesuchten [mm] $\alpha_i$s!
[/mm]
Da steht ja nur "zufällig" [mm] $\alpha_1$ [/mm] und [mm] $\alpha_2$, [/mm] weil du deine Lösungen der quadratischen Gleichung so bezeichnest. Die haben aber erst mal nix mit den gesuchten [mm] $\alpha_1$ [/mm] und [mm] $\alpha_2$ [/mm] zu tun… deine Lösung entspricht also ein "Lösen durch zufälliges Gleichnennen" und ist schlichtweg also gar keine.
Sauber aufgeschrieben wäre das sowieso gewesen: [mm] $\alpha [/mm] = [mm] \bruch{\beta}{1-\beta} \vee \alpha=1$, [/mm] denn du suchst ja Lösungen für [mm] $\alpha$!
[/mm]
Aber was korrekt ist: Die Nullstellen dieser Gleichung sind mögliche Lösungen für dein [mm] $\alpha$!
[/mm]
Man erkennt auch sofort, dass die zweite Lösung nicht sinnvoll ist, weil dann gelten würde [mm] $\pi_1 [/mm] = [mm] \pi_2 [/mm] = [mm] \pi_3 [/mm] = [mm] \alpha [/mm] = 1$, was aber aufgrund der Einschränkung [mm] $\summe \pi_i [/mm] = 1$ nicht sein kann!
Bleibt also nur: [mm] $\alpha [/mm] = [mm] \bruch{\beta}{1-\beta}$ [/mm] und das nehmen wir jetzt mal an.
Was du nun also hast, ist einerseits:
[mm] $\pi_i [/mm] = [mm] \alpha^i$ [/mm] für $i = 1,2,3$
und andererseits:
[mm] $\pi_i [/mm] = [mm] K\alpha_1^i [/mm] + [mm] L\alpha_2^i$ [/mm] für $i=1,2,3$
Denn: Wir suchen ja immer noch [mm] $K,L,\alpha_1$ [/mm] und [mm] $\alpha_2$ [/mm] wir haben also noch gar nix gewonnen!
Und wenn wir das jetzt alles mal sauber aufschreiben, was wir haben, erhalten wir erst mal folgendes Gleichungssystem:
[mm] $\pi_0 [/mm] = K+L$
[mm] $\alpha [/mm] = [mm] K\alpha_1 [/mm] + [mm] L\alpha_2$
[/mm]
[mm] $\alpha^2 [/mm] = [mm] K\alpha_1^2 [/mm] + [mm] L\alpha_2^2$
[/mm]
[mm] $\alpha^3 [/mm] = [mm] K\alpha_1^3 [/mm] + [mm] L\alpha_2^3$
[/mm]
Und jetzt hast du ein Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 4 unbekannten, dass du mal lösen könntest…
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:40 Mi 29.03.2017 | | Autor: | oli_k |
Vielen Dank, das kann ich alles gut nachvollziehen jetzt!!
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
