Massentraegheitsmoment Dreieck < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:51 Mo 07.09.2009 | | Autor: | jabbba |
Hallo zusammen,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich muss für eine gleichschenklige Dreieicksscheibe mit Masse m, Hoehe h und Basis b das Massentraegheitsmoment zum Schwerpunkt und zum Punkt A, welcher der obere Punkt des Dreiecks ist (Schnittpunkt der beiden Schenkel) berechnen. Ich habe eine Formel gefunden, die besagt, dass das Massentraeheitsmoment eines beliebigen Dreiecks [mm] 1/36*m*(a^2+b^2+c^2) [/mm] ist, wobei a,b,c die Seiten des Dreieicks sind. Wenn ich das Treagheitsmoment zu Fuß ausrechne, also durch Integration, komme ich bzgl. des Schwerpunkts auf [mm] m*h^2*5/9 [/mm] und bzgl. A auf [mm] m*h^2/2. [/mm] Mit der Formel bekomme ich bzgl. Schwerp. 1/36 [mm] *m*(3/2*b^2+2*h^2) [/mm] und bzgl. A [mm] 1/2*m*(1/12*b^2+h^2). [/mm] Die Frage ist nun ob die Formel recht hat oder meine Integrale...
Gruß
jabbba
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Hallo!
Mit [mm] h=\frac{\sqrt{3}}{2}b
[/mm]
ergibt sich
$ 1/36 [mm] \cdot{}m\cdot{}(\frac{3}{2}\cdot{}b^2+2\cdot{}h^2) [/mm] $
$= 1/36 [mm] \cdot{}m\cdot{}(\frac{3}{2}\cdot{}b^2+2*\frac{3}{4}b^2) [/mm] $
$= 1/36 [mm] \cdot{}m\cdot{}3b^2 [/mm] $
und das ist ja richtig, denn bei dir ist a=b=c, und dann ist [mm] a^2+b^2+c^2=3b^2 [/mm] .
Und, paßt die andere Formel auch?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Mo 07.09.2009 | | Autor: | jabbba |
Hallo Sebastian,
Du redest von einem gleichSEITIGEM Dreieck, ich aber von einem gleichSCHENKLIGEM. Bei mir gilt lediglich a=c (mit b habe ich die Basis des Dreiecks bezeichnet). Vielleicht darf man das ja in diesem Fall unter einem Hut werfen, ich denke aber eher nicht. Die Formel [mm] 1/36*m*(a^2+b^2+c^2) [/mm] soll ja für ein beliebiges Dreieck gelten. Kannst Du das bestätigen?
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Hallo!
Oha, da hast du natürlich recht. Ich habe aber auch in einer anderen Sache etwas schief geguckt:
Du schreibst, das Trägheitsmoment sei zu Fuß $ [mm] J=m\cdot{}h^2\cdot{}5/9$ [/mm] bezüglich Schwerpung und $ [mm] J=m\cdot{}h^2/2 [/mm] $ bezüglich A.
Darin ist zwar ein h enthalten, aber kein weiterer Parameter wie z.B. dein $b_$. Das kann ja nicht sein, wenn du das allgemein gerechnet hast.
Ich würde, um das Trägheitsmoment per Integration zu berechnen, die Drehachse in deinen Punkt A legen, das sollte besonders einfache Integrationsgrenzen geben. Anschließend muß man den Satz von Steiner rückwärts anwenden, um auf das Hauptträgheitsmoment zu kommen.
Dabei sollte klar werden, daß bei konstantem h sich das J mit zunehmendem b auch vergrößert, denn ein breiteres Dreieck besteht aus einem Schmalen plus zwei zusätzlichen Streifen an den Schenkeln, hier wächst J auf jeden Fall.
Von daher vermute ich erstmal einen anderen Fehler bei dir. Kannst du mal zeigen, wie du integriert hast?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Mo 07.09.2009 | | Autor: | jabbba |
Hi!
Hast natürlich Recht: dass da kein b in meiner Lösung vorkommt ist mir auch schon aufgefallen. Kann also auf keinen Fall stimmen. Ich hab im Anhang mal die ganze Integrationsrechung aufgeschrieben. Wobei ich noch erwähnen sollte, dass ich dabei die Symmetrie angewendet habe. Womöglich falsch :-P
Ich tippe mal, dass ich den Fehler bei der Transformation von dm gemacht habe. Kann aber nicht finden wo.
Würd mich freuen wenn da noch mal jemand rüberguckt.
[url=1]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:05 Mo 07.09.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn ich dein riesiges pdf runterlade krig ich nix.
versuch doch ein jpg oder png runterzuladen oder die wesentlichen Teile einzutippen. Wo liegt dein S und welcher punkt des Dreiecks ist A?
Gruss leduart
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Hi!
Das ist kein PDF. Es ist ein PNM, mein Linux hat es erfreulicherweise einfach so als Bild erkannt geöffnet... Schau mal, ob du PNMs öffnen kannst.
Zur Info: Jabbba hat das Dreieck mit waagerechter Symmetrieachse, gezeichnet, Punkt A links auf der Achse, h ist die (horizontale) Höhe und b die (vertikale) Breite.
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Hallo!
Ja, da sehe ich einen Fehler.
Du zerlegst das Dreieck in einzelne Streifen parallel zur Seite b. Das Problem dabei: Das untere Ende des Streifens, das sich an der Mittellinie befindet, ist näher an der Achse, als das obere Ende am Rand des Dreiecks.
Zerteile das Dreieck mal in kleine Quadrate. Jedes Quadrat leistet dann einen Beitrag, der von seiner Position abhängt:
[mm] dJ=\rho*(x^2+y^2)dxdy=\underbrace{\rho*dx*dx}_{=dm, \text{Masse}}*\underbrace{(x^2+y^2)}_{=r^2}
[/mm]
Das muß nun über x und y integriert werden. Die Grenze von y ist unten 0 und oben die Grade [mm] f(x)=\frac{b}{2h}*x. [/mm] Und x selbst läuft von 0 bis h. Damit bekommst du dein halbes Dreieck abgedeckt:
[mm] \frac{1}{2}J=\int_0^h\left(\int_0^{\frac{b}{2h}*x}\rho*(x^2+y^2)dy\right)dx
[/mm]
Das sieht etwas wild aus, aber rechne das mal stur aus.
Du wirst feststellen, daß die Längeneinheit hinterer in der vierten Potenz drin steht, das ist aber völlig korrekt, weil du ne quadratische Länge im Trägheitsmoment drin hast und die "zweite quadratische Länge" als Fläche zusammen mit der Dichte die Masse des Dreiecks ergibt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:08 Di 08.09.2009 | | Autor: | jabbba |
Hallo nochmals!
Ok, nachdem ich mich 1000 mal verrechnet habe, bin ich letztendlich auf gleiche Ergebnisse gekommen, sowohl mit der Integration als auch mit der Formel. Auf die Zerlegung von J wär ich allerdings nicht gekommen. Wenn man auf physikalische Plausibilität achtet ist Deine Argumentation natürlich nachvollziehbar.
Besten Dank,
jabbba
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:57 Di 08.09.2009 | | Autor: | jabbba |
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:54 Di 08.09.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
mein Ergebnis fuer das Doppelintegral ist
[mm] m/2*(h^2/2+b^2/24)
[/mm]
integrieren nach y: [mm] x^3*(b/(2h)+b^3/(24h^3))
[/mm]
dann nach x macht aus [mm] x^3 h^4/4
[/mm]
mit Steiner dann das ergebnis wie mit deiner Formel.
mit h gegen 0 muss ja das Traegheitsmoment eines Stabes um sein End rauskommen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Di 08.09.2009 | | Autor: | jabbba |
Hallo!
So! Hab heute noch mal von vorn gerechnet und heute geht die Rechnung leider doch nicht auf. Also für das Moment bzgl. A bekomme ich laut Integration $ [mm] m(h^2+\bruch{b^2}{12}), [/mm] $ bzgl. Schwerpunkt mit Steiner $ [mm] m(h^2+\bruch{b^2}{12})-mh^2\bruch{4}{9}=\bruch{m}{36}\cdot{}(20h^2+3b^2). [/mm] $ Mit der Formel kommt jedoch was anderes raus. Z.B. bzgl. Schwerp. $ [mm] \bruch{m}{36}\cdot{}(2h^2+\bruch{3}{2}b^2). [/mm] $ Also entweder die Formel gilt doch nicht für beliebige Dreiecke oder der Integrationsweg ist falsch.
Jemand eine Idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:55 Di 08.09.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
siehe meine Mitteilung, du hast falsch integriert.
leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:57 Di 08.09.2009 | | Autor: | jabbba |
ach ja jetzt weiß ich wieder. integriert habe ich schon richtig, hab aber danach [mm] m=\rho*bh/4 [/mm] statt [mm] m=\rho*bh/2 [/mm] fuer m eingesetzt. dabei habe ich doch den gleichen fehler gestern schon einmal gemacht. oh man... :o(
Vielen Dank noch mal fuers Interesse
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