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| Aufgabe | Sei [mm](\Omega , \Sigma)[/mm] ein messbarer Raum, [mm] \mu : \Sigma \to [0, \infty] [/mm] mit [mm]\mu(\emptyset) = 0[/mm] und [mm]\mu(A \cup B) = \mu(A) + \mu(B)[/mm] [mm]\forall A,B \in \Sigma[/mm] mit [mm]A \cap B = \emptyset[/mm]
Weiter gilt für jede Folge messbarer Mengen [mm](A_n) \subset \Sigma[/mm] mit [mm]A_n \subset A_{n+1}[/mm] [mm]\forall n \in \IN[/mm] : [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \mu(A_n) = \mu(\bigcup_{n \in \IN} A_n)[/mm]
Z.z.: [mm] \mu [/mm] ist ein Maß |
Ok. Nach Voraussetzung bildet [mm]\mu[/mm] ja schon von einer Sigma-Algebra [mm]\Sigma[/mm] nach [mm][0, \infty][/mm] ab.
Und weiter gilt n.V. das [mm]\mu(\emptyset) = 0[/mm].
Bleibt für mich also noch zu zeigen, dass
[mm]\forall A_i \in \Sigma[/mm] , [mm]i \in \IN[/mm] mit [mm]A_i \cap A_j = \emptyset[/mm] [mm]\forall i \not= j[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]\mu(\bigcup_{n \in \IN} A_n) = \summe_{i=1}^{\infty} \mu(A_n)[/mm] (also die [mm] \sigma [/mm] - Additivität)
Durch die Aufgabenstellung nehme ich an, dass es wohl nicht der richtige (oder gar mögliche) Weg ist, dies einzig über die Voraussetzung [mm]\mu(A \cup B) = \mu(A) + \mu(B)[/mm] zu zeigen (das heißt, wenn es für 2 Mengen gilt, dass es dann auch für [mm]n \in \IN[/mm] Mengen gilt). Denn dann wäre der zweite Teil der Aufgabenstellung ja mehr oder weniger nutzlos. Dennoch frage ich mich, warum ich das auf diese Weise nicht zeigen kann. Könnte mir das vielleicht jemand erläutern?
Ich habe also folgende Überlegung angestellt:
Sei [mm](A_n) \subset \Sigma[/mm] eine Folge messbarer Mengen mit [mm]A_n \subset A_{n+1}[/mm] wie oben.
Weiter definiere ich mir [mm]B_1 = A_1[/mm], [mm]B_2 = A_2 \backslash A_1[/mm], ... , [mm]B_n = A_n \backslash A_{n-1}[/mm]
Dann gilt: [mm]B_i \cap B_j = \emptyset[/mm] [mm]\forall i \not= j[/mm]
und [mm]\bigcup_{n \in \IN} A_n = \bigcup_{n \in \IN} B_n[/mm]
Also:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \mu(A_n) = \mu(\bigcup_{n \in \IN} A_n) = \mu(\bigcup_{n \in \IN} B_n)[/mm]
Und jetzt steck ich widerum fest, weil ich mir nicht sicher bin, ob ich auf diese [mm]\mu(\bigcup_{n \in \IN} B_n)[/mm] jetzt den Fall für 2 disjunkte Mengen anwenden darf, bzw. was mir dann widerum der Limes bringen soll.
Hat mir jemand eine Anregung?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:21 Di 02.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Ich habe also folgende Überlegung angestellt:
>
> Sei [mm](A_n) \subset \Sigma[/mm] eine Folge messbarer Mengen mit
> [mm]A_n \subset A_{n+1}[/mm] wie oben.
> Weiter definiere ich mir [mm]B_1 = A_1[/mm], [mm]B_2 = A_2 \backslash A_1[/mm],
> ... , [mm]B_n = A_n \backslash A_{n-1}[/mm]
> Dann gilt: [mm]B_i \cap B_j = \emptyset[/mm]
> [mm]\forall i \not= j[/mm]
> und [mm]\bigcup_{n \in \IN} A_n = \bigcup_{n \in \IN} B_n[/mm]
>
> Also:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \mu(A_n) = \mu(\bigcup_{n \in \IN} A_n) = \mu(\bigcup_{n \in \IN} B_n)[/mm]
>
Auch wenn mir diesmal leider keiner helfen konnte, hab ich dennoch was (halbwegs) gutes noch rausbekommen und das möchte ich anderen - mit einem ähnlichen Problem - nicht vorenthalten.
Ich weiß aber (noch) nicht, ob es korrekt ist. Aber es hört sich gut an.
Ich habe das Problem mal von der anderen Seite aufgegriffen.
[mm]\summe_{i=1}^{\infty} \mu(B_i) = \summe_{i=1}^{\infty} \mu(A_i \backslash A_{i-1})[/mm] mit [mm]A_0 := \emptyset[/mm]
Da [mm]A_i \supset A_{i-1}[/mm] gilt aber
[mm]\summe_{i=1}^{\infty} \mu(A_i \backslash A_{i-1})) = \summe_{i=1}^{\infty} (\mu(A_i) - \mu(A_{i-1})[/mm]
Das ist aber eine Teleskopsumme
[mm]\Rightarrow \summe_{i=1}^{\infty} (\mu(A_i) - \mu(A_{i-1})) = \mu(A_{\infty}) - \mu(A_0) = \mu(A_{\infty}) = \limes_{n\rightarrow\infty} \mu(A_n)[/mm]
Und damit:
[mm]\summe_{i=1}^{\infty} \mu(B_i) = \mu(\bigcup_{n \in \IN} B_n)[/mm]
[mm] \Box
[/mm]
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