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| Aufgabe | Sei [mm](\Omega,\mathcal F,P) [/mm] ein W-Raum, [mm](X_n,\mathcal F_n)[/mm] ein Submartingal.
Für [mm]B_n\in\mathcal B^n[/mm] setze [mm]\varepsilon_n:=1_{((X_1,\ldots, X_n)\in B_n)}, \ \ Y_n:=X_1+\sum\limits_{i=1}^{n-1}\varepsilon_i(X_{i+1}-X_{i})[/mm].
Dann ist [mm](Y_n,\mathcal F_n)[/mm] ein Submartingal. |
Hallo zusammen,
die Aussage ist ja klar und auch leicht nachzuweisen.
Woran es mir mangelt, ist eine Art Vorstellung vom "optional skipping".
Was bedeutet es, gibt es einen dt. Ausdruck dafür, wie interpretiert man es und wie interpretiert man die ZV [mm]Y_n[/mm] ?
Es wäre nett, wenn mir jemand beistehen könnte ...
Danke !!
Lieben Gruß
schachuzipus
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Hiho,
vorweg: Ich lass die Frage mal auf halb beantwortet, weil mir selbst dabei noch einiges unklar ist.
Die Frage vorweg: Bist du dir sicher, dass der Prozess so definiert ist? Denn nach allem was ich zu "optional skipping" online finden konnte, entspricht nicht ganz dem, was du gepostet hast. Das [mm] X_1 [/mm] in der Summe macht mMn nicht wirklich Sinn, daher die Rückfrage.
> die Aussage ist ja klar und auch leicht nachzuweisen.
Das würde mich mal interessieren, denn es gilt ja:
[mm] $E[Y_{n+1}|F_n] [/mm] = [mm] E[X_1+\sum\limits_{i=1}^{n}\varepsilon_i(X_1-X_{i-1})|F_n] [/mm] = [mm] X_1 [/mm] + [mm] \sum\limits_{i=1}^{n}\varepsilon_i(X_1 [/mm] - [mm] X_{i-1})$
[/mm]
da [mm] $\varepsilon_n \in F_n$.
[/mm]
[mm] Y_n [/mm] wäre also preversibel und damit kein Martingal geschweige denn Submartingal, es sei denn [mm] Y_n [/mm] wär konstant....
MFG,
Gono.
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Hallo Gono,
> Hiho,
>
> vorweg: Ich lass die Frage mal auf halb beantwortet, weil
> mir selbst dabei noch einiges unklar ist.
>
> Die Frage vorweg: Bist du dir sicher, dass der Prozess so
> definiert ist?
So steht's im Skript
> Denn nach allem was ich zu "optional
> skipping" online finden konnte, entspricht nicht ganz dem,
> was du gepostet hast. Das [mm]X_1[/mm] in der Summe macht mMn nicht
> wirklich Sinn, daher die Rückfrage.
>
> > die Aussage ist ja klar und auch leicht nachzuweisen.
>
> Das würde mich mal interessieren, denn es gilt ja:
>
> [mm]E[Y_{n+1}|F_n] = E[X_1+\sum\limits_{i=1}^{n}\varepsilon_i(X_1-X_{i-1})|F_n] = X_1 + \sum\limits_{i=1}^{n}\varepsilon_i(X_1 - X_{i-1})[/mm]
>
> da [mm]\varepsilon_n \in F_n[/mm].
>
> [mm]Y_n[/mm] wäre also preversibel und damit kein Martingal
> geschweige denn Submartingal, es sei denn [mm]Y_n[/mm] wär
> konstant....
"Preversibel" sagt mir nix, das kommt im Skript nicht vor.
M.E. geht es geradeheraus mit der Def. von [mm]Y_n[/mm]:
[mm]E[Y_{n+1}\mid\mathcal F_n]=E[Y_n+\varepsilon_n(X_{n+1}-X_n)\mid\mathcal F_n]=Y_n+\varepsilon_n(E[X_{n+1}\mid\mathcal F_n]-E[X_n\mid\mathcal F_n])=Y_n+\varepsilon_n(E[X_{n+1}\mid\mathcal F_n]-X_n)[/mm] da [mm]X_n[/mm] [mm]\mathcal F_n[/mm]-messbar
[mm]\ge Y_n+\varepsilon_n(X_n-X_n)[/mm] da [mm](X_n,\mathcal F_n)[/mm] Submart.
[mm]=Y_n[/mm]
Das ist doch genau die Submatringaleigenschaft für [mm](Y_n,\mathcal F_n)[/mm]
Oder ist das Quatsch?
>
> MFG,
> Gono.
Gruß
schachuzipus
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Oh wei, ich Honk,
wer tippen kann, ist klar im Vorteil ...
Das muss nat. heißen [mm]Y_n=X_1+\sum\limits_{i=1}^{n-1}\varepsilon_i(X_{\red{i+1}}-X_{\red{i}})[/mm] ...
Ich bessere das oben mal schnell aus, dann merkt's keiner ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:55 Mi 16.05.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
dann macht die Sache auch Sinn, ich tipsel mal ne Antwort drauf 
MFG,
Gono.
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Hiho,
auf ein neues
> Woran es mir mangelt, ist eine Art Vorstellung vom
> "optional skipping".
Grob übersetzen könnte man das wahrscheinlich mit "optionalem Aussetzen".
Betrachtet man das Martingal als Spiel, so ist das "optional sampling" halt die Modellierung von "Ich entscheide vor jedem Spiel [mm] X_i, [/mm] ob ich es mitspiele, oder nicht".
Und die Entscheidung steckt halt im [mm] $\varepsilon_n$.
[/mm]
Ist das 1, spiele ich mit, ist es 0, eben nicht.
Und die Entscheidung, ob wir im n-ten Spiel mitspielen, hängt eben von allen vorherigen Spielen ab, was sich in der Definition von $ [mm] \varepsilon_{n-1}:=1_{((X_1,\ldots, X_{n-1})\in B_{n-1})}$ [/mm] ausdrückt.
Warum ist das so?
Schauen wir uns doch mal an, was passiert, wenn wir die ersten 3 Spiele alle mitspielen, dann gilt also [mm] $\varepsilon_1=1,\varepsilon_2=1$ [/mm] und damit:
[mm] $Y_3 [/mm] = [mm] X_1 [/mm] + [mm] \sum\limits_{i=1}^{2}\varepsilon_i(X_{i+1}-X_{i}) [/mm] = [mm] X_1 [/mm] + [mm] (X_2 [/mm] - [mm] X_1) [/mm] + [mm] (X_3 [/mm] - [mm] X_2) [/mm] = [mm] X_3$, [/mm] d.h. solange wir alle Spiele mitspielen, entspricht [mm] Y_n [/mm] gerade [mm] X_n
[/mm]
Entscheiden wir uns aber nun im 4. Spiel auszusetzen, d.h. [mm] $\varepsilon_3 [/mm] = 0$ ergibt sich:
[mm] $Y_4 [/mm] = [mm] Y_3 [/mm] + [mm] \varepsilon_3*(X_4 [/mm] - [mm] X_3) [/mm] = [mm] Y_3 [/mm] = [mm] X_3$, [/mm] d.h. Y ändert sich nicht!
Darum berücksichtigt [mm] Y_n [/mm] also nur die wirklich gespielten Spiele abhängig von unseren "Entscheidungen" [mm] $\varepsilon_i$, [/mm] simuliert also "zufälliges Aussetzen".
MFG,
Gono.
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Hey Gono,
wieder einmal eine tolle Erklärung und Veranschaulichung.
Ich danke dir sehr!
Werde mir das morgen alles mal im Zusammenhang ansehen, dann sollte es "klick klack" machen.
Wenn die Prüfung rum ist, müssen wir ein unbedingt ein ![[bier]](/images/smileys/bier.gif "[bier]") trinken gehen.
Ich zahle 
Und das war sicher nicht die letzte Frage, obwohl: es sind nur noch
1 1/2 Seiten im Skript ...
Bis dann!
schachuzipus
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