Maß der Hyperebene < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:01 So 31.10.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Folgende Aufgabe ist gegeben: "Beweisen Sie, dass [mm] $\IR \subset \IR^2$ [/mm] eine [mm] $\mu_2$-Nullmenge [/mm] ist."
Wir hatten dabei [mm] $\mu_2$ [/mm] als Produkt des [mm] $\mu_1$-Lebesgue-Maß [/mm] definiert also für [mm]I \in I(\IR^2): \mu_2(I) = \mu_1(I_1) * \mu_1(I_2)[/mm]
Nun ist das bei der [mm] $\IR$-Hyperebene [/mm] Folgendes:
[mm] $\IR \subset \IR^2 \Rightarrow M:=\{(x,y) \in \IR^2 | y= a, a \in \IR\}$
[/mm]
Dann ist [mm] $\mu_2(M) [/mm] = [mm] \mu_1(\IR) [/mm] * [mm] \mu_1(\{a\}) [/mm] = [mm] \infty [/mm] * 0$
Jetzt kommt mein Problem: Der Bröcker (Analysis 2, 2. Aufl.) definiert in der Maßtheorie den Ausdruck [mm] $\infty [/mm] * 0 = 0$. Leider hatten wir in der Vorlesung eine andere Herangehensweise und haben uns deshalb mit solchen Ausdrücken nicht beschäftigt. Wir sind über die Integration von Integralen herangegangen. Wenn ich es verwenden dürfte wäre ich aber fertig. Dann ist nämlich [mm]\mu_2(M)=0[/mm] und dann wäre gezeigt, dass es eine [mm] $\mu_2$-Nullmenge [/mm] ist.
Weiss hier jemand einen Rat oder soll ich das einfach so aufschreiben? Ich könnte es ja auch als Quelle mit angeben aber letztlich hat es Herr Bröcker für seine Zwecke so definiert. Es ist ja kein Satz oder sowas. :-(
Gruß, Micha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:46 Mo 01.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Micha!
Ich würde es wie folgt aufschreiben:
Offenbar gilt:
$M = [mm] \bigcup_{n \in \IN} M_n$
[/mm]
mit
[mm] $M_n [/mm] = [-n,n] [mm] \times \{a\}$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Weiterhin ist die Folge [mm] $(M_n)_{n \in \IN}$ [/mm] isoton, d.h. es gilt:
[mm] $M_n \subset M_{n+1}$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Daher folgt aus der Stetigkeit des Maßes [mm] $\mu_2$ [/mm] von unten:
[mm] $\mu_2(M) [/mm] = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} \mu_2(M_n)$,
[/mm]
und somit wegen
[mm] $\mu_2(M_n) [/mm] = [mm] \mu_1([-n,n]) \cdot \mu_1(\{a\}) [/mm] = 2n [mm] \cdot [/mm] 0 = 0$
die Behauptung:
[mm] $\mu_2(M) [/mm] = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} [/mm] 0 = 0$.
Liebe Grüße
Stefan
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