Martingal und Stoppzeit < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 Fr 03.08.2012 | | Autor: | hula |
Hallöchen
Wenn ich ein Zeitstetigen Prozess [mm] $M_t$, [/mm] eine Filtration [mm] $\mathcal{F}_t$ [/mm] und eine Stoppzeit [mm] $\tau$ [/mm] habe möchte ich wissen, wieso folgendes gilt:
Wenn [mm] $M_t$ [/mm] ein Martingal zur Filtration [mm] $\mathcal{F}_{\tau\wedge t}$ [/mm] ist, dann ist es auch ein Martingal zur Filtration [mm] $\mathcal{F}_{t}$. [/mm] Danke für die Hilfe.
greetz
hula
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Hiho,
es gilt [mm] $\mathcal{F}_{\tau \wedge t} \subseteq \mathcal{F}_{t}$
[/mm]
weiterhin gilt:
Seien [mm] $\tau,\sigma$ [/mm] Stoppzeiten und $X [mm] \in \mathcal{L}^1$, [/mm] dann gilt:
[mm] $E\left[E[X|\mathcal{F}_\tau]|\mathcal{F}_\sigma\right] [/mm] = [mm] E\left[E[X|\mathcal{F}_\sigma]|\mathcal{F}_\tau\right] [/mm] = [mm] E[X|\mathcal{F}_{\tau\wedge\sigma}]
[/mm]
MFG
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Fr 03.08.2012 | | Autor: | hula |
Hallöchen Gonozal
Danke für deine schnelle Antwort. Aber ich stehe gerade auf dem Schlauch. Wie hilft mir das weiter?
Sorry für das Brett vor dem Kopf :)
greetz
hula
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:15 Mo 06.08.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo Hula,
der Tipp von mir war anscheinend auch nicht zielführend (auch bei mir bisher nicht). Hab jetzt auch ein paar andere Leute damit beschäftigt, ohne zu einem Ergebnis zu kommen. Wo hast du die Aussage denn her?
LG,
Gono.
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Hiho,
wie es im Leben halt so ist, da hat man gerade resigniert und dann die zündende Idee ^^
Also:
Nach Voraussetzung gilt:
[mm] $E[X_t [/mm] | [mm] \mathcal{F}_{\tau \wedge s}] [/mm] = [mm] X_s \quad \gdw \quad E[X_t [/mm] - [mm] X_s [/mm] | [mm] \mathcal{F}_{\tau \wedge s}] [/mm] = 0$
Weiterhin gilt: [mm] $\mathcal{F}_{\tau \wedge s} \subseteq \mathcal{F}_\tau$ [/mm] und damit ist [mm] $X_t$ [/mm] ist [mm] $\mathcal{F}_\tau$ [/mm] meßbar für alle [mm] $t\ge [/mm] 0$, daher folgt:
$0 = [mm] E[X_t [/mm] - [mm] X_s [/mm] | [mm] \mathcal{F}_{\tau \wedge s}] [/mm] = [mm] E[E[X_t [/mm] - [mm] X_s [/mm] | [mm] \mathcal{F}_\tau]|\mathcal{F}_s [/mm] ] = E [mm] [X_t [/mm] - [mm] X_s [/mm] | [mm] \mathcal{F}_s]$
[/mm]
d.h. X erfüllt die Martingaleigenschaft für [mm] $\mathcal{F}_t$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Mo 06.08.2012 | | Autor: | hula |
> Hiho,
>
> wie es im Leben halt so ist, da hat man gerade resigniert
> und dann die zündende Idee ^^
>
> Also:
>
> Nach Voraussetzung gilt:
>
> [mm]E[X_t | \mathcal{F}_{\tau \wedge s}] = X_s \quad \gdw \quad E[X_t - X_s | \mathcal{F}_{\tau \wedge s}] = 0[/mm]
>
> Weiterhin gilt: [mm]\mathcal{F}_{\tau \wedge s} \subseteq \mathcal{F}_\tau[/mm]
> und damit ist [mm]X_t[/mm] ist [mm]\mathcal{F}_\tau[/mm] meßbar für alle
> [mm]t\ge 0[/mm], daher folgt:
>
Wieso gilt das, i.e. wieso sollte [mm] $X_t$ [/mm] für alle $t$ [mm] $\mathcal{F}_\tau$ [/mm] messbar sein? Sorry das sehe ich nicht ein.
> [mm]0 = E[X_t - X_s | \mathcal{F}_{\tau \wedge s}] = E[E[X_t - X_s | \mathcal{F}_\tau]|\mathcal{F}_s ] = E [X_t - X_s | \mathcal{F}_s][/mm]
>
> d.h. X erfüllt die Martingaleigenschaft für
> [mm]\mathcal{F}_t[/mm]
>
> MFG,
> Gono.
Danke für deine Hilfe.
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Hiho,
es gilt: [mm] $\mathcal{F}_{\tau\wedge t} \subseteq \mathcal{F}_\tau$
[/mm]
Da M ein [mm] $\left(\mathcal{F}_{\tau\wedge t}\right)_{t\ge 0}$ [/mm] Martingal ist, ist M adaptiert und daher jedes [mm] M_t [/mm] halt [mm] \mathcal{F}_{\tau\wedge t} [/mm] meßbar und nach obigem insbesondere [mm] \mathcal{F}_\tau [/mm] meßbar.
MFG,
Gono.
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