www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Integrationstheorie" - Massepunkt
Massepunkt < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integrationstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Massepunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:24 Fr 11.06.2010
Autor: raubkaetzchen

Aufgabe
Konstruiert man einen Körper A [mm] \subset \IR [/mm] (beschränkt, messbar) aus einem homogenen Material, dann bestimmt sich die Koordinaten des Massenschwerpunktes als:

[mm] (S_x,S_y,S_z)=\bruch{1}{\lambda_3(A)}*(\integral_{A}{x d\lambda_3},\integral_{A}{y d\lambda_3},\integral_{A}{z d\lambda_3}) [/mm]

Berechnen Sie den Schwerpunkt des Körpers, der durch die Flächen {z=1} und [mm] {1/9(x^2+y^2)=5-z} [/mm] eingeschlossen wird.

Also bei diesem Körper handelt es sich um einen Kegel, dessen Grundfläche den Radius 6 hat. Und die Höhe des Kegels beträgt 4.

Leider habe ich gar keine Ahnung, wie ich diesen Massenschwerpunkt berechne?
Ich müsste ja z.B. [mm] \integral_{A}{z d\lambda_3} [/mm] berechnen. Wie geht man da denn am besten vor?

Ich wäre über eure Hilfe sehr dankbar.

Liebe Grüße

        
Bezug
Massepunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:43 Fr 11.06.2010
Autor: MathePower

Hallo raubkaetzchen,

> Konstruiert man einen Körper A [mm]\subset \IR[/mm] (beschränkt,
> messbar) aus einem homogenen Material, dann bestimmt sich
> die Koordinaten des Massenschwerpunktes als:
>  
> [mm](S_x,S_y,S_z)=\bruch{1}{\lambda_3(A)}*(\integral_{A}{x d\lambda_3},\integral_{A}{y d\lambda_3},\integral_{A}{z d\lambda_3})[/mm]
>  
> Berechnen Sie den Schwerpunkt des Körpers, der durch die
> Flächen {z=1} und [mm]{1/9(x^2+y^2)=5-z}[/mm] eingeschlossen wird.
>  
> Also bei diesem Körper handelt es sich um einen Kegel,
> dessen Grundfläche den Radius 6 hat. Und die Höhe des
> Kegels beträgt 4.
>  
> Leider habe ich gar keine Ahnung, wie ich diesen
> Massenschwerpunkt berechne?
>  Ich müsste ja z.B. [mm]\integral_{A}{z d\lambda_3}[/mm] berechnen.
> Wie geht man da denn am besten vor?


Zunächst mußt Du die Grenzen festlegen zwischen denen zu integrieren ist.

Dann ist

[mm]\integral_{A}{z d\lambda_3}=\integral_{x_{1}}^{x_{2}}{ \integral_{y_{1}\left(x\right)}^{y_{2}\left(x\right)} { \integral_{z_{1}\left(x,y\right)}^{z_{2}\left(x,y\right)} z \ dz }\ dy } \ dx}[/mm]

,wobei [mm]x_{1}, \ x_{2}, \ y_{1}\left(x\right),\ y_{2}\left(x\right), \ z_{1}\left(x,y\right), \ z_{2}\left(x,y\right)[/mm] die Integrationsgrenzen sind.


>  
> Ich wäre über eure Hilfe sehr dankbar.
>  
> Liebe Grüße


Bezug
                
Bezug
Massepunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:03 Fr 11.06.2010
Autor: raubkaetzchen

Hallo Mathe Power,

Vielen dank für deine schnelle Antwort. Also die Grenzen von dx könnte man doch -6 und 6 setzen.  Aber wie bestimme ich denn die Integrationsgrenzen der anderen? Setzt man z.B. für [mm] y_1(x) [/mm] einfach z=1 ??? Um eine Grenze in abhängigkeit von lediglich x zu erhalten?
Und wie macht man das bei den Grenzen für dz?
Ich habe es mal versucht da unten:

[mm] \integral_{A}{z d\lambda_3}=\integral_{-6}^{6}{ \integral_{-\wurzel{36-x^2}}^{\wurzel{36-x^2}} { \integral_{1}^{} z \ dz }\ dy } [/mm] dx


Bezug
                        
Bezug
Massepunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:11 Fr 11.06.2010
Autor: MathePower

Hallo raubkaetzchen,

> Hallo Mathe Power,
>  
> Vielen dank für deine schnelle Antwort. Also die Grenzen
> von dx könnte man doch -6 und 6 setzen.  Aber wie bestimme
> ich denn die Integrationsgrenzen der anderen? Setzt man
> z.B. für [mm]y_1(x)[/mm] einfach z=1 ??? Um eine Grenze in
> abhängigkeit von lediglich x zu erhalten?


Setzt Du die begrenzenden Flächen gleich,
dann erhältst Du die Grenzen für y.

Diese Grenzen sind dann nur noch von x abhängig.


>  Ich habe es mal versucht da unten:
>  
> [mm]\integral_{A}{z d\lambda_3}=\integral_{-6}^{6}{ \integral_{-\wurzel{36-x^2}}^{\wurzel{36-x^2}} { \integral_{z_{1}\left(x,y\right)}^{z_{2}\left(x,y\right)} z \ dz }\ dy }[/mm]
> dx
>  


Das sieht gut aus.

Die Grenzen für z sind ja vorgegeben.

Damit ist

[mm]z_{1}\left(x,y\right)=1[/mm]

[mm]z_{2}\left(x,y\right)=5-\bruch{1}{9}*\left(x^{2} +y^{2}\right)[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Massepunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:35 So 13.06.2010
Autor: raubkaetzchen

Hallo,

vielen Dank für deine Hilfe! Das Integral:
[mm] \integral_{A}{z d\lambda_3}=\integral_{-6}^{6}{ \integral_{-\wurzel{36-x^2}}^{\wurzel{36-x^2}} { \integral_{z_{1}\left(x,y\right)}^{z_{2}\left(x,y\right)} z \ dz }\ dy } [/mm]

konnte ich nun sehr gut auswerten.
Kann man dieselbe reihenfolge der Integrale und Grenzen auch für x und y wählen? Also in obiger gleichung einfach den integranden z durch x bzw. y tauschen?
Dann erhalte ich komischerweise nämlich immer 0?
Oder muss man in anderer Reihenfolge integrieren?
Wenn ja warum und wie?

Bezug
                                        
Bezug
Massepunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:23 So 13.06.2010
Autor: MathePower

Hallo raubkaetzchen,

> Hallo,
>  
> vielen Dank für deine Hilfe! Das Integral:
>   [mm]\integral_{A}{z d\lambda_3}=\integral_{-6}^{6}{ \integral_{-\wurzel{36-x^2}}^{\wurzel{36-x^2}} { \integral_{z_{1}\left(x,y\right)}^{z_{2}\left(x,y\right)} z \ dz }\ dy }[/mm]


Hier meinst Du wohl:

[mm]\integral_{A}{z d\lambda_3}=\integral_{-6}^{6}{ \integral_{-\wurzel{36-x^2}}^{\wurzel{36-x^2}} { \integral_{z_{1}\left(x,y\right)}^{z_{2}\left(x,y\right)} z \ dz }\ dy \ \red{dx}}[/mm]


>  
> konnte ich nun sehr gut auswerten.
>  Kann man dieselbe reihenfolge der Integrale und Grenzen
> auch für x und y wählen? Also in obiger gleichung einfach
> den integranden z durch x bzw. y tauschen?


Ja.


>  Dann erhalte ich komischerweise nämlich immer 0?
>  Oder muss man in anderer Reihenfolge integrieren?
>  Wenn ja warum und wie?


Überleg mal, welche Eigenschaft des Kegels dafuer verantwortlich ist.


Gruss
MathePower

Bezug
        
Bezug
Massepunkt: einfaches Integral
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:19 So 13.06.2010
Autor: Al-Chwarizmi


> Konstruiert man einen Körper A [mm]\subset \IR[/mm] (beschränkt,
> messbar) aus einem homogenen Material, dann bestimmt sich
> die Koordinaten des Massenschwerpunktes als:
>  
> [mm](S_x,S_y,S_z)=\bruch{1}{\lambda_3(A)}*(\integral_{A}{x d\lambda_3},\integral_{A}{y d\lambda_3},\integral_{A}{z d\lambda_3})[/mm]
>  
> Berechnen Sie den Schwerpunkt des Körpers, der durch die
> Flächen {z=1} und [mm]{1/9(x^2+y^2)=5-z}[/mm] eingeschlossen wird.
>  
> Also bei diesem Körper handelt es sich um einen Kegel,
> dessen Grundfläche den Radius 6 hat. Und die Höhe des
> Kegels beträgt 4.
>  
> Leider habe ich gar keine Ahnung, wie ich diesen
> Massenschwerpunkt berechne?
>  Ich müsste ja z.B. [mm]\integral_{A}{z d\lambda_3}[/mm] berechnen.
> Wie geht man da denn am besten vor?
>  
> Ich wäre über eure Hilfe sehr dankbar.
>  
> Liebe Grüße


Hallo raubkätzchen,

bei dem Körper handelt es sich nicht um einen Kegel,
sondern um ein Segment eines Rotationsparaboloïds.
Höhe 4 und Grundkreisradius 6 stimmen.

Für die Schwerpunktsberechnung dieses Körpers würde ich
unbedingt die Rotationssymmetrie nutzen. Es ist sofort klar,
dass der Schwerpunkt auf der Rotationsachse, d.h. auf der
z-Achse liegen muss. Somit ist also nur noch eine einzige
Zahl zu ermitteln, nämlich die z-Koordinate  [mm] z_S [/mm] des Schwer-
punkts.
Nun kann man sich den Körper in dünne Scheiben zerschnippelt
vorstellen (so wie man ein Stück einer Mortadella-Wurst in
der Aufschnittmaschine zerschneidet).
Eine Scheibe der Dicke dz in der Höhe z hat (genähert als
Zylinder betrachtet) das Volumen  

       $\ dV\ =\ [mm] \pi*r^2*dz$ [/mm]

und also die Masse  

       $\ dm\ =\ [mm] \pi*\rho*r^2*dz$ (\rho=Dichte) [/mm]

Für [mm] z_S [/mm] erhält man dann das Integral:

       $\ [mm] z_S\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{m}*\integral_{z_{min}}^{z_{max}}z*dm$ [/mm]

m ist die Gesamtmasse des Körpers, also:

      $\ m\ =\ [mm] \integral_{z_{min}}^{z_{max}}dm$ [/mm]


LG    Al-Chw.
  


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integrationstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de