Maß nachweisen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:50 Di 22.05.2007 | | Autor: | cutter |
| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR->\IR [/mm] Lebesgue-integrierbar.Zeigen Sie,dass
[mm] \mu(B)=\integral{f(x)1_B dx} B\in \mathcal{B} [/mm] ein endliches Maß auf [mm] (\IR,\mathcal{B}) [/mm] definiert |
Hi ich muss ja nur nachweisen,dass
[mm] \mu(\emptyset)=0 [/mm] und
[mm] \mu(\bigcup_{i=1}^{n}~B_i)=\sum_{i=1}^{n}~\mu(B_i)
[/mm]
Der erste Teil ist ja relativ trivial, da kein Punkt in der Indikatorfunktion der leeren menge vorhanden ist,ist das integral immer gleich 0. Hoffe richtig erklaert ?:)
Beim zweiten Teil haeng ich ein wenig.
[mm] \mu(\bigcup_{i=1}^{n}~B_i)= \integral_{(\bigcup_{i=1}^{n}~B_i)}{f(x) dx}=\integral{\sum~1_ {(\bigcup_{i=1}^{n}~B_i)}dx}
[/mm]
und jetzt nur noch die Summe rausziehen und ich bin fertig? (konvergenz?)....und ist die form richtig?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:11 Di 22.05.2007 | | Autor: | wauwau |
doch ein wenig fehlerhaft du musst ausnützen, dass
[mm] 1_{\bigcup_{i=1}^{n}B_{i}}=\summe_{i=1}^{n}1_{B_{i}} [/mm] bei paarw. disjunkten [mm] B_{i}
[/mm]
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:18 Di 22.05.2007 | | Autor: | cutter |
Ja ich meinte die ganze Zeit disjunkte Mengen, was ja auch voraussetzung der maßdefinition ist.Hab nur das Zeichen nicht gefunden und es vergessen zu erwaehnen.
Aber ist der beweis sonst richtig auch der erste Teil ?
Grüße
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Zu checken ist die [mm] $\sigma$-Additivitaet, [/mm] dass heisst, dass du bei abzaehlbaren paarws. disjunkten Mengen [mm] $B_i, i\in\IN$ [/mm] Summation und Massbildung vertauschen darfst. An einem gewissen Punkt benoetigst du daher Lebesgue's Theorem fuer dominierte Konvergenz, die aber leicht nachzuweisen ist!
Als Letztes die [mm] $\sigma$-Endlichkeit, [/mm] die aber wegen der Tatsache, dass [mm] $f\in L^1$ [/mm] klar ist.
LG, kornfeld
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Mi 23.05.2007 | | Autor: | cutter |
Hi
ja ich war ja bis hier gekommen:
[mm] \mu(\dot{\bigcup}_{i=1}^{n}~B_i)= \integral_{(\dot{\bigcup}_{i=1}^{n}~B_i)}{f(x) dx}=\integral{\sum~1_ {(\dot{\bigcup}_{i=1}^{n}~B_i)}dx}=
[/mm]
[mm] \sum\integral{1_ {(\dot{\bigcup}_{i=1}^{n}~B_i)}dx}
[/mm]
[mm] =\sum_{i=1}^{n}~\mu(B_i)
[/mm]
Die Konvergenz wird in dem vorletzten Schritt ausgenutzt, indem die Summe aus dem Integral gezogen wird.
Aber von der Form ist das noch nicht ganz richtig oder ?:)
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 Mi 23.05.2007 | | Autor: | wauwau |
[mm]\mu(\dot{\bigcup}_{i=1}^{n}~B_i)= \integral_{}{f(x) 1_{(\dot{\bigcup}_{i=1}^{n}~B_i)}dx}=\integral{\sum~f(x)1_ {(\dot{\bigcup}_{i=1}^{n}~B_i)}dx}=[/mm]
[mm]\sum\integral{f(x)1_ {(B_i)}dx}[/mm]
[mm]=\sum_{i=1}^{n}~\mu(B_i)[/mm]
Dass f [mm] \in L^1 [/mm] ist hast du bei abzählbar vielen n ausgenützt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Mi 23.05.2007 | | Autor: | cutter |
Ja
ist denn dieser Beweis nun so ok oder fehlt da noch was inhaltlich bzw von der Form?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Mi 23.05.2007 | | Autor: | wauwau |
Sollte so funktionieren..
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> Ja
> ist denn dieser Beweis nun so ok oder fehlt da noch was
> inhaltlich bzw von der Form?
Bislang hast du nur endliche Additivitaet nachgewiesen. Es fehlt dir der Uebergang von $n$ auf [mm] $\infty$. [/mm] Dazu benoetigst du ein Konvergenzkriterium fuer Integrale. Es soll ja nachher dastehen
[mm] \mu(\bigcup_{i=1}^\infty B_i)=\sum_{i=1}^\infty \mu(B_i)
[/mm]
Ueberlege dir daher ersteinmal wie du diesen Schritt durchfuehren kannst.
Kornfeld
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