Masse M des Kegelstumpfes < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:39 Di 17.07.2012 | | Autor: | Maus11 |
| Aufgabe | Die Aufgabe lautet:
Berechnen Sie die Masse M des Kegelstumpfes
S={(x ,y ,z) [mm] \in \IR^3 [/mm] : [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] ≤ [mm] (2-z)^2 [/mm] , 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 1}
mit variabler Dichte: p(x ,y, [mm] z)=\bruch{-ln(z)}{\wurzel{x^2 + y^2}} [/mm] und skizieren sie S. |
Ich habe ein riesengroßes Problem mit dieser Aufgabe und muss diese aber morgen schon abgeben. Wer kann mir bitte behilflich sein, da ich wirklich schon am Verzweifeln bin.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:50 Di 17.07.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Die Aufgabe lautet:
> Berechnen Sie die Masse M des Kegelstumpfes
>
> $S={(x ,y [mm] ,z)\in \IR^3 :x^2+y^2\leq(2-z)^2 [/mm] , 0 [mm] \le z\le [/mm] 1}$
>
> mit variabler Dichte: p(x ,y, [mm]z)=\bruch{-ln(z)}{\wurzel{x^2 + y^2}}[/mm]
> und skizieren sie S.
> Ich habe ein riesengroßes Problem mit dieser Aufgabe und
> muss diese aber morgen schon abgeben. Wer kann mir bitte
> behilflich sein, da ich wirklich schon am Verzweifeln bin.
wo genau ist denn Dein Problem? Was hast Du denn schon versucht?
Die Masse ist das Volumenintegral über die Dichte:
[mm] $M=\int_S\varrho(\vec x)\,\mathrm{d}V$
[/mm]
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Di 17.07.2012 | | Autor: | Maus11 |
Also ich weiß nicht ob das jetzt so richtig ist
[mm] r^{2}=(2-z)^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] r=|2-z|=(2-z)
[mm] 0\ler\le2-z
[/mm]
[mm] 0\le\phi\le2\pi
[/mm]
[mm] 0\lez\le1
[/mm]
[mm] M=\integral\integral_{S}\integral\bruch{-ln(z)}{\wurzel{x^2+y^2}}dV
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{2-z}{\bruch{-r*ln(z)}{r}dr d\phi dz}
[/mm]
[mm] =-2\pi\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{2-z}{{ln(z)}dr dz}
[/mm]
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Hallo Maus11,
> Also ich weiß nicht ob das jetzt so richtig ist
>
> [mm]r^{2}=(2-z)^2[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] r=|2-z|=(2-z)
>
> [mm]0\ler\le2-z[/mm]
> [mm]0\le\phi\le2\pi[/mm]
> [mm]0\lez\le1[/mm]
>
> [mm]M=\integral\integral_{S}\integral\bruch{-ln(z)}{\wurzel{x^2+y^2}}dV[/mm]
>
> [mm]=\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{2-z}{\bruch{-r*ln(z)}{r}dr d\phi dz}[/mm]
>
> [mm]=-2\pi\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{2-z}{{ln(z)}dr dz}[/mm]
Bis hierhin ist das richtig.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Di 17.07.2012 | | Autor: | Maus11 |
sind die Grenzen denn wirklich richtig gesetzt, ich war mir da nämlich ziemlich unsicher!
Aber wie mache ich denn jetzt weier?
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Hallo Maus11,
> sind die Grenzen denn wirklich richtig gesetzt, ich war mir
> da nämlich ziemlich unsicher!
>
> Aber wie mache ich denn jetzt weier?
Jetzt muss Du erstmal integrieren.
Bei der Integration nach z ist zu beachten,
daß [mm]\ln\left(0\right)[/mm] nicht definiert ist.
Das heisst, hier ist bei der Auswertung des Integrals
ein Grenzübergang zu machen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Di 17.07.2012 | | Autor: | Maus11 |
Entschuldigung lieber MathePower, aber jetzt stehe ich völlig neben mir! Das versteh ich jetzt nicht!?!
Könntest du mir vielleicht weiterhelfen und den Weg zeigen, ich weiß schon gar nicht mehr wo mir der Kopf steht vor lauter Mathe...bin ausgebrannt...:-(
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Hallo Maus11,
> Entschuldigung lieber MathePower, aber jetzt stehe ich
> völlig neben mir! Das versteh ich jetzt nicht!?!
>
> Könntest du mir vielleicht weiterhelfen und den Weg
> zeigen, ich weiß schon gar nicht mehr wo mir der Kopf
> steht vor lauter Mathe...bin ausgebrannt...:-(
Integriere jetzt erstmal nach r, und dann nach z.
Dann schauen wir weiter.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Di 17.07.2012 | | Autor: | Maus11 |
Also wenn ich jetzt richtig integriert habe bekomme ich [mm] \bruch{7}{2*}\pi [/mm] raus?!?!?!
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Hallo Maus11,
> Also wenn ich jetzt richtig integriert habe bekomme ich
> [mm]\bruch{7}{2*}\pi[/mm] raus?!?!?!
Ob Du richtig integriert hast, kann ich nicht feststellen.
Aber das Ergebnis stimmt trotzdem.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Di 17.07.2012 | | Autor: | Maus11 |
Jetzt habe ich allerdings noch ein Problem, wie soll ich denn S skizzieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 Di 17.07.2012 | | Autor: | notinX |
> Jetzt habe ich allerdings noch ein Problem, wie soll ich
> denn S skizzieren?
Du weißt ja schon, dass es ein Kegelstumpf ist. Jetzt überleg Dir mal, wie der im Koordinatensystem steht und welche Maße er hat.
Gruß,
notinX
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